材料力学全套教学课件

材料力学第1章材料力学基本概念第2章轴向拉伸与压缩第3章剪切与扭转第4章弯曲内力第5章弯曲应力第6章弯曲变形第7章应力状态和强度理论第8章组合变形强度计算第9章压杆稳定第10章能量法介绍第1章材料力学基本概念1.1材料力学的任务1.2基本假定和研究方法1.3内力和应力的概念1.4杆件的变形形式1.1材料力学的任务变形固体分类依据长、宽、高（厚）三个尺寸相对大小关系变形固体分类结果实体（块体）平板和壳体杆件1.1.1变形固体分类（1）实体实体定义长、宽、高三个方向尺寸属于同一数量级者实体(body)又称块体、3D固体力学范畴受力后变形分析十分复杂弹性力学的研究范畴应用实例机械上粗短铸件、基座土木上重力坝、重力锚实体结构（2）平板和壳体定义长、宽两个方向的尺寸相对较大，厚度方向的尺寸相对较小。平分厚度的面=中面中面为平面者=平板,中面为曲面者=壳体板壳应用甲板、楼板机翼、容器力学领域受力后的变形分析比较复杂板壳力学的研究领域壳体结构（3）杆件（Bar）定义长度方向的尺寸远远大于宽、高两个方向（或直径）的尺寸者称为杆件，简称杆杆件分类按轴线分：直杆+曲杆按截面分：等截面杆+变截面杆杆件和杆系的对应学科材料力学主要研究等截面直杆结构力学研究复杂的杆件系统杆系结构1.1.2材料力学的任务结构与构件的概念结构：能承受作用并具有适当刚度的由各连接部件有机组合而成的系统结构构件：结构在物理上可以区分出的部件结构构件：屋盖、楼板、梁、柱、基础非结构构件：门、窗、隔墙结构功能要求安全性能够承受各种作用偶然事件发生保持整体稳定适用性良好的工作性能挠度不大裂缝不宽耐久性结构在规定的工作环境中、预定时期内，材料性能的劣化不致导致结构出现不可接受的失效概率发生火灾时，在规定时间内可保持足够承载力发生撞击、爆炸时，整体稳定性1.1.2.1结构的功能要求结构的可靠性在规定的时间内结构设计使用年限在规定条件下一切正常结构完成预定功能的能力结构不能完成预定功能=失效安全性适用性耐久性三个方面（1）强度（Strength）—抵抗破坏的能力（2）刚度（rigidity）—抵抗变形的能力（3）稳定性（stability）—保持原有平衡形式的能力两种状态（1）承载力极限状态—强度、稳定性（2）正常使用极限状态—刚度1.1.2.2构件的强度、刚度和稳定性可靠性与经济性可靠性要求

构件截面尺寸增大经济性要求构件截面尺寸减小材料力学的任务为解决构件设计中可靠性与经济性的这一对矛盾提供理论依据保证可靠的前提下，尽可能经济1.1.2.3材料力学的任务研究基本变形杆件之强度条件刚度条件稳定性条件连续性假定材料宏观上无间隙，连续分布于所占据的空间物理量是空间位置的连续函数均匀性假定材料均匀分布，各点具有相同的力学性质材料的力学性质与所处空间位置无关1.2基本假定和研究方法1.2.1基本假定各向同性假定物体内部每一点沿各个方向的力学性质相同材料的力学性质和空间方位无关=各向同性材料，否则为各向异性材料（如木材）小变形假定外力引起的变形与构件原始尺寸相比十分微小利用变形前的尺寸计算支座反力、杆件内力（1）一般分析方法静力分析选取脱离体，写静力平衡方程求解支座反力、杆件内力、应力几何分析根据变形和约束情况，分析变形后的几何关系变形相容（变形协调）物理分析根据试验得到的材料参数1.2.2材料力学的研究方法分析力和变形之间的因果关系（2）材料力学的研究手段

解析公式数值计算试验分析本课程主要讲授解析公式介绍材料的力学性能试验，以及应力测试方法不涉及数值计算1.3内力和应力的概念1.3.1外荷载及其分类（1）荷载的概念荷载（load）直接作用于结构上的集中力和分布力土木行业称为荷载，机械行业称为载荷荷载类型永久荷载（恒荷载）可变荷载（活荷载、风荷载、雪荷载）偶然荷载（爆炸力、撞击力）（2）分布线荷载集度（大小）分布力系分类体积分布：体积力（体力）—例如自重面积分布：面积力（面力）—例如雪压力长度分布：线荷载（线力）分布集度单位体积（面积、长度）分布力大小=集度

线荷载集度=体力集度×杆件横截面面积线荷载集度=面力集度×受荷面积宽度=体力集度厚度例1-1

楼面做法为：硬木地板（0.2kN/m2），20mm厚水泥砂浆找平层（20kN/m3），80mm厚钢筋混凝土现浇楼板（25kN/m3），钢丝网抹灰吊顶（0.45kN/m2），试求板的面积荷载。若板宽3m，求线荷载。解面积荷载

=0.2+200.02+250.08+0.45=3.05kN/m2

线荷载=3.053=9.15kN/m1.3.2内力的定义和分量（1）内力的概念内力的定义外力引起的物体内部质点之间的作用力是分布力系，向截面中心简化为主矢与主矩内力的求法截面法求内力四个步骤：截、去、代、平FFFN=F（2）内力的分量主矢量三个分量法向力：轴力N切向力：剪力VVy、Vz主矩三个分量对轴线x的矩：扭矩T对垂直于轴线的矩：弯矩MMy、Mz应力的定义单位面积上的内力，定义为应力（stress）或截面上内力的集度，定义为应力微元面积上的平均应力点的应力应力s的方向就是内力

F的方向1.3.3应力的定义和分量应力的分量应力沿截面法线方向的分量，称为法向应力（normalstress）或正应力，用

表示应力平行于截面的分量，称为切向应力、切应力（shearstress）或剪应力，用

表示应力的单位基本单位：N/m2=Pa常用单位：kN/m2=kPa

MN/m2=MPa

GN/m2=GPa

1MPa=106Pa=1N/mm2

1GPa=109Pa=103N/mm2

1kPa=103Pa帕千帕兆帕吉帕例1-2已知某斜面上A

点的应力大小s=100MPa，方向与斜平面的法线成30

角。试求该点的正应力和剪应力大小。解正应力=应力的法向分量剪应力=应力的切向分量1.4杆件的变形形式几何尺寸变化=线变形几何形状变化=角变形1.4.1杆件的变形参数1.4.1.1线变形参数绝对变形：伸长或缩短量

l相对变形：单位长度的伸长或缩短定义为正应变

正应变又称线应变，无量纲伸长为正、缩短为负角度的改变，夹角增大或减小剪应变直角的改变量定义为剪应变，用

表示弧度为单位工程剪应变（切应变）

1.4.1.2角变形参数无量纲参数直角减小为正，增大为负轴向拉伸与压缩变形拉力作用下伸长压力作用下缩短

产生正应变构件称为拉杆、压杆（柱）剪切变形相邻截面发生相对错动本质是角度变化

可用剪应变度量通常是些连接构件，如键、螺栓、榫头1.4.2杆件的基本变形扭转任意两截面之间绕轴线相对转动角度变化=角变形扭转变形为主的构件=轴弯曲直的轴线变成曲线凸边受拉伸长凹边受压缩短弯曲变形为主构件=梁

