7.4 三角函数应用（五大题型）-苏教版高一《数学》同步学与练

第第页7．4三角函数应用课程标准学习目标（1）数学抽象：实际问题抽象为三角函数模型问题；（2）数据分析：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模（3）数学建模：体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，提高学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.（1）会用三角函数解决一些简单的实际问题.（2）体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．知识点01函数中，，，的物理意义1、简谐运动的振幅就是．2、简谐运动的周期．3、简谐运动的频率．4、称为相位．5、时的相位称为初相．【即学即练1】已知正弦交流电（单位：）与时间（单位：）的函数关系为，求电流的峰值、周期、频率和初相位．【解析】∵正弦交流电，∴电流的峰值是，周期是，频率是，初相位是．知识点02三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．1、三角函数模型应用的步骤（1）建模问题步骤：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．（2）建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式．2、三角函数应用题的三种模式（1）给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题．（2）给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题．（3）整理一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题．3、三角函数模型应用注意点（1）一般地，所求出的函数模型只能近似地刻画实际情况，因此应特别注意自变量的取值范围．（2）应用数学知识解决实际问题时，应注意从背景中提取基本的数学关系，并利用相关知识来理解．【即学即练2】（2023·湖南·高一校联考期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图是一个半径为6m的筒车，筒车转轮的中心到水面的距离为3m，每2分钟逆时针匀速旋转一圈.筒车上的一个盛水筒P（视为质点）从水中浮现（图中点A）时开始记时.建立如图平面直角坐标系，将P到水面距离表示为时间的函数，则.【答案】【解析】由题意周期秒，所以角速度（rad/s），当经过时间秒，质点从运动到如图所在位置，如图，此时，因为水车半径米，水车中心离水面距离米,所以，，所以P到水面距离，即，故答案为：题型一：三角函数模型在物理学中的应用例1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知某弹簧振子的位移（单位：cm）与时间（单位：s）满足，初始时将弹簧振子下压至后松开，经过测量发现弹簧振子每10s往复振动5次，则在第45s时，弹簧振子的位移是cm.【答案】【解析】由题意，且最小正周期，即，故，所以，且，即，不妨令，故，当，则.故答案为：例2．（2023·广东揭阳·高三统考期末）如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U（单位：V）和时间t（单位：s）满足.在一个周期内，电压的绝对值超过的时间为.（答案用分数表示）.【答案】s【解析】由已知，，，.在区间内，令，或，可得，；同理令，可得，.综上，电压的绝对值超过的时间为（s）.故答案为：s．例3．（2023·北京西城·高一北京师大附中校考期中）从本质上来讲，声音实际上是一种简谐振动产生的机械波，也称声波.声音两个最主要的要素：响度和音调，分别由振动的振幅和频率刻画.其中最基本的声波就是简谐振动所产生的正弦波.纯音是以某个固定频率进行简谐振动所产生的声波，且纯音的函数可以表示为：，其中，，则这个函数的频率为（写出表达式即可）（注：频率是周期的倒数）一般说的，，，，，，又是什么呢？这些唱名是音调的一种记法，音调与频率之间的关系为.已知标准音（也是纯音）的音调为，那么标准音对应的函数中.已知标准音和标准音的频率比为，那么标准音的音调为.（取，，结果精确到小数点后两位）.【答案】60.20【解析】已知：最小正周期，故周期为，故，当时，，则因为标准音的频率和标准音的频率比为，所以标准音的频率为，设标准音的音调为，则，解得：，故答案为：，，60.20变式1．（2023·高一课时练习）电流随时间变化的函数的图象如图所示，则时的电流为．【答案】【解析】由函数的图象可得，且，故，而，故，解得，故，故，故答案为：.变式2．（2023·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在秒时相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度厘米满足下列关系：，，则每秒钟小球能振动次.【答案】【解析】函数，的周期，故频率为.所以每秒钟小球能振动次.故答案为：.变式3．（2023·高一课时练习）如果音叉发出的声波可以用函数描述，那么音叉声波的频率是.【答案】210【解析】由题可得音叉声波的周期为，所以音叉声波的频率为.故答案为：210.【方法技巧与总结】处理物理学问题的策略（1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．（2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．题型二：三角函数模型的实际应用例4．（2023·全国·高一随堂练习）某地为发展旅游业，在旅游手册中给出了当地一年每个月的月平均气温表，根据图中提供的数据，试用近似地拟合出月平均气温y（单位：℃）与时间t（单位：月）的函数关系，并求出其周期和振幅，以及气温达到最大值和最小值的时间．（答案不唯一）

