2024-2025学年度北师版九上数学-总复习-期末复习课（一）（第一章　特殊平行四边形）【课外培优课件】

总复习期末复习课期末复习课(一)（第一章特殊平行四边形）

1.如图，

AD

是△

ABC

的中线，四边形

ADCE

是平行四边形，增

加下列条件，能判断▱

ADCE

是菱形的是（

A

）A.∠

BAC

＝90°B.∠

DAE

＝90°C.

AB

＝

AC

D.

AB

＝

AE

A2.（2023·襄阳）如图，矩形

ABCD

的对角线相交于点

O

，下列

结论一定正确的是（

C

）A.

AC

平分∠

BAD

B.

AB

＝

BC

C.

AC

＝

BD

D.

AC

⊥

BD

（第2题图）C3.（2021·玉林）如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个

条件便得到正方形：（第3题图）a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角.顺次添加的条件：①a→c→d，②b→d→c，③a→b→

c

.正确的

是（

C

）A.仅①B.仅③C.①②D.②③C4.如图，点

E

是正方形

ABCD

中的一点，连接

EB

，

EC

，

EA

，

ED

.

若△

EBC

为等边三角形，则∠

BAE

的度数为

⁠.（第4题图）5.已知菱形

ABCD

的一条对角线长为6，边

AB

的长是方程

x2－8

x

＋15＝0的一个根，则菱形

ABCD

的面积为

⁠.75°

24

6.（2023·台州）如图，在矩形

ABCD

中，已知

AB

＝4，

AD

＝6.

在边

AD

上取一点

E

，使

BE

＝

BC

，过点

C

作

CF

⊥

BE

，垂足为

F

，则

BF

的长为

⁠.（第6题图）

7.（2023·长春）将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在

同一平面内按如图所示位置摆放.点

A

，

E

，

B

，

D

在同一直线

上，连接

AF

，

CD

.

（1）求证：四边形

AFDC

是平行四边形；（1）证明：由题意知，△

ACB

≌△

DFE

，∴

AC

＝

DF

，∠

CAB

＝∠

FDE

＝30°.∴

AC

∥

DF

.

∴四边形

AFDC

是平行四边形.（2）已知

BC

＝6cm，当四边形

AFDC

是菱形时，则

AD

的长

为

⁠cm.18

（2）【解析】在Rt△

ACB

中，∠

ACB

＝

90°，∠

CAB

＝30°，

BC

＝6cm，∴

AB

＝2

BC

＝12cm，∠

ABC

＝60°.∵四边形

AFDC

是菱

形，∴

AD

平分∠

CDF

.

∴∠

CDA

＝∠

FDA

＝

30°.∵∠

ABC

＝∠

CDA

＋∠

BCD

，∴∠

BCD

＝∠

ABC

－∠

CDA

＝60°－30°＝30°.∴∠

BCD

＝∠

CDA

.

∴

BC

＝

BD

＝6cm.∴

AD

＝

AB

＋

BD

＝18cm.故答案为18.8.如图，在▱

ABCD

中，已知对角线

AC

和

BD

相交于点

O

，过

点

A

作

AE

⊥

BC

于点

E

，延长

BC

到点

F

，使

CF

＝

BE

，连接

DF

，

OF

.

（1）求证：四边形

AEFD

是矩形；（1）证明：∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴

AB

∥

DC

，且

AB

＝

DC

.

∵

CF

＝

BE

，∴

EF

＝

BC

.

∴

EF

∥

AD

，且

EF

＝

AD

.

∴四边形

AEFD

是平行四边形.又∵

AE

⊥

BC

，即∠

AEF

＝90°，∴四边形

AEFD

是矩形.（2）若

AD

＝5，

CE

＝3，∠

ABF

＝60°，求

OF

的长.（2）解：由（1）知，

EF

＝

AD

＝5，

AE

＝

DF

.

∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴

BC

＝

AD

＝5，

OB

＝

OD

.

∵

EC

＝3，∴

BE

＝

CF

＝2.∴

BF

＝

BC

＋

CF

＝7.在Rt△

ABE

中，∵∠

ABE

＝60°，

9.如图，点

F

是矩形

ABCD

的边

BC

上一点，将矩形的一角沿

AF

折叠，点

B

落在点

E

处.若

AE

∥

BD

，∠

ADB

＝28°，则∠

AFC

＝

⁠°.（第9题图）149

【解析】∵四边形

ABCD

为矩形，∴∠

BAD

＝∠

ABC

＝90°.

∵

AE

∥

BD

，∴∠

DAE

＝∠

ADB

＝28°.∴∠

BAE

＝∠

BAD

＋∠

DAE

＝90°＋28°＝118°.∵矩形

ABCD

沿

AF

折叠，点

B

落在点

E

处，∴∠

BAF

＝∠

EAF

＝59°.∴∠

AFC

＝∠

BAF

＋∠

ABF

＝59°

＋90°＝149°.故答案为149.