组合变形的概念拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲为基本变形构件产生两种或两种以上基本变形=组合变形常见组合变形拉伸（压缩）与弯曲组合弯曲与弯曲组合，竖直面内弯曲+水平面内弯曲，某些情况下又称斜弯曲扭转与弯曲组合拉伸（压缩）、扭转与弯曲组合1.4.3杆件的组合变形TheEnd第2章轴向拉伸与压缩2.1轴向拉伸与压缩的概念2.2轴力与轴力图2.3轴向拉压应力计算2.4材料的力学性能2.5轴向拉压强度条件2.6轴向拉压变形计算2.7简单拉压超静定问题2.8组合拉压杆的应力计算2.1轴向拉伸与压缩的概念外力特点作用于杆件的外力（分布力、集中力）作用线与杆件轴线重合，且满足平衡条件作用线通过截面轴心，轴心受拉（压）内力特点杆件横截面上只有轴力N其他内力分量均为零2.1.1拉伸与压缩的受力特点拉杆的变形特点纵向伸长（沿杆件轴线方向伸长）横向缩短（垂直杆件轴线方向收缩）压杆的变形特点纵向缩短横向膨胀2.1.2拉压杆的变形特点FFFF伸长变细缩短变粗桁架杆件上弦杆受压下弦杆受拉一部分腹杆受拉，另一部分腹杆受压拉杆拉索斜拉桥的拉杆悬索桥的主缆起重设备的吊索2.1.3拉压杆的工程案例2.2轴力与轴力图端部一对外力作用端部承受一对等值、反向、作用线与轴线重合的外力F轴力N=F（拉+，压-）桁架杆件二力杆件，受拉或受压理论力学中的节点法或截面法计算杆件内力2.2.1轴力计算方法FFFN=F多个轴向外力截面法计算任意截面轴力截、去、代、平四个步骤F1F2F3F4F5F1F2N轴力=截面以左外力之和（左指为正）截面法截开，取左半段平衡解得说明F1F2F3F4F5NF3F4F5左半段平衡的结果为轴力=截面以左外力之和（左指为正）

=截面以右外力之和（右指为正）相等？截面上下亦然也可取右半段平衡解得相等轴力=截面以右外力之和（右指为正）说明轴力图的概念轴力N一般是截面位置x的函数N=N(x)轴力N随x的变化曲线，称为轴力图作轴力图的目的直观了解轴力变化情况判断危险截面轴力图的作法横坐标—杆件轴线纵坐标—轴力，标注关键点的数值轴力随截面位置变化的图形OxN(kN)106182.2.2杆件的轴力图例2-1作图示杆件的轴力图。解杆件分三段，自左至右分别为第1段，第2段，第3段20kN10kN25kN15kNkNkNkN作轴力图xN15kN10kN20kNNmax=20kN例2-2作边长1.2m的正方形受压柱的轴力图（容重

=25kN/m3）解：（1）先写内力函数40kN5m（2）作图xN40kN220kN

N(x)=-40-251.21.2x=-40-36x

x横截面上的应力公式在横截面上仅存在正应力，没有剪应力。正应力在截面上均匀分布。计算公式：2.3轴向拉压应力计算FFNF

截面上的平均正应力就是任意一点的正应力2.3.1拉压杆件横截面上的正应力应力分布和外力的关系外力大小相等，但分布形式不同，在外力作用位置附近，应力分布相差较大远离外力作用区域，应力分布趋于相同F

F

这种影响称为圣维南原理。用等效力系替代外力，对应力的影响在远离外力作用区域可以忽略不计。例2-3图示结构，计算各杆应力。已知：杆1直径20mm，杆2边长100mm。解：先求内力（节点A平衡）2ABC125kN45

后求应力MPaMPa25kNAN1N245

2.3.2拉压杆件斜截面上的应力斜截面上的总应力与横截面夹

角的斜截面假定应力在斜截面上均匀分布sFF

FN

斜截面上的应力分量法向分量——正应力切向分量——剪应力（切应力）sF

特殊截面上的应力分量横截面(

=0)上正应力取极值，剪应力为零纵截面(

=90)上正应力和剪应力皆为零在

=45的斜截面上剪应力取极值（拉为例）正应力拉+，压-剪应力绕脱离体顺时针转+，逆时针转-例2-4图示拉杆，F=200kN。试求AB和BC截面的正应力和剪应力，并计算杆内最大正应力和最大剪应力。解（1）横截面上的正应力FFABC50