【解析】不妨设，由图象可知时，，当时，，结合图象可知，，，又当时，，不妨令，故，周期为14，振幅为6，1月取得最小值15，8月取得最大值27.例5．（2023·全国·高一随堂练习）某昆虫种群数量1月1日低到700只，其数量随着时间变化逐渐增加，到当年7月1日高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线规律改变．(1)求出这种昆虫种群数量y（单位：只）关于时间t（单位：月）的函数解析式；(2)画出这个函数的图象．【解析】（1）设，由题意，解得，且，解得，又因为当时，取最小值，所以，即，可取，所以；（2）列表：t014710120y700800900800作出函数图象如下：例6．（2023·全国·高一随堂练习）北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗．请根据年鉴或其他参考资料，统计过去一年不同日期的日出和日落时间．(1)在同一直角坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；(2)某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？【解析】（1）日期1月1日2月1日3月1日4月1日5月1日6月1日日出时间6:506:406:306:206:106:05日落时间5:305:405:506:006:057:00日期7月1日8月1日9月1日10月1日11月1日12月1日日出时间6:006:106:206:306:406:50日落时间7:107:006:506:406:306:20散点图如下：该图象近似看作正弦型函数的模型.（2）从所得表格可以看出，在五月份的时候，日出时间在6：10，而天安门升旗时间是日出的时候，所以某同学想看升旗的话，应该在6：10前到达天安门广场.变式4．（2023·高一课时练习）如图，某动物种群数量在某年1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间呈正弦型曲线变化．

(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；（其中t以年初以来的月份为计量单位，如1月用表示）(2)估计当年3月1日该动物种群数量．【解析】（1）设这群数量关于时间的解析式，则，解得，又由，可得，所以，因为时，可得，即，解得，又因为，所以，所以.（2）由，当时，，即当年3月1日该动物种群的数列约为.变式5．（2023·高一课时练习）潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，其形成是由于海水受日月的引力作用，潮是指海水在一定的时候发生涨落的现象，一般来说，早潮叫潮，晚潮叫汐．某观测站通过长时间的观测，发现潮汐的涨落规律和函数图象基本一致且周期为，其中x为时间，为水深．当时，海水上涨至最高，最高为5米．(1)求函数的解析式，并作出函数在上的简图；(2)求海水持续上涨的时间区间．【解析】（1）由函数的周期为，可得，当时时，海水上涨至最高，且最高为5米，可得，所以，且，即，可得，即，因为，所以，所以，因为，可得，列表：500描点并连线，得到函数的图象，如图所示，（2）由（1）知，函数，令，解得，所以函数的单调递增区间为，海水持续上涨的时间区间，即为函数的单调递增区间，所以海水持续上涨的时间区间为.变式6．（2023·高一课时练习）已知某海滨浴场海浪的高度（米）是时间（，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时的浪高数据：（时）03691215182124（米）1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观察，的曲线可近似地看成是函数的图象.(1)根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数解析式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的10：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【解析】（1）由表中数据知，所以.由，，得.由，，得，故，，所以函数解析式为：.（2）由题意知，当时才可对冲浪者开放，所以，所以，所以，，即，.又因为，故可令得，或，或.所以在规定时间10：00至20：00之间，有5个小时可供冲浪者活动，即上午10：00至下午3：00.变式7．（2023·四川眉山·高一校考期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00水深（米）7.55.02.55.07.55.02.55.0经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述．(1)根据以上数据，求出函数的表达式；(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.25米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该货船在一天内什么时间段能安全进出港口？【解析】（1）由表格知，，则，，函数的周期，则，即有，又，即，而，则，所以．（2）货船需要的安全水深为米，则当时就可以进港，由，得，解得，即，而，因此当时，；当时，，所以货船应在0时至4时或12时至16时进出港.【方法技巧与总结】解三角函数应用问题的基本步骤题型三：数据拟合问题例7．（2023·高一课时练习）某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据：（小时）03691215182124（米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.

