新教材苏教版必修第二册9.4向量应用

9.4向量应用

新课程标准解读核心素养

1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际

逻辑推理、直观想象

问题

2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用数学建模

・忽Mk富酸葡知浓梳理

b情境导入

［问题］图①中两个人提一重物怎样提最省力？图②中一个人静止地垂挂在单杠上，手

臂的拉力与手臂握杆的姿势有什么关系？

格新知初探

知识点向量的应用

1.用向量运算解决平面几何问题的“三步法”

(1)建立平面儿何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题

转化为向量问题；

(2)通过向量运算,研究儿何元素之间的关系；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

2.平面向量在物理中的应用

(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等；

(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解中；

(3)动量my是向量的数乘运算.

。做一做

判断正误.(正确的画“，错误的画“X”)

(1)若点8是线段AC的中点，则有方'+束=2兹.()

⑵若AB//CD,则直线4B与CD平行.()

⑶若AB〃AC,则A,B,C三点共线.()

(4)物理学中的功是一个向量.()

答案：⑴J(2)X(3)V(4)X

,・幽即酸铜典例精折

向量在平面几何问题中的应用

［例1］(链接教科书第38页例2)如图所示，在正方形ABC。中，E,尸分

别是A8,8c的中点，求证：AF±DE.

I证明］法一：设4^=2,AB=b,则|a|=|b|,ab=O,

又-^二次+^^二^+9,~^F=~AB+7BF=b+^,

所以三万•"D£=^b+|j•[-a+^=_2a2-4a.b+T=_|la|2+||b|2=0.

故AF-LZJE,AF±DE.

法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2,则A(0,

0),0(0,2),E(l,0),尸(2,1),7F=(2,1),"DE=(1,-2).

因为/声=(2,1)(1,-2)=2—2=0,所以^■为F,即

AFYDE.

向量法解决平面几何问题的两种方法

(1)基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量

用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；

(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、

平行等问题转化为代数运算.

一般地，题目中已建好坐标系或易建坐标系的问题适合用坐标法.

I跟踪训练|

如图，在△ABC中，ZACB=90°,CA^CB,力为8C的中点，E是4B上一点，且4E

=2EB,求证：ADLCE.

证明：法一：由题意知，瓦3•司=(京+〈苕)•(育+|7万)=一|京F+£

—>>2>--->1>>--->_1>>2、/2--->.

CB•CA+手AB•AC+3AB•CB=~\ACF+引CB||CA|•cos90。+予AC|2cos

45。+拳ACFeos45。=一IAC|2+|AC|2=0,，AD±CE,：.AD±CE.

法二：以直角顶点C为坐标原点，C4所在直线为x轴，CB所「

在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.

设C4=l,则C(0,0),A(l,0),D［

：.AD

又AE=2EB,：,

yI)，

--->---»112

AD,CE=(—1)义；+炉§=0,

二AD±CE,：.AD±CE.

向量在物理中的应用

［例2］(链接教科书第38页例1)(1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向

东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？

(2)已知两恒力Fi=(3,4),F?=(6,—5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到

点8(7,0),求Fi，F2分别对质点所做的功.(力的单位：牛顿，位移单位：

米)____

［解］(1)如图，设AB表示水流的速度，AO表示渡船的速度，AC表\

示渡船实际垂直过江的速度.\!\

'：~AB+~\D=~AC,

四边形ABCD为平行四边形.

在RtZ\AC£>中，NACD=90°,|商|=|商|=12.5,L|=25,，NCAD=30°,

即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30。.

(2)设物体在力F作用下的位移为S,则所做的功为W=Fs.

'：AB=(1,0)-(20,15)=(-13,-15).

；.Wi=Fi•方＞=(3,4)-(-13,-15)

=3X(—13)+4X(—15)=-99(焦)，

W2=F2•~AB=(6,-5)-(-13,-15)

=6X(_13)+(_5)X(T5)=_3(焦).

［母题探究］

1.(变设问)本例(2)条件不变，求B，F2的合力F对质点所做的功.

解：W=F~AB=(FI+F2)-A^=［(3,4)+(6,-5)卜(一13,-15)=(9,-1)•(一13,一

15)=9X(-13)+(—1)X(—15)=-117+15=-102(焦).

2.(变条件)本例⑵条件变为：两个力H=i+j,F?=4i-5j作用于同一质点，使该质点

从点A(20,15)移动到点8(7,0)(其中i,j分别是与x轴，)，轴正方向相同的单位向量).求

Fi，F2分别对该质点做的功.

解：由题意，~AB=(7,0)-(20,15)=(—13,-15),FI=(l,1),F2=(4,-5).

Fi做的功WI=FI•s=Fi•下,=(1,1).(-13,-15)=—28(焦).

F2做的功卬2=尸2•S=F2•A耳=(4,—5)-(—13,—15)=23(焦).

用向量方法解决物理问题的“三步曲”

［跟踪训练।

一个物体受到同一平面内三个力F/,F2,F3的作用，沿北偏东45。的方向移动了8m,

其中|Fi|=2N,方向为北偏东30。；|F2|=4N,方向为北偏东60。；|F3|=6N,方向为北偏西

30。.求这三个力的合力F所做的功.

解：如图，以物体的重心。为原点，正东方向为X轴的正方向建立平弋3|y

面直角坐标系，则Fi=（l,小），F2=（2<3,2）,F3=（-3,3小），\片]

...F=FI+F2+F,3=（2小一2,2+4小）.~

又位移S=（4小，4啦），

二合力F所做的功W=F-S=（2小一2）X*\E+（2+44§）X4&=45X6小=24加（J）.

二合力F所做的功为24^6J.

昌随堂检测

1.人骑自行车的速度是W，风速为V2,则逆风行驶的速度为（）

A.V|—V2B.V1+V2

c.|Vi|-|V2|D.—

V2

解析：选B由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为V|+V2,注意速度具有方向和大

小，是一个向量.故选B.

2.在△4BC中，若■）=（）,则△ABC一定是（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.形状无法确定

解析：选C因为（6+~CB）CCA-~CB）^O,所以石¥一谴=0,^|"C4>|2=|"CB

|2,故AABC是等腰三角形.

3.当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为仇两人用力大小都为|F|,若|F|=|G|,则

0的值为（