40

20100MPa（2）AB斜面上的应力（

=50）MPaMPa（3）BC斜面上的应力（

=-40）FFABC50

40

20100MPaMPa（4）最大正应力和最大剪应力MPa出现在横截面上MPa出现在45

斜面上2.3.3应力集中的概念应力分布影响因素外力分布的影响，局部范围（圣维南原理）杆件截面的影响，等截面杆中远离杆端均匀分布应力集中现象变截面拉杆应力非均匀分布截面尺寸突变，应力分布的峰值急剧增大，这种现象称为应力集中2.3.3.1应力集中现象应力集中的程度随截面变化的缓急而变化。截面变化缓，应力集中程度低截面变化急，应力集中程度高2-2截面应力集中程度高1-1、3-3截面应力集中程度较低应力集中的影响对工程结构或构件一般有害生产、生活中也存在有利的一面应力集中的理论结果半径为a的小圆孔周边qqxy3qO弹性力学理论解答2.3.3.2应力集中系数在x=0的横截面上在小圆孔周边，y=a的点应力最大应力峰值是平均值的3倍！在离开小圆孔很远的点应力趋于均匀椭圆孔周边应力集中系数应力分布的最大峰值与平均应力的比值定义为应力集中系数椭圆孔小圆孔b=a横向裂纹b=0断裂力学研究裂纹问题引入“应力强度因子”纵向裂缝a=0机械构件不在构件上开孔、沟、槽不得不开孔时尽量开圆孔尽量采用等截面，截面有变化时采用圆角过渡土木（结构）构件楼板开洞不大时，洞口附近配置附加钢筋楼板开洞较大时，洞边设置边梁砖房转角处，设置钢筋混凝土构造柱不同尺寸钢板焊缝拼接时，坡度过渡2.3.3.3减小应力集中影响的措施生活中的利用新布边缘剪开一个小口，很容易扯开密封塑料袋包装，封口附近锯齿形缺口或切缝，容易撕开切割玻璃时，先用金刚石刀具划痕，再将划痕两侧玻璃轻轻一掰，玻璃便断开冲击韧性试样正方形截面试样，中部V形切槽保证切槽部位发生冲击断裂2.3.3.4应力集中的利用F2.4材料的力学性能拉伸试验常温（室温）静载标准试件万能材料试验机标准试件l=10d,5dh=(1.5~3)d2.4.1低碳钢拉伸力学性能测定拉力F，伸长量

l：绘制F—

l曲线=拉伸图拉力计算应力

=F/A，伸长量

l

计算应变

=l/l，绘制应力—应变曲线单位长度的伸长=正应变

Q235钢的拉伸性能应力应变曲线分析（1）弹性阶段OA

试样产生弹性变形A点应力：弹性极限

eOP为直线关系P点应力：比例极限

p当

p时，应力和应变成比例：胡克定律比例系数E为弹性模量或杨氏模量，表2.1横向应变和纵向应变之比的绝对值为泊松比（2）屈服阶段ABC

屈服现象屈服极限：上屈服点下屈服点屈服极限

sB点卸载，沿Bb下降，且Bb//OP残余应变（塑性应变）Ob斜直线Bb的斜率=弹性模量

应力增量与应变增量成比例

卸载定律存在非弹性变形，即塑性变形

=E

（3）强化阶段CD

强化和冷作硬化：比例极限提高强度极限：

b

最大力下的总伸长率

gt

gt拉断前达到最大力时的均匀应变=均匀伸长率钢筋的延性指标卸载定律：

=E

（4）颈缩阶段DE颈缩现象断裂（fracture）延伸率（断后伸长率）

5%，延性材料

5%，脆性材料长试样

10，短试样

5，前者小而后者大。钢材出厂以后者为标准。建筑钢材

18%钢轨钢

8%断面（截面）收缩率应力-应变曲线曲线类似于Q235的应力-应变曲线图，强度参数更高黄铜H62没有屈服阶段高碳钢T10A没有屈服和颈缩合金钢20Cr没有明显的屈服2.4.2其他材料拉伸力学性能2.4.2.1延性材料拉伸力学性能名义屈服极限无明显屈服现象的延性材料定义名义屈服极限

0.2

0.2%

0.2（1）铸铁拉伸无直线关系强度低仅抗拉强度

b（2）混凝土拉伸直接拉伸试验比较困难

混凝土拉伸无直线关系，弹性模量E值确定方法切线模量

铸铁拉伸

b2.4.2.2脆性材料拉伸力学性能割线模量间接拉伸——劈裂拉伸压缩试样钢、铁试样混凝土试样砂浆试样砖石块体材料压缩试验压力机加力测定变形量2.4.3材料的压缩力学性能Q235钢压缩性能性能与拉伸相同强化以后曲线上翘钢试样压不烂测不到强度极限铸铁压缩性能Q235钢试件铸铁试件应力应变非比例关系抗压强度高于抗拉强度2.4.3.1钢铁材料的压缩力学性能立方体强度fcu,k弹性模量Ec立方体抗压应力应变无直线关系抗压强度远高于抗拉强度2.4.3.2混凝土的抗压性能棱柱体抗压压缩曲线与强度等级有关抗压强度低于立方体强度确定强度等级砖石材料的抗压能力远高于其抗拉能力通常用于受压场合仅测定材料的抗压强度测定每块砖的抗压强度工程上以10块砖抗压强度的平均值来确定其强度等级石材需加工成标准试样：70mm70mm70mm用三个试样抗压强度的平均值确定石材的强度等级2.4.3.3砖石材料的抗压性能例2-5

某试样材料的弹性模量E=200GPa，试验加载到强化阶段，当正应变

=0.5%时开始卸载，完全卸载后塑性应变

p=0.3%。试求卸载开始时试样截面上的正应力。解:卸载过程中消失或恢复的弹性应变为应变增量卸载过程中应力增量卸载定律例2-6

拉伸试验，计算相应指标。已知：标准钢试件直径10mm，标距100mm，屈服荷载18.6kN，拉断前最大荷载29.8kN；断后标距为128.32mm，颈缩处最小直径为6.12mm。解:强度值MPaMPa塑性指标2.5轴向拉压强度条件强度设计方法许用应力法：1826年法国人纳维提出极限状态设计法：廿世纪中后期方法选用规定房屋建筑、铁路、公路、港口、水利水电等各类工程结构的设计，宜采用以概率理论为基础、以分项系数表达的极限状态设计方法当缺乏统计资料时，根据可靠的工程经验或必要的试验研究，也可采用许用应力法《工程结构可靠性设计统一标准》GB50153-2008极限应力：失效应力材料的许用应力：工作应力的容许值K—安全系数>1Ks—延性材料安全系数Kb—脆性材料安全系数许用应力又称容许应力2.5.1材料强度指标设计取值2.5.1.1极限应力和许用应力一些材料的许用应力取值混凝土结构的吊钩：HPB300制作[

]=65MPa压力容器：Q235钢[

]=100~120MPaQ345钢厚度t16mm[

]=170MPa厚度t=17~25mm[

]=160MPa钢轨钢：U74[

]=300~320MPaU71Mn[

]=340~360MPa材料强度标准值钢材依据强度标准值确定强度等级：

Q235、Q345、Q390、Q420、Q460钢钢筋：HPB300、HRB335、HRB400、HRB500、

RRB400、HRBF335、HRBF400、HRBF500混凝土依据立方抗压强度标准值确定强度等级：

C15、C20、C25、C30……C80同一材料不同试样测得的材料强度（失效应力）并非常数，具有随机性随机数据的特征参数有：平均值、标准差、变异系数。建筑结构取具有95%保证率的失效应力作为材料强度标准值，用fk表示。2.5.1.2材料强度标准值和设计值砂浆强度等级：