(1)试根据数据表和曲线，求出的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【解析】（1）根据数据，，，，，，函数的表达式为；（2）由题意，水深，即，，，，1，或；所以，该船在至或至能安全进港，若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.例8．（2023·江西景德镇·高一统考期中）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：t（小时）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．【解析】（1）画出散点图，连线如下图所示：设，根据最大值13，最小值7，可列方程为：，再由，得，；（2）．∵，∴，∴，或解得，或，所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的．例9．（2023·高一课时练习）下表所示的是芝加哥1951～1981年的月平均气温(℉)．月份123456平均气温21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立直角坐标系．(1)描出散点图；(2)用正弦曲线去拟合这些数据；(3)这个函数的周期是多少？(4)估计这个正弦曲线的振幅A；(5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？①＝cos；②＝cos；③＝cos；④＝sin．【解析】(1)作出散点图如图所示：(2)如图所示：(3)1月份的气温最低，为21.4℉，7月份气温最高，为73.0℉，据图知，，．(4)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8．(5)月份，不妨取，，代入①，得，①不适合；代入②，得，②不适合；同理④不适合，③适合．变式8．（2023·福建福州·高一福建省长乐第一中学校考阶段练习）某港门的水深y(米)是时间x(，单位：小时)的函数，下面是水深数据：经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.x(时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0（1）试根据以上数据，求出的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出所用的时间)？【解析】（1）根据数据，，，，，，函数的表达式为；（2）由题意，水深，即，，，，，1，，或，；所以，该船在至或至能安全进港．若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．变式9．（2023·吉林长春·高一长春市第八中学校考期末）长春某日气温是时间t(，单位：小时)的函数，下面是某天不同时间的气温预报数据：t(时)0369121518212415.714.015.720.024.226.024.220.015.7根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成余弦型函数的图象.（1）根据以上数据，试求(，，)的表达式；（2）大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于.根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段(用区间表示)将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？(忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下哦，奥力给!)【解析】（1）根据以上数据知，，解得，；由，解得，所以；由时，即，解得，即，；所以，；由，解得；所以，，；（2）令，得，即，；解得，；当时，，所以一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在，时间段将该种商品放在室外销售，且单日室外销售时间最长不能超过（小时）．变式10．（2023·江西宜春·高一统考期末）某地农业检测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增．下表是今年前四个月的统计情况：月份1月份2月份3月份4月份收购价格（元/斤）6765养殖成本（元/斤）344．65现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系．（1）请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式；（2）按照你选定的函数模型，帮助该部门分析一下，今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有没有可能亏损？【解析】（1）对于模型①，由点及可得函数周期满足，即，所以，又函数最大值为，最小值为，解得，，所以，又，所以，又，所以，所以模型①；对于模型②，图象过点，，所以，解得：，所以模型②；（2）由（1）设，，若时则盈利，若则亏损；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；这说明第8，9，11，12这四个月收购价格低于养殖成本，生猪养殖户出现亏损．所以今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有可能亏损．【方法技巧与总结】数据拟合的通法（1）处理的关键：数据拟合是一项重要的数据处理能力，解决该类问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图在这里起了关键作用．（2）一般方法：数据对→作散点图→确定拟合函数→解决实际问题．题型四：三角函数在圆周中的应用例10．（2023·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为号的个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要.若甲、乙两人分别坐在号和号座舱里且t=0时，1号座舱位于距离地面最近的位置，当时，两人距离地面的高度差（单位：）取最大值时，时间的值是.

