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文档简介
第一章特殊平行四边形回顾与思考
1.如图，已知点
D
，
E
，
F
分别是△
ABC
各边的中点，则下列
说法正确的是（
C
）A.四边形
ADEF
不一定是平行四边形B.当
DE
⊥
BC
时，四边形
ADEF
是矩形C.当
AB
＝
AC
时，四边形
ADEF
是菱形D.当△
ABC
是等边三角形时，四边形
ADEF
是正方
形（第1题图）C2.如图，在菱形
ABCD
中，点
E
是边
AB
上一点，
DE
＝
AD
，连
接
EC
.
若∠
ADE
＝36°，则∠
DEC
的度数为（
B
）A.56°B.54°C.50°D.48°（第2题图）B
A.3B.4C.5（第3题图）B4.（2022·重庆）如图，在正方形
ABCD
中，对角线
AC
，
BD
相
交于点
O
.点
E
，
F
分别为
AC
，
BD
上一点，且
OE
＝
OF
，连接
AF
，
BE
，
EF
.
若∠
AFE
＝25°，则∠
CBE
的度数为
.（第4题图）65°
（第5题图）
（第6题图）7.如图，已知四边形
ABCD
的对角线
AC
⊥
BD
于点
O
，分别过
点
C
，
D
作
CE
∥
BD
，
DE
∥
AC
，
CE
和
DE
交于点
E
，连接
AE
，交
BD
于点
F
，点
O
，
F
分别为
AC
，
AE
的中点.（1）求证：四边形
ODEC
是矩形；（1）证明：∵
CE
∥
BD
，
DE
∥
AC
，∴四边形
ODEC
是平行四边形.又∵
AC
⊥
BD
，∴∠
DOC
＝90°.∴▱
ODEC
是矩形.（2）若
OF
＝1，∠
CAE
＝30°，求
AC
的长.
8.如图，已知点
O
是菱形
ABCD
对角线的交点，
CE
∥
BD
，
EB
∥
AC
，连接
OE
，交
BC
于点
F
.
（1）求证：
OE
＝
CB
；（1）证明：∵
CE
∥
BD
，
EB
∥
AC
，∴四边形
OBEC
为平行四边形.∵四边形
ABCD
为菱形，∴
AC
⊥
BD
.
∴∠
BOC
＝90°.∴▱
OBEC
为矩形.∴
OE
＝
CB
.
9.（2022·贺州）如图，在矩形
ABCD
中，已知
AB
＝8，
BC
＝
6，点
E
，
F
分别是
AD
，
AB
的中点，∠
ADC
的平分线交
AB
于
点
G
，点
P
是线段
DG
上的一个动点，则△
PEF
周长的最小值
为
.
【解析】如答图，在
CD
上取点
H
，使
DH
＝
DE
，连接
EH
，
PH
，
FH
，过点
F
作
FK
⊥
CD
于点
K
.
在矩形
ABCD
中，∠
A
＝
∠
ADC
＝90°，
AD
＝
BC
＝6，
CD
＝
AB
＝8，∴△
DEH
为等腰
直角三角形.∵
DG
平分∠
ADC
，∴
DG
垂直平分
EH
.
∴
PE
＝
PH
.
∴△
PEF
的周长等于
PE
＋
PF
＋
EF
＝
PH
＋
PF
＋
EF
≥
FH
＋
EF
.
∴当
F
，
P
，
H
三点共线时，△
PEF
的周长最小，最小值
为
FH
＋
EF
.
答图
答图
答图
11.如图，在矩形
ABCD
中，已知∠
BAD
的平分线
AE
与
BC
边交
于点
E
，点
P
是线段
AE
上一定点（其中
PA
＞
PE
），过点
P
作
AE
的垂线与
AD
边交于点
F
（不与点
D
重合）.一个直角三角形
的直角顶点落在点
P
处，两直角边分别交
AB
边和
AD
边于点
M
，
N
.
（1）求证：△
PAM
≌△
PFN
；（1）证明：∵四边形
ABCD
是矩形，
∴∠
BAD
＝90°.∵∠
BAD
的平分线
AE
交
BC
边于点
E
，∴∠
BAE
＝∠
EAD
＝45°.∵
PF
⊥
AP
，∴∠
PAF
＝∠
PFA
＝45°.∴
PA
＝
PF
.
∵∠
MPN
＝90°，∠
APF
＝90°，∴∠
MPN
－∠
APN
＝∠
APF
－∠
APN
，即∠
MPA
＝∠
NPF
.
又∵
PA
＝
PF
，∠
MAP
＝∠
NFP
＝45°，∴△
PAM
≌△
PFN
（ASA）.（2）若
PA
＝3，求
AM
＋
AN
的长.
12.如图，在△
ABC
中，已知
AC
＝9，
AB
＝12，
BC
＝15，点
P
为
BC
边上一动点，
PG
⊥
AC
于点
G
，
PH
⊥
AB
于点
H
.
（1）求证：四边形
AGPH
是矩形.（1）证明：∵
AC
＝9，
AB
＝12，
BC
＝15，∴
AC2＋
AB2＝
BC2.∴∠
A
＝90°.又∵
PG
⊥
AC
，
PH
⊥
AB
，∴∠
AGP
＝∠
AHP
＝90°.∴四边形
AGPH
是矩形.（2）在点
P
的运动过程中，
GH
的长是否存在最小值？若存
在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
13.（选做）如图，在边长为1的正方形
ABCD
中，点
K
在
AD
上，连接
BK
.
过点
A
，
C
作
BK
的垂线，垂足分别为
M
，
N
，点
O
是正方形
ABCD
的中心，连接
OM
，
ON
.
（1）证明：△
ABM
≌△
BCN
；
（2）请判定△
OMN
的形状，并说明理由；（2）解：△
OMN
是等腰直角三角形.理由如下：如图，连接
OB
.
∵点
O
是正方形
ABCD
的中心，∴
OA
＝
OB
，∠
OBA
＝∠
OAB
＝45°＝∠
OBC
，
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