M15、M10、M7.5、M5、M2.5依据材料强度平均值确定强度等级烧结砖的强度等级：

MU30、MU25、MU20、MU15、MU10蒸压砖的强度等级：

MU25、MU20、MU15、MU10石材的强度等级：

MU100、MU80、MU60、MU50、MU40MU30、MU20材料强度标准值除以材料分项系数而得fk—材料强度标准值，具有95%保证率。钢材的实际保证率不低于95%

M—材料分项系数，由可靠度理论分析确定混凝土1.4砌体1.6（B级施工质量）普通钢筋1.1、1.15预应力筋1.2碳素结构钢1.087低合金高强度结构钢1.111材料强度设计值公路桥涵结构的可靠度高于建筑结构，所以材料分项系数取值大一些。混凝土1.45、普通钢筋1.2强度条件的公式构件不破坏或不失效的条件称为强度条件横截面上的正应力不超过材料的抗拉(抗压)能力（规定应力值）极限状态法许用应力法或或2.5.2横截面上正应力强度条件强度条件的适用情况拉杆：一切受拉构件短柱：粗短受压构件或截面有削弱的受压构件三类问题

强度验算（承载力复核）：全部已知，验算不等式是否成立截面设计：由公式求最小面积许可荷载（承载力）：求杆件能承受的最大轴力及其相应的外载荷强度计算不管拉压，一律采用正值强度计算采用构件的净截面面积例2-7

图示结构，选择AB杆角钢型号，钢材的抗拉强度设计值f=215MPa。解：内力ABC60

100kNmm2选热轧等边角钢

506，A=5.688cm2强度条件求面积100kNNABNAC60

A查附表7例2-8承载力验算

490mm490mm的短砖柱，采用MU15的烧结普通砖、M5的混合砂浆砌筑，承受轴力设计值280kN，验算该柱强度。解：面积A=0.490.49=0.24m2<0.3m2抗压强度设计值f=(0.7+A)1.83=1.72MPa（1）内力条件

fA=1.720.24103=412.8kN

>

N=280kN,满足要求（2）应力条件MPa

f=1.72MPa满足要求附表5例2-9

图示简单吊架，A点作用竖向荷载F。已知各杆件截面面积A1=616mm2、A2=380mm2，材料许用应力[

]=160MPa。试求许可荷载[F]。解：内力与外荷载的关系解得按1号杆强度求荷载两杆都要满足强度条件，F117.5kN按2号杆强度求荷载求许可荷载许可荷载为上限值2.5.3斜截面上强度条件需要验算斜截面上强度条件的情况斜截面用胶粘接时，验算斜向胶层强度斜对接焊缝，验算焊缝强度斜截面上强度条件正应力强度条件剪应力强度条件FF

同样可以进行三类计算纵向伸缩量胡克定律：应力-应变关系l

lFF2.6.1拉伸压缩胡克定律弹性模量表征材料刚度

杆件截面拉压刚度2.6轴向拉压变形计算胡克定律：内力-变形关系横向变形量变形规律纵向伸长，横向收缩纵向缩短，横向膨胀横向应变TheFrenchmathematicianSimeonPoisson(1781-1840)identifiedthisexistencein1811.l

la

aFF考虑泊松比横向伸缩量伸长为正，缩短为负。如果内力或截面面积是x的函数，则成为积分杆件只分一段时杆件分多段时先分段计算伸缩量，然后叠加2.6.2杆件纵向伸缩量计算例2-10

求图示杆件的总伸缩量，已知：A1=A3=500mm2，A2=300mm2，材料的弹性模量E=2105MPa。解:内力

N1=30kNN2=-20kNN3=-40kN1m1m2m50kN2040312伸缩量:各段伸缩值mm总伸缩值mmmmmm负号表明是“缩短”例2-11

有一直径为d的圆截面钢杆，已知其轴向应变为

，弹性模量为E，则杆内的轴力N

应为（）。解：答案：D例2-12

钢缆自由下垂，求自重引起的位移。已知：钢缆长度l=100m；材料容重

=78kN/m3，弹性模量E=200GPa。解：距自由端x截面内力：N(x)=Ax伸长量mm与粗细无关xlEA2.6.3简单结构的位移计算平面结构节点位移杆件伸缩变形后，杆件端点（杆端）有位移水平位移u（x方向）竖向位移v（y方向）节点位移确定方法节点由多杆相交而成，变形后杆件不能脱开在各杆沿轴线方向伸缩变形后的位置作垂线（代替圆弧线），垂线的交点就是节点变形后的位置由几何关系计算节点位移例2-13

求图示结构B点竖直位移。已知P=20kN，CD杆长l=2m，横截面面积A=200mm2，弹性模量E=200GPa，AB为刚性杆。2m2mABCDP解：CD杆伸长量kNmm

lvBB点位移mm例2-14

图示桁架，各杆EA相同，试求B点的水平位移和竖直位移。解：解得（1）杆件轴力以点B为研究对象，1杆受压，2杆受拉BFN1N245

（2）杆件伸缩量1杆缩短2杆伸长（3）节点B的位移在各杆沿轴线方向伸缩后的位置作垂线，交点B

为变形后的位置。(

)(

)2.7简单拉压超静定问题超静定问题的概念未知量个数m>静力平衡方程数n超静定次数m-n物体（结构）平衡需要最低约束数量，超静定的本质在于约束（或杆件）数超过这个最低数量，故存在所谓的“多余约束”超静定结构的形成静定结构的基础上，人为增加约束或支座多余约束或支座的数目=超静定次数变形协调平衡方程数量不够构件各部分变形之间的关系=变形协调变形协调—转化为力的关系

补充方程求解步骤根据静力平衡条件写出独立的平衡方程根据变形之间的几何关系，列出变形协调条件将协调条件转化为补充方程联立平衡方程和补充方程求解未知量2.7.1超静定问题的解法例2-15绘图示直杆的轴力图。解：一次超静定问题（1）平衡方程aaaABP2PP2PRARB（2）变形协调方程

杆两端固定，总的变形为零结果N

图5P/3P/34P/3(-)(+)补充方程例2-16

将材料不同但尺寸和形状相同的两杆并联固结于杆两端的刚性板上，如图所示。已知材料弹性模量E1>E2。若两杆都发生均匀拉伸，试求两杆内力和偏心距e。解:本题待求未知数为三个（二杆内力和偏心距），独立的平衡方程为二个，故为一次超静定问题。eFFbbE2E1FeoN2N1b/2b/2（1）静力平衡方程（2）变形协调方程两杆均匀拉伸，伸长相等FeoN2N1b/2b/2补充方程（3）求解结果