【答案】10【解析】如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系，设时，游客甲位于点，以为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为，由题意可得，.如图，甲、乙两人的位置分别用点表示，则，经过后甲距离地面的高度为，点相对于点始终落后，此时乙距离地面的高度为.则甲、乙距离地面的高度差，因为，所以，所以得，即开始转动分钟时，甲乙两人距离地面的高度差最大值为.故答案为：.例11．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期中）一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面1.8米．已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则P点离开水面的高度h关于时间t的函数解析式为．

【答案】【解析】P点离开水面的高度h关于时间t的函数解析式可设为由题给条件可得，，解之得水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，则运动周期为60秒，则，又，，则则故答案为：例12．（2023·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考阶段练习）如图是一个半径为2米的水车，水车圆心距离水面1米.水车按逆时针方向匀速转动，每12秒转一圈，当水车上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，设水车所在平面与水面的交线为，以过点且平行于的直线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，设点距离水面的高度（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数为，则.【答案】【解析】设，由函数的物理意义可知：，由可得，所以，因为则，，又因为的最小正周期，所以，所以.故答案为：.变式11．（2023·北京·高一北京市第三十五中学校考阶段练习）如图为一半径是3m的水轮，水轮圆心距离水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点到水面的距离与时间满足函数关系，则.【答案】/【解析】由题意可得，水轮每分钟旋转4圈，所以转一圈需要15s，所以,所以，故答案为:.变式12．（2023·北京房山·高一统考期中）将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形．已知摩天轮的半径为40米，其中心点距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮上一点距离地面的高度为（单位：米），若从摩天轮的最低点处开始转动，则与转动时间（单位：分钟）之间的关系为．(1)求，，，的值；(2)摩天轮转动8分钟后，求点距离地面的高度；(3)在摩天轮转动一圈内，求点距离地面的高度超过65米的时长．【解析】（1）依题意，，于是，函数的周期，解得，则，而时，，即有，而，解得，所以.（2）由（1）知，，，当时，（米）.（3）由，得，即，解得，即有，，所以在摩天轮转动一圈内，有8分钟的时间，点距离地面的高度超过65米.变式13．（2023·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为号的个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要.(1)求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；(2)若甲、乙两人分别坐在号和号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求的最大值及此时的值.【解析】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系，设时，游客甲位于点，以为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为，由题意可得，.（2）如图，甲、乙两人的位置分别用点表示，则.经过后甲距离地面的高度为，点相对于点始终落后，此时乙距离地面的高度为.则甲、乙距离地面的高度差，因为，所以，所以或，或所以开始转动或分钟时，甲乙两人距离地面的高度差最大值为.变式14．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）甲乙两名同学周末去游乐场游玩，甲同学去坐摩天轮，乙同学因为恐高只能在休息区P处等待．如图，已知摩天轮的半径为40米，按逆时针方向旋转且每20分钟转一圈．摩天轮开始转动后甲从最低点M经过50秒恰好转到A处，此时乙在P处看甲的仰角为15°，又过了200秒转到B处，此时乙在P处看甲的仰角为60°，摩天轮与底座的基点H及休息区P在同一个竖直的平面内．(1)求休息区P与摩天轮底座的基点H之间的距离；(2)求摩天轮的最高点到地面的距离．【解析】（1）如图：过点分别作的垂线，垂足分别为,由每20分钟转一圈，最低点M经过50秒恰好转到A处，最低点M经过250秒恰好转到B处,故可知,设，则在直角三角形中，，所以又中，，因此同理可得考虑到，，将其代入解得，所以（2）由（1）知，故摩天轮最高点到地面的距离为题型五：几何中的三角函数模型例13．（2023·全国·高一随堂练习）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，画出点P的运动轨迹，并讨论是否为周期函数．如果是，指出周期；如果不是，请说明理由．说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．