（第10题图）

11.如图，在矩形

ABCD

中，已知点

E

，

F

分别是边

AB

，

AD

上

的动点，点

P

是线段

EF

的中点，

PG

⊥

BC

，

PH

⊥

CD

，垂足为

G

，

H

，连接

GH

，且

AB

＝8，

AD

＝6，

EF

＝6，求

GH

长的最

小值.解：如答图，连接

AC

，

AP

，

CP

.

∵四边形

ABCD

是矩形，∴

BC

＝

AD

＝6，∠

BAD

＝∠

B

＝∠

BCD

＝90°.

∵点

P

是线段

EF

的中点，

∵

PG

⊥

BC

，

PH

⊥

CD

，∴∠

PGC

＝∠

PHC

＝90°.答图又∵∠

HCG

＝90°，∴四边形

PGCH

是矩形.∴

GH

＝

CP

.

当

A

，

P

，

C

三点共线时，

CP

长的最小值为

AC

－

AP

＝10

－3＝7.∴

GH

长的最小值是7.答图12.如图，点

E

为正方形

ABCD

内一点，且满足∠

AEB

＝90°，将

△

ABE

绕点

B

按顺时针方向旋转90°，得到△

CBE

'（点

A

的对应

点为点

C

），延长

AE

交

CE

'于点

F

，连接

DE

.

（1）试判断四边形

BE

'

FE

的形状，并证明你的结论；（1）解：四边形

BE

'

FE

是正方形.证明如下：∵△

CBE

'是由△

ABE

绕点

B

按顺时针方向旋转90°得到，∴∠

CE

'

B

＝∠

AEB

＝90°，∠

EBE

'＝90°.又∵∠

BEF

＋∠

AEB

＝180°，∴∠

BEF

＝90°.∴四边形

BE

'

FE

是矩形.由旋转的性质可知，

BE

＝

BE

'，∴矩形

BE

'

FE

是正方形.（2）若

DA

＝

DE

，证明：

CF

＝

FE

'；

（3）若

AB

＝15，

CF

＝3，求

DE

的长.

13.（选做）如图1，已知四边形

BEFG

是正方形，点

C

在

BE

的

延长线上，点

A

在

GB

的延长线上，且

AB

＝

BC

，过点

C

作

AB

的平行线，过点

A

作

BC

的平行线，两条平行线相交于点

D

.

（1）证明：四边形

ABCD

是正方形；

（1）证明：∵四边形

BEFG

是正方形，∴∠

EBG

＝90°，即∠

ABC

＝90°.∵

CD

∥

AB

，

AD

∥

BC

，∴四边形

ABCD

是平行四边形.又∵

AB

＝

BC

，∠

ABC

＝90°，∴四边形

ABCD

是正方形.（2）当正方形

BEFG

绕点

B

按顺时针（或逆时针）方向旋转一

定角度，得到图2，使得点

G

在射线

DB

上，连接

BD

和

DF

，点

Q

是线段

DF

的中点，连接

CQ

和

QE

，猜想线段

CQ

和线段

QE

的关系，并说明理由；（2）解：猜想：

CQ

⊥

QE

，

CQ

＝

QE

.

理由如下：如图1，延长

EQ

交

BD

于点

P

，连接

CP

，

CE

.

∵四边形

BEFG

是正方形，∴

EF

∥

BG

，即

EF

∥

DG

，∠

EBG

＝90°，即∠

DBE

＝90°，

BE

＝

EF

.

∴∠

PDQ

＝∠

EFQ

.

∵点

Q

是

DF

的中点，∴

DQ

＝

FQ

.

又∵∠

DQP

＝∠

FQE

，∴△

DPQ

≌△

FEQ

（ASA）.∴

PQ

＝

QE

，

DP

＝

FE

.

∵四边形

ABCD

是正方形，∴∠

CDP

＝∠

CBD

＝45°，

CD

＝

CB

.

∴∠

CBE

＝∠

DBE

－

CBD

＝45°，即∠

CDP

＝∠

CBE

＝45°.又∵

CD

＝

CB

，

DP

＝

EF

＝

BE

，∴△

CDP

≌△

CBE

（SAS）.∴

CP

＝

CE

，∠

DCP

＝∠

BCE

.

∴∠

DCP

＋∠

PCB

＝∠

BCE

＋∠

PCB

，即∠

PCE

＝∠

BCD

＝90°.∵

CP

＝

CE

，∴△

CPE

是等腰直角三角形.∵

PQ

＝

QE

，∴

CQ

⊥

QE

，

CQ

＝

QE

.

（3）将正方形

BEFG

绕点

B

旋转一周时，当∠

CGB

＝45°时，

直线

AE

交

CG

于点

H

，探究线段

CH

，

EG

，

AH

的长度关系.（3）解：如图2，当点

G

在直线

BC

右侧，∠

CGB

＝45°时，

C

，

E

，

G

三点共线，此时点

E

与点