2.7.2温度应力杆件的温度效应温度上升，杆件伸长温度下降，杆件缩短静定结构中的温度效应温度变化导致结构位移温度变化不引起杆件内力超静定结构中的温度效应温度变化导致结构位移温度变化引起杆件内力，产生应力=温度应力温度应力的求解方法同超静定解法杆件变形=温度变化引起的变形+内力引起的弹性变形例2-17

图示钢杆，放置于两刚性块之间，若温度上升30C，试求由此引起的杆内应力（温度应力）。材料的线膨胀系数

=12.510-6(1/C)，弹性模量E=200GPa。解：设轴为N，杆件变形由两部分构成总变形为零温升引起压应力，温降就会引起拉应力。工程解决方法：（1）留间隙—铁路钢轨，水泥混凝土路面（2）留弯管—高温管道（蒸汽管道）（3）设缝—桥梁伸缩缝建筑结构温度缝轴力为杆件应力为MPa2.7.3装配应力装配应力构件制造（制作），长短微小误差静定结构中仅引起几何形状微小改变超静定结构需要强力安装，会引起应力=装配应力（安装应力）求解方法写平衡方程根据变形协调条件建立补充方程求装配内力，装配应力例2-18

两铸件用钢杆1、2连接，铸件间距l=200mm。现要将制造后比原尺寸长

=0.11mm的铜杆3装入铸件之间，并保持三杆轴线平行且有等间距a，试求各杆内的装配应力。已知钢杆直径10mm，铜杆截面20mm30mm，弹性模量E1=200GPa、E3=100GPa，设铸件为刚体。解：（1）平衡方程杆1、2受拉，杆3受压（2）补充方程变形协调

l1=

l2

，且补充方程（3）杆件内力A1=102/4=78.5mm2A3=2030=600mm2E1=200,E3=100GPa（4）装配应力3.8组合拉压杆的应力计算组合拉压杆两种不同材料制成的杆件，承受拉力或压力应力计算不能简单采用

=N/A组合杆的应用钢筋混凝土杆件=钢筋+混凝土钢管混凝土杆件=钢管+混凝土角钢加固木构件=钢+木既有构件粘钢、粘碳纤维……组合拉压杆应力计算方法两种材料杆件各自分担内力由自身分担的内力计算各自的应力（1）平衡方程（2）补充方程材料1和材料2伸缩量相等（3）计算内力（4）应力计算材料1的应力—换算面积：换算为材料1令材料1的面积

1：A1材料2的面积放大

E倍：

EA2材料2的应力换算面积法例2-19截面为300mm300mm的钢筋混凝土轴心受拉构件，承受拉力100kN作用，试计算应力。混凝土强度等级C30，Ec=30GPa钢筋Es=200GPa配置钢筋420解（1）换算面积：混凝土为1、钢筋为2（2）应力计算混凝土的应力N/mm2钢筋的应力N/mm2小于混凝土的抗拉强度设计值ft=1.43N/mm2问题：三种材料组成的截面如何计算？材料1材料2材料3FF（1）换算面积（2）应力计算第一种材料应力第二种材料应力第三种材料应力（3）预应力混凝土的换算面积轴心受拉时混凝土的拉应力普通钢筋换算系数预应力筋换算系数净面积换算面积TheEnd第3章剪切与扭转3.1剪切与扭转的概念3.2剪切的实用计算3.3扭矩与扭矩图3.4圆轴扭转时的应力和变形计算3.5非圆截面杆件扭转简介3.1剪切与扭转的概念受力外力垂直于杆轴，相距很近剪切面上的内力为剪力变形相对错动（相邻截面）角度变化3.1.1杆件剪切变形的概念FF剪切面FVFF

产生剪切变形的构件连接件：螺栓、销钉、铆钉、键木材的齿连接剪切面个数nv单面剪切双面剪切三面剪切……FFFF/2F/2F/2F/2F/3F/3F/3外力特点外力偶作用面垂直于杆件轴线，右手定则平行于杆件轴线外力偶矩平衡（静止不动，或匀角速度转动）变形特点外力偶作用面之间任意两横截面发生相对转动（绕轴线）扭转角

MeMe扭转变形为主的构件=轴（shaft）3.1.2杆件扭转变形的概念扭转的工程实例传动轴主动轮带动从动轮转动每轮处存在外力偶汽车方向盘的转向轴转向力通过方向盘以力偶传给转向轴ABCDB

C

相邻截面发生相对错动剪切位移（相对错动位移）BB

或CC

小变形假设直角的改变量（弧度）称为剪应变（shearstrain），或角应变、切应变。3.1.3剪切胡克定律剪应变ABCDB

C

剪切面上有剪应力

在比例极限内，剪应力

与剪应变

成正比比例常数G称为剪切弹性模量，或切变模量具有应力的量纲，常以GPa为单位材料常数之间的关系三个弹性常数中仅两个独立剪切胡克定律图示正交平面构成的长方体x、y、z方向力自动平衡对y、z轴的矩自动平衡剪应力互等定理：在相互垂直的面上，剪应力双生互等，对交线而言，同背向。xyzOdydxdz

3.1.4剪应力互等定理3.2剪切的实用计算剪应力实用计算截面法求剪力3.2.1剪应力和承压应力实用计算FF剪切面NcRNt剪应力在剪切面上分布复杂，很难精确计算对于单面剪切和螺栓双面剪切，设剪切面有nv个剪应力实用计算实用计算假定剪应力在剪切面上均匀分布则截面上的剪力物体之间的作用力F，并非集中力，而是在一个面积内分布的分布压力，其集度成为承压应力或挤压应力（bearingstress）FF剪切面假定在计算承压面上均匀分布计算承压面=真实面积（平面接触）

=假面积dt（半圆柱面接触）dt承压应力实用计算tABCD平面承压面平面承压面半圆柱面承压面例3-1

图示榫接头，求剪切面上的剪应力和承压面上的承压应力。解剪切应力MPa承压应力MPa40040016080kN80kN6080kNF剪切面承压面例3-2铆钉受力如图，承压应力计算有下列四种：

A.

bs=F/(td)B.

bs=2F/(td)C.

bs=2F/(

td)D.