【解析】假设落在轴上时开始计时，下一次落在轴上，过程中四个顶点依次落在了轴上，而相邻两个顶点距离为正方形边长，即为1，因此该函数周期为4.考查正方形向右滚动时，点运动情况：首先以为圆心，正方形边长为半径运动个圆，然后以为圆心，正方形对角线长为半径运动个圆，最后以为圆心，正方形边长为半径运动个圆，最终运动轨迹如下曲线：由图知：是周期为4的函数.例14．（2023·浙江杭州·高一校联考阶段练习）某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径千米，点是半圆的圆心，在圆弧上取点、，使得，把四边形建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段，，和组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设，且；(1)求塑胶跑道的总长关于的函数关系式；(2)当为何值时，塑胶跑道的总长最长，并求出的最大值．【解析】（1）由已知得，，故，所以，；（2），所以当，时，取得最大值10千米．例15．（2023·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）某市政广场有一块矩形绿地，如图，米，米.为了满足通行及市民休闲的需求，同时考虑到广场的整体规划，施工单位决定在的中点G处，分别向边修两条互相垂直的小路，再修建小路，设.(1)试将的周长l表示成关于的函数关系式，并求出定义域；(2)根据预算及其他因素考虑，最终决定修建的三条小路总长需为500米，求此时的值.【解析】（1）在中，，所以，在中，，所以，又因为，所为，所以，当点F在D处时，最大，此时，当点E在C处时，最小，此时，故定义域为.（2）由（1）得，令，则，令，可得，所以，又因为，所以或.变式15．（2023·湖南·高一课时练习）如图，矩形ABCD的相邻两条边AB，BC的长度分别为1和3，点E，F是BC的三等分点，求证：．【解析】由题意，，所以，又，都是锐角，所以，所以．一、单选题1．（2023·高一课时练习）车流量被定义为单位时间内通过某路段的车辆数，若上班高峰期某十字路口的车流量F（单位：辆/分钟）与时间t（单位：分钟）的函数关系式为，则车流量增加的时间段是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，得，因为，所以当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为．因为，所以车流量在时间段内是增加的，故选：C.2．（2023·陕西西安·高一校考期中）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，现根据刘徽的《重差》测景一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和30°，且，则该球体建筑物的高度约为（）

A．100m B． C． D．【答案】A【解析】设球的截面圆心为O，连接OB，OC，设球的截面圆的半径为R，由圆的切线的性质可得：，，则，，所以，可得，即，又因为，，所以，所以，所以球的直径.故选：A.3．（2023·北京海淀·高一统考期末）海洋中的波动是海水的重要运动形式之一．在外力的作用下，海水质点离开其平衡位置做周期性或准周期性的运动，由于流体的连续性，必然带动其邻近质点，从而导致其运动状态在空间的传播．（节选自《海洋科学导论》冯士筰李风岐李少菁主编高等教育出版社）某校海洋研学小组的同学为了研究海水质点在竖直方向上的运动情况，通过数据采集和分析，同学们发现海水质点在某一时间段相对于海平面的位移（米）与时间（秒）的关系近似满足，其中常数．经测定，在秒时该质点第一次到达波峰，在秒时该质点第三次到达波峰．在时，该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为（