bs=4F/(

td)解承压高度t/2FFdt/2t/2答案：B例3-3

图示法兰盘由四个直径10mm的螺栓连接，承受力矩作用，砝兰盘厚度12mm。计算连接的剪应力和承压应力。解：每个螺栓承力F1501200N.mFN剪应力MPa承压应力MPaO极限状态设计法材料的抗剪强度设计值材料的承压强度设计值许用应力法材料的许用(容许)剪应力材料的许用（容许）承压（挤压）应力3.2.2剪切和承压强度条件及应用3.2.2.1剪切和承压强度条件工程上采用搭接和加盖板的对接，故为单面或双面剪切单个螺栓抗剪满足抗剪条件，一个螺栓所能承担的（钢板上）轴力值单个螺栓承压同一受力方向承压构件的较小总厚度满足承压条件，一个螺栓所能承担的轴力值3.2.2.2钢材螺栓受剪连接设计计算既满足抗剪，又满足承压，一个螺栓所能承担的轴力已知总的轴向拉力（或压力）设计值N，连接所需螺栓数为收尾法取整例3-4

两块钢板用普通螺栓的盖板拼接。钢板宽360mm，厚8mm；盖板厚6mm。已知轴心拉力设计值N=325kN，钢材为Q235B，C级螺栓（4.8级）M20。试求连接一侧所需螺栓个数。附表3：已知螺栓抗剪强度设计值为140MPa，承压强度设计值305MPa.NNNN解答：N/mm2N/mm2一个螺栓承载力（双面剪切）NNNkN连接一侧所需螺栓数可取7个或8个螺栓基本要求齿深hc：方木

20mm，原木

30mm支座节点齿深

h/3，中间节点齿深

h/3受剪面长度lv：4.5hc

lv

8hc

强度条件3.2.2.3木材单齿连接设计计算介绍NcRNt齿面承压齿槽根部受剪1.需要剪切破坏的情形（1）保险钉、保险栓（2）冲压加工（3）剪裁材料（剪断钢筋、钢板）2.剪切破坏条件剪切面上的计算剪应力不低于材料的抗剪强度极限tt3.2.3剪切破坏条件例3-5

已知钢板厚度t=10mm，钢板的剪切强度极限

b=400MPa，若用冲床在此钢板上冲出一个直径d=30mm的圆孔，问需要多大的冲切力F？解：在冲孔中，剪切面是一个圆柱面冲孔条件所以NkNtt3.3扭矩与扭矩图MexMe3.3.1杆件外转矩计算已知力偶矩已知力偶矩Me不需要再计算已知力和力臂已知力F，力臂a外转矩Me=Fa旋转构件已知功率和转速设功率(Power)为P，转速为n(转/分，r/min)d

Me所以当Pk(kW),n(r/min)N.m当Ph(horsepower马力),n(r/min)N.m做功功率扭矩正负符号规定右手法则，大拇指所指为T的指向T与截面的外法线一致者为正，反之为负

任意截面的扭矩TTMe1Me1Me2Me3Me2Me3x左段平衡3.3.2杆件截面扭矩计算T=

截面以左外转矩之和（左指为正）T=

截面以右外转矩之和（右指为正）TTMe1Me1Me2Me3Me2Me3x左段平衡结果右段平衡规律总结：扭矩图扭矩沿杆件截面位置变化的曲线（图线），称为扭矩图是内力图之一坐标系横坐标—杆件轴线纵坐标—扭矩T(N.m)x150120100直观判断危险截面3.3.3杆件的扭矩图例3-6作图示杆件扭矩图解：1800N.m5000N.m2000N.m1200N.mT(N.m)x180032001200例3-7：作扭矩图已知轴之转速1000r/min，B处输入功率20kW，A、C轮输出分别为12kW和8kW。解：（1）外转矩ABCN.mN.m（2）扭矩图xT

(N.m)114.5976.393.4圆轴扭转时的应力和变形计算几何关系：平面假定，

物理关系：胡克定律

任一点的剪应力（切应力）与该点到圆心的距离

成正比。写成等式3.4.1圆轴扭转横截面上剪应力3.4.1.1剪应力分布规律剪应力分布规律实心圆截面：三角形分布空心圆截面：梯形分布最大剪应力：圆轴外边缘剪应力的方向垂直于半径线剪应力的指向与扭矩T的转向一致所以其中——截面的极惯性矩——截面的抗扭系数（模量）

max剪应力计算公式：静力关系xydD

dA此处极惯性矩按定义计算3.4.1.2圆截面几何性质实心圆截面（

=0）xydD

dA截面抗扭系数例3-8

圆轴直径D=100mm，承受扭矩14kN.m，求A、B、C三点剪（切）应力的数值及方向。解：mm3MPa，水平向左MPa，竖直向上MPa，竖直向上D/4ABCT

A

B

c3.4.2圆轴扭转剪应力强度条件计算点（危险点）危险截面—扭矩最大的截面—控制截面危险点—危险截面上剪应力最大的点—圆周剪应力强度条件或三类问题截面设计：求最小直径强度校核：验算不等式是否成立许可荷载：求能承受的最大外荷载例3-9

已知图示受载圆轴的直径d=60mm，材料的许用剪应力[

]=50MPa。校核其强度。解：（1）危险截面：右起第二段0.60.60.61.23.0kN.mkN.m（2）几何值mm3（3）强度校核MPaMPa满足强度条件0.60.60.61.23.0kN.m扭转刚度扭矩和刚度为常量时扭矩和刚度分段为常量时3.4.3扭转变形计算扭转角弧度为单位时度为单位时最大单位长度扭转角不超过允许值或rad/mrad/mm刚度条件单位长度扭转角为例3-10

图示受扭圆轴，已知G=80GPa，[

]=50MPa，[

]=1/m，试设计直径d。解：（1）危险截面：左边段2.01.23.2kN.mkN.m（2）强度条件确定直径mm（3）刚度条件确定直径

/mrad/mm（4）最后结果mmmm可取d=62mm例3-11

图示圆轴，Me1=5kN.m,Me2=3kN.m,l=0.5m,G=70GPa,[

]=50MPa,[

]=0.8/m。校核轴的强度和刚度。解（1）BC段危险

Tmax

=3kN.m（2）强度校核mm3Me1Me2（3）刚度校核MPa<[

]=50MPamm4rad/mm

/m<[

]=0.8/m强度条件和刚度条件都满足3.5非圆截面构件扭转简介一、基本规律平面假设不成立相邻截面相对转动横截面不再保持为平面，截面发生翘曲剪应力规律剪应力并不与所在点到截面中心的距离成正比边界点上的剪应力沿边界线的切线角点（尖角点）剪应力为零《弹性力学》可以给出理论解答二、几个简单的非圆截面扭转1.椭圆截面扭转aabbOxyAB

A

BT最大剪应力发生在边界线上最靠近中心的A、B两点单位长度扭转角为且且当a=b=R=D/2时，公式与圆截面的公式完全相同2.矩形截面扭转单位长度扭转角最大剪应力发生在长边中点MeMebh

max

系数

、

与矩形的边长比h/b的关系h/b1.01.52.02.53.04.05.06.010.0

0.2080.2310.2460.2580.2670.2820.2910.2990.3120.333

0.1410.1960.2290.2490.2630.2810.2910.2990.3120.3333.狭长矩形截面扭转单个狭长条截面h/b1.01.52.02.53.04.05.06.010.0

0.2080.2310.2460.2580.2670.2820.2910.2990.3120.333

0.1410.1960.2290.2490.2630.2810.2910.2990.3120.333thT狭长条组合截面第i个条长边中点剪应力最大剪应力出现在最厚的矩形条上例3-12

图示两种截面，承受相同的扭矩600N.m，试计算各自的最大剪应力，并比较大小。解80108010(a)(b)设闭口圆环截面中最大剪应力为

1设开口薄壁截面中最大剪应力为

280108010(a)(b)（1）计算

1mm3MPa（2）计算

2mmmmmmMPa（3）最大剪应力比值TheEnd说明开口薄壁杆件的抗扭能力远远低于闭口薄壁杆件，故大型桥梁通常采用箱形截面。钢箱梁预应力钢筋混凝土箱梁第4章弯曲内力4.1弯曲变形的概念4.2梁的剪力与弯矩4.3弯曲内力与荷载集度之间的关系4.1.1弯曲的特点4.1弯曲变形的概念纵向对称面构件截面一般具有竖向对称轴纵向对称面=竖向对称轴的集合轴线对称轴对称轴纵向对称面荷载特征横向荷载（垂直于杆件轴线方向）、外力偶作用于纵向对称面内（或简化到纵向对称面）变形特征直的轴线变成曲线变形后的轴线位于荷载平面=平面弯曲横截面发生转动以弯曲变形为主的构件，称为梁（beam）简支梁一端为固定铰另一端为可动铰（或链杆）lF1F2楼梯按简支梁计算简支过梁预制简支桥梁4.1.2基本静定梁简支房梁桥式吊车及吊车梁—简支梁外伸梁简支梁基础上一端或两端向外悬挑l(a)lab(b)悬臂梁一端固定另一端自由l挑梁简化板荷载栏板荷载l挑梁就是悬臂梁符号规定剪力：绕脱离体顺时针转者为正左上右下V为正弯矩：下部纤维受拉者为正左顺右逆M

为正+V+M4.2梁的剪力与弯矩4.2.1任意截面上的内力计算F右下F左上F左下F右上F左上F左下VM（1）取截面以左y方向平衡，对截面形心C取矩平衡得到C任意截面上的V、M截面法截断梁，分左右两段，每段都可能有向上、向下的力。（2）取截面以右F右下F左上F左下F右上F左上F左下F右下F右上MVMV解得规律总结如下C任意截面上的剪力和弯矩规律V=截面以左外力的代数和，（+）

=截面以右外力的代数和，（+）M=截面以左外力对截面形心之矩的代数和（顺+）

=截面以右外力对截面形心之矩的代数和（逆+）左上右下左顺右逆例4-1

求图示梁截面1-1（集中力左侧）、截面2-2（集中力右侧）的内力。解：(1)支座反力

R1=60kN

R2=30kN(2)内力

V1-1=R1=60kN

M1-1=R13=180kN.m

V2-2=-R2=-30kN

M2-2=R26=180kN.m3m6m90kN1122R1R2剪力不连续弯矩连续差值（或突变量）等于集中力的大小例4-2求施工中梁的吊点位置解：基本要求是使吊点负弯矩与跨中正弯矩相等一般采用双吊点起吊aalqql/2ql/2条件解得问题：单吊点起吊，吊点应该在何处？最大弯矩为单吊点起吊的计算模型：外伸梁ABl-aaqla/l=?a/l=0.293为什么呢？因为lBDqaRARBAx得到最大负弯矩发生在吊点B处正弯矩发生在AB之间的一段求正弯矩的极值因为所以存在极大值lBDqaRARBAx正弯矩的极值起吊条件即解得舍弃与题意不合的根1.707l，最后得a=0.293l。最大弯矩为预制桩动力打桩机打入土层静力压桩机压入土层搬运起吊：双吊点现场起吊：单吊点1.内力函数梁的内力和截面位置x有关剪力函数V=V(x)

弯矩函数M=M(x)2.内力图

V图：+值画上面，-值画下面

M图：画受拉侧—+值在下，-值在上xVMx4.2.2内力函数和内力图求支座反力简支梁和外伸梁需要先求支座反力悬臂梁可以不求支座反力分段写内力函数因为内力是由外力引起的所以根据外力分段作图由V(x)作剪力图由M(x)作弯矩图

图上标注关键点的值xVMx4.2.3剪力图和弯矩图的基本作法最后检查是否画对？例4-3作图示梁的弯剪图解：首先求支座反力解得写内力函数xRARBlqBA作图MxVql/2ql/2xql2/8内力图之间的关系导数…例4-4简支梁受力如图，作弯剪图解：支座反力

RA=RB=F分段写内力函数共分三段FaFbRARBaaFABCDx1x2x3AC：CD：BD：分段作图xVFFxM纯弯曲横力弯曲-剪力弯曲集中力的影响四点弯曲MM四点弯曲的应用—钢筋混凝土梁试验测截面应变测跨中位移FF2F力分配器挠度CA：V=-F

M=Fx2–1.5Fa分段作图例4-5

作悬臂梁的V、M图。解：从自由端开始，不需求反力梁分两段BC：V=-F,m=1.5FaABCabFF(b-0.5a)xFxVMFa0.5Fa集中力偶对图形的影响x1x2M=Fx1例4-6作图示梁的V、M图。解基本方法作图。（1）支座反力PABCalRCRB解得（2）分段写内力函数PABCalRCRBAC段：x1BC段：x2（3）依据内力函数作图PV图PaM

图微段dx平衡得到略去无穷小量，最后得dxq(x)V(x)V(x)+dV(x)M(x)M(x)+dM(x)AB4.3弯曲内力与荷载集度之间的关系4.3.1内力与荷载之间的微分关系4.3.2内力与荷载之间的积分关系微分关系荷载q(x)连续或分段连续剪力V(x)连续或分段连续积分关系已知AB段内左端内力积分求右端内力（1）梁段无荷载q=0

V

图水平线

M图斜直线（2）均布荷载q(

)