）A．秒 B．2秒 C．秒 D．3秒【答案】C【解析】因为秒时该质点第一次到达波峰，在秒时该质点第三次到达波峰．所以，即，当时，，，即，因为，所以.则，由得出或，.即，或，因为，所以.因此该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为.故选：C4．（2023·黑龙江大庆·高一铁人中学校考期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用图明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理图假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车转动的角速度为，如图所示，盛水桶视为质点的初始位置距水面的距离为，则后盛水桶到水面的距离近似为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设初始位置时对应的角为，则，则，因为筒车转到的角速度为，所以水桶到水面的距离，当时，可得.故选：A.5．（2023·山东临沂·高一统考期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动6圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间．根据如图所示的直角坐标系，将点到水面的距离（单位：，在水面下，为负数）表示为时间（单位：）的函数，当时，点到水面的距离为（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则点到水面的距离，由题可知，与的夹角为，在时间转过的角度为，由图可知，点的纵坐标，因此则点到水面的距离，当时，，所以点到水面的距离为．故选：A6．（2023·北京丰台·高一统考期中）半径为2m的水轮如图所示，水轮的圆心距离水面m.已知水轮按逆时针方向每分钟转4圈，水轮上的点到水面的距离(单位：m）与时间(单位：s）满足关系式.从点离开水面开始计时，则点到达最高点所需最短时间为（

）A．s B．s C．s D．10s【答案】B【解析】水轮每分钟逆时针转动4圈，则函数的最小正周期为15s，则，由水轮的半径为2m，水轮圆心O距离水面m，因为，可得，，所以，当水轮上点P从水中浮出时x=0s开始计时，令，解得，点P第一次到达最高点需要.故选：B.7．（2023·高一课时练习）海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为米，安全间隙（船底与海底距离）为米，该船在开始卸货，吃水深度以米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择（）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在（

）（要考虑船只驶出港口需要一定时间）时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深（米）5.07.55.02.55.07.55.02.55.0A．至 B．至C．至 D．至【答案】C【解析】由题意得，函数的周期为，振幅，所以，又因为达到最大值，所以由，可得，所以，所以函数的表达式为，令，解得，所以在可安全离港，故选：C8．（2023·广东·统考二模）已知某摩天轮的半径为，其中心到地面的距离为，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（

）A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟【答案】B【解析】设游客到地面的距离为，设关于转动时间（单位：分钟）的函数关系式为，则，，可得，函数的最小正周期为，则，当时，游客位于最低点，可取，所以，，由，即，可得，所以，，解得，因此，游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有分钟.故选：B.二、多选题9．（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考开学考试）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为(单位：m)(在水下则为负数)、与时间(单位：s)之间的关系是，则下列说法正确的是（

）

A．筒车的半径为3m，旋转一周用时60sB．筒车的轴心距离水面的高度为C．盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点D．时，盛水筒处于向上运动状态【答案】AC【解析】对于A，的振幅为筒车的半径，筒车的半径为；的最小正周期，旋转一周用时，A正确；对于B，，筒车的半径，筒车的轴心距离水面的高度为，B错误；对于C，令，，，解得：，又，当时，，即盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点，C正确.对于D，当时，，此时单调递减，盛水筒处于处于向下运动的状态，D错误.故选：AC.10．（2023·福建漳州·高一校考期中）如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）（在水下则为负数）、与时间（单位：s）之间的关系是，则下列说法正确的是（

）

A．筒车的半径为3m，旋转一周用时30sB．筒车的轴心距离水面的高度为C．时，盛水筒处于向上运动状态D．盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点【答案】BD【解析】对于A，的振幅为筒车的半径，筒车的半径为；的最小正周期，旋转一周用时，A错误；对于B，，筒车的半径，筒车的轴心距离水面的高度为，B正确；对于C，当时，，此时单调递减，盛水筒处于处于向下运动的状态，C错误；对于D，令，，，解得：，又，当时，，即盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点，D正确.故选：BD.11．（2023·福建漳州·高一校联考期中）一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米.已知水轮按顺时针方向绕圆心做匀速转动，每秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（