V

图直线（下斜）

M图抛物线（下凸）VMV=0M极值4.3.3荷载与内力图的曲线形式（3）集中力F作用处

V

图不连续，突变F

M图转折（连续，但不光滑）FFVM（4）集中力偶m作用处

V

图不受影响

M图不连续，突变量m。自左至右

m

顺时针，M

图向下突变

m

逆时针，M

图向上突变mmmm（5）对称性（支座对称）

a.荷载对称支座反力对称

V

图反对称（中点V=0）

M

图对称

b.荷载反对称支座反力反对称

V

图对称

M

图反对称（中点M=0）例4-7单项选择题下列四个静定梁的荷载图中，（）可能产生图示弯矩图。qAmPCmqBmPDmM例4-8

图示外伸梁，在三组荷载作用下，共作出五个内力图，其中有错误的是哪些？解C图有误。左段弯矩应为斜直线，而不是零。

D图有错。悬臂端无外荷载，剪力应为零，而不是常数。例4-9利用积分关系作答梁上无集中力偶作用，剪力如图所示，则梁上的最大弯矩为（）

A.4qa2B.-3.5qa2

C.2qa2D.-3qa2

qa2qa2qaqa2a2a3aaa问题：荷载图如何？？现场解算例4-10作图示外伸梁的V、M图解：支座反力2m1m3m10kN/mABCD20kNRARBkNkN作剪力图V10kN1020MkN作弯矩图kN.mkN.m10kN.m20得任意截面弯矩xMBqMAVAVBl补充内容：简捷法作M图的依据和方法梁段上有均布荷载作用时的弯矩图弯矩函数设已知梁段端点的弯矩值MA、MB

。梁段AB有均布荷载q时M图作法

q=0：由MA和MB作直线

MA=MB=0：由q

作抛物线叠加前面两个图得结果ABMAMBql2/8ABql2/8ql2/8-(MA+MB)/2MAMB图形依据端点弯矩的不同，有多种可能性梁段上有集中荷载作用时M图与均布荷载作用时相同的分析端弯矩虚直线，叠加三角形（高为Fab/l）FABCDlabMBMc若集中力作用在跨中间，则例4-11简支梁受三个集中力作用，其中第二个集中力60kN位于跨中，如图所示。试作梁的V、M图。解支座反力A12m4m4mB120kN60kN20kNRARB解得kN,kN直接作图A12m4m4mB120kN60kN20kN133.3366.67V133.3313.33kN46.6766.67M266.66133.34kN.m120320基本方法作图，其结果亦如此例4-12作图示静定梁的V、M图。解多跨静定梁，C铰拆开，求支座反力

RD=YC=30kN

RA=25kN，RB=85kNAB20kN/mRARBDE60kNCYCRDCDE2m2m60kNAB4m2m20kN/m直接作图V255530kN30M60kN.mql2/8=4010极值点60极值点距A支座1.25m，大小为15.625CDE2m2m60kNAB4m2m20kN/mFab/l=80基本方法作图校核之TheEndRD=30kN，RA=25kN，RB=85kN第5章弯曲应力5.1截面的几何性质5.2弯曲正应力和正应力强度条件5.3弯曲剪应力和剪应力强度条件5.4等强度梁介绍5.5组合梁的正应力计算截面形心截面的几何中心形心坐标定义5.1.1截面的形心和静矩5.1截面的几何性质组合图形的形心图形分块，已知各块面积和形心，按下列公式计算总面积和整体形心C(zC,yC)ozy123zzz坐标轴过截面形心，静矩为零。反之亦然。静矩（面积矩）面积对坐标轴取矩（一次矩）静矩定义如下静矩与形心的关系组合图形的静矩例5-1边长为4a的正方形，挖去一个边长为a的小正方形，余下阴影图形对坐标轴（原点在大正方形的中心）z、y、z

、y

的静矩，其值（）是对的。zyz

y

4a4aaa解阴影部分等于大正方形A1+负的小正方形A2zyz

y

4a4aaa形心在坐标原点形心在z

坐标轴上，距离原点答案：C例5-2

z轴通过图形的形心C，上半部分图形对z轴的静矩为Sz上，下半部分图形对z轴的静矩为Sz下，则应有（）。

A.Sz上=Sz下

B.Sz上=-Sz下

C.Sz上=Sz下=0D.Sz上<Sz下zC解：答案：BzyozydA

轴惯性矩极惯性矩惯性积为零的坐标，称为惯性主坐标。若y、z之一为对称轴，则它们一定是惯性主坐标。惯性矩5.1.2截面的惯性矩和惯性积惯性积惯性矩、惯性积的量纲为长度的四次方，[L4]。惯性矩，极惯性矩恒为正值，与坐标系位置有关。惯性积的值可正、可负、可零。或惯性半径iz、iy，用于压杆稳定计算惯性半径同理对任意轴的惯性矩，等于对通过形心的平行轴的惯性矩加上面积与两轴距离的平方之积。距离a、b有正负之分平行轴定理5.1.3组合截面的惯性矩CzyozbydA(z,y

)ayCyCzCzC组合图形对某一轴的惯性矩，等于各分块图形对同一轴惯性矩的和。在计算第

i块图形对z轴或y轴的惯性矩时，要用到平行轴定理。zy12345组合截面的惯性矩例5-3

图示高h、宽b的矩形截面，计算惯性矩Iz、Iz1和惯性半径iz

。解：dyczbhz1y例5-4

求图示圆截面对z轴(过圆心)的惯性矩和惯性半径。解：直径Dzy对于空心圆截面正多边形对过形心的任意坐标轴z、y，均有Iy=Iz例5-5求图示图形对过形心的z轴的惯性矩。解：先找形心位置分成两个矩形mmz20802080yCCz

21计算惯性矩方法1：截面分成上下两个矩形z2080208035c12mm4方法2：以z为界三个矩形叠加，即矩形1+矩形2-矩形3z2080208035c123mm4例5-6面积为A的平面图形，以C为形心，如图所示三根轴x、x

、和xC相互平行，已知图形对x轴的惯性矩Ix，为求图形对x

轴的惯性矩，应选用式（）进行计算。CbxCxx

a解利用平行轴定理以形心轴为媒介CbxCxx

a答案：C例5-7由两个25a号热轧槽钢组成的组合截面，如欲使Iz=Iy

，则两槽钢的间距a应为多少？解：查附表9azyocm4cm4z0zyCcm2cm图示截面cm4题设条件Iz=Iy，所以cm平面假设Transverseplanesbeforebendingremainplanesafterbending.曲率半径中性层中性轴z曲率半径

zy5.2弯曲正应力和正应力强度条件5.2.1弯曲正应力分布规律5.2.1.1几何关系正应变