）

A．点第一次到达最高点需要秒B．点第一次到达最低点需要秒C．在水轮转动的一圈内，有秒的时间，点在水面的下方D．当水轮转动秒时，点距离水面的高度是米【答案】ACD【解析】设点距离水面的高度与时间的函数解析式为，由题意知：，，最小正周期，，，，，即，又，，；对于A，令，解得：，即点第一次到达最高点需要秒，A正确；对于B，令，解得：，即点第一次到达最低点需要秒，B错误；对于C，，，令，即，，解得：，水轮转动一圈内，点在水面下方的时间为秒，C正确；对于D，，当水轮转动秒时，点距离水面的高度是米，D正确.故选：ACD.12．（2023·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（

）

A．B．当时，函数单调递增C．当时，的最大值为D．当时，【答案】AD【解析】由题意，，，所以，则，又点，此时代入可得，解得，又，所以，故A正确；因为，当时，，所以函数先增后减，故B错误；当时，所以，则，则，故C错误；当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，故D正确；故选：AD三、填空题13．（2023·江西萍乡·高一统考期末）若以函数图像上相邻的四个最值所在的点为顶点恰好构成一个菱形，则．【答案】【解析】令，，则，，不妨取相邻四个最值所在的点分别为，，，，如图所示，因为以为顶点的四边形恰好构成一个菱形，所以，所以，所以，即.故答案为：14．（2023·高一课前预习）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2，将筒车简化为圆，以为原点，以与水平平行的直线为轴建立直角坐标系，设时，盛水筒位于，以为始边，以为终边的角为，动点每秒钟逆时针转过，则盛水筒的高度与时间的关系是.

【答案】.【解析】因为时，盛水筒位于，以为始边，以为终边的角为，所以,又因为动点每秒钟逆时针转过，所以t秒后，则，所以则盛水筒的高度与时间的关系是，故答案为：15．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，一根绝对刚性且长度不变､质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，若函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为.

【答案】【解析】由函数的图象，可得，解得，所以，又由，可得，解得因为，所以，所以，由区间的区间长度为，即区间长度为个周期，当区间在同一个单调区间时，不妨设，可得则，因为，可得，当或时，取最小值；当区间在不同一个单调区间时，不妨设，可得，此时函数在上先增后减，此时，不妨设，则，.综上可得，最小值为.故答案为：.16．（2023·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期中）如图，一个筒车按逆时针方向旋转，每分钟转5圈，若从盛水筒P刚出水面开始计时，则盛水筒到水面的距离y（单位：m）（水面下则y为负数）与时间t（单位：s）之间的关系式为，盛水筒至少经过s能到达距离水面的位置．【答案】【解析】当时，，即，，故，，故，故，取，即，设盛水筒第一次达到的时间为，则，解得.故答案为：四、解答题17．（2023·全国·高一课堂例题）已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处．

(1)试确定在时刻时，点离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过100m的时间有多长？【解析】（1）如图所示，以摩天轮所在面为坐标平面，以摩天轮的中心点为原点，轴和轴分别平行和垂直于地平面，建立直角坐标系，点的初始位置在最低点，设点从最低点沿逆时针方向匀速转动，在时间内所转过的角度为，可得与的夹角为，于是，点的纵坐标．因此点离地面的高度．（2）根据题意，令，可得，因为，所以，解得，因此在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过的时间有．18．（2023·全国·高一随堂练习）已知某海滨浴场的浪高是时间（时）（）的函数，记作．下表是某日各时刻的浪高数据.经长期观测，可近似地看成是函数．/时036912151821241.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根据以上数据，求出该函数的周期、振幅及函数解析式；(2)依据规定，当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放，试依据（1）的结论，判断一天内8：00至20：00之间有多长时间可供冲浪者进行运动．【解析】（1）由表中数据可知，的最大值为1.5，最小值为0.5，所以，，，所以；（2）由（1）可知，由，得，所以，所以，因为，所以，，所以一天内从上午9点天下午3点共有6个小时可以冲浪.19．（2023