八年级数学分式人教版知识精讲

七年级数学分式人教四年制

【同步教育信息】

本周教学内容

1.分式

2.分式的基本性质

3.分式的乘、除法

4.分式的乘方

教学的重点、难点

重点：分式的性质、分式的乘除法

难点：对分式的概念的理解，运用分式性质进行分式的乘除法计算

三.教学知识要点

A

1.分式----般地，用A、B表示两个整式，A+3就可以表示成一的形式，如果B中

B

A

含有字母，式子一就叫做分式；其中A叫分式的分子，B叫分式的分母。

B

,...3amS90605

例如：分式一，一，一，-----，—.-----，——

xbna-bxx-6a~-1

2.有理式一一整式和分式统称为有理式

由于分式的分母不能为零，所以分式的分母中的字母，只能取使分母不等于零的值

s

例如：-----中a^b

a-b

3.分式的基本性质一一分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式

的值不变，这个性质叫做分式的基本性质.

AA-xMAA—M

用字母表示为色」?，三=刍一"（其中M是不等于零的整式）

BBxMB

4.分式的符号法则一一分式的分子，分母与分式本身的符号改变其中任何两个，分式的

值不变。

5.约分一一把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分（方法是把分式分母,

分子因式分解然后约去公因式）

6.最简公式----个分式的分子与分母没有公因式时叫做最简分式

7.分式的乘除法

法则：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积分母。

分式除以分式把除式的分子，分母颠倒位置后与被除式相乘。

+一生acacacadad

用字母表示为：------———+_=_*—=——

bdbdbdbebe

8.分式的乘方一一分式乘方是把分子，分母各自乘方。

字母表示：（."=1（〃为正整数）

9.整数指数基的运算

（1）a'n-an=am+n（加、〃都是整数）

（2）（am）n=a'nn（m,〃都是整数）

(3)(ab)n。(〃为整数)

【典型例题】

［例1］当X取什么值时，下列分式有意义？

/、X/、x-1

(1)-----(2)-----

x—24x+l

分析：只有当分母等于零时，分式没有意义。

解：

Y

(1)由分母工一2=0得x=2所以当xw2时，分式——有意义。

x-2

11Y_1

(2)由分母4工+1=0得了=——,所以当xw-一时，分式^——有意义。

444x4-1

［例2］当x取什么值时，下列分式有意义？当x取什么值时分式的值为零?

x-2

(1)⑵号

x2

解：

(1)当时分式有意义；当x=2时分式的值为零

(2)当x取一切有理数/之0所以—+i声o

x可取一切有理数当x=O时，分式值为零

［例3］不改变分式的值，把下列各式的分子与分母各项的系数都化为整数。

12

—x+—V

,八0.3。+0.5/?

(1)23(2)----------

120.2。一〃

x--y

23

解:

12J2、「

-x—y(—xH—y)x6c.

23=23=3x+4y

(1)

12123x-4y

2323

0.3。+0.5〃(0.3。+0.5/?)x103。+5力

(2)

0.2a-h(0.2Q-/?)X102a-10b

［例4］不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数。

x2-九

(1)⑵汜(3)

l-x2一一+3

解:

xxX

(1)

l-x2-(x2-l)x2-l

一〃一1_-(Q+1)_Q+1

a2-2-a2-2~~a2-2

2—x—(x—2)x—2

(3)

一+3—(JC'—3)Y—3

［例5］约分：

,、-32a2b3c/、m2-3mx~+Ax+3

(1)-----；——(2)-------(3)---------

24/cd9-m"x+x-6

分析：因为(1)式的分子、分母都是因式的形式约去分子、分母中相同因式的最低次

幕，其系数约去它们的最大公约数。(2)(3)的分子，分母是多项式，先分解因式再约

分。

解：

/、—32a2b3c8〃2c.4。2b4a2b

(1)=_____________=_______

24b?cd8/c・3d3d

.、m2—3m-3)m(m-3)m

(2)----------=--------------=----------------------=----------

9-m2-(m2-9)(m+3)(m-3)m+3

/、x2+4x+3(x+3)(x+1)x+1

(3)=------------------------=-----

+x—6(x+3)(x—2)x—2

［例6］约分：

(1)(一。)3(x-y)?(2)(2--，2)(〃2+4〃+3)

(一〃)4(x—y)。—6)

解：

(-a)\x-y)2x-yx-y

(［)-----A-------=------=-------

(一口)(x-y)一。a

(2。—+4〃+3)a(2—Q)(Q+3)(Q+1)

(2)----------T-------------=----------------------------=-1

(Q+Q)3"+Q—6)Q(Q+1)(。+3)(。—2)

［例7］计算:

..4xy/、ah2-3a2h2

(1)-----彳(2)------------

3y2x32c~4cd

解：

4xy4x-y2

(1)--------=--=----

3y2x33y•2/3x2

,、ab?-3a1b2ab24cdab2-4cJ2d

2c2•4cd~2c2-3a2b2-2c2-3a2b2'3ca

-4Q—3

［例8］计算:

u~—4。+3。~+3。+2

分析：上式中的分子分母有些可以进行因式分解，先分解因式再计算。

4Q—3(。+2)(。-2)。一3a—2

4。+36r+3。+2(。―3)(。—1)(。+2)(。+1)ci~—1

yIM-2x-6/_xx~+x—6

［例9］计算：---------r4-(x+3)-------------

4-4x+x3—x

A_2x—6_+x—62(犬一3)1(x+3)(%—2)2

4—4x+x~3—x(x—2)~x+3—(x—3)九一2

［例10］计算:

(1)(空)3(2)(--)2-(-2-)3-(-2)4

-cyxx

解：

,、，2/久(2/勿38/〃8a6〃

⑴L)▼"丁

(2)(--)2•(--)3)4=—x5

yxxVx3y4

［例11］计算:

—(-3/方)5

⑵(a+by\a-b)2

6a”2\a-hY\a+b)4

解：

232

a-h-(-3g-'-h)3a-2+(-I)-(-3)b-3+2-(-2)=_L%=-Lb

(1)a

6a5622

⑵哈笔露才=畸焉/=(…尸3'9

(a-，，

=(a+b)-'\a-h)14

(a+b)'4

【模拟试题】

一.填空题

3x+2a25x—l

1.下列各式中」一4ab--,—+—,,是整

x+233b44x+l

式，是分式。

2.当天=_____时分式一--无意义。

x-5

2xy-2x2_2x

3.

-3/+3xy()

Id

4.分式当。=时值为零,当。=.时分式无意义。

i-H

若2=3,则二耳=_______

5.

x2x

6.分式------------有意义,则x

(x—l)(x—3)

7.计算(-

,,廿a-a3

8.化简---------;-----7

ci—2—CL+2a~

若。(一匕＜1则化简1—1-⑷a+b

9.

b+a。+1|/?+1|

3(a-b)3

10.把分式约分得时，a、b应满足的条件是

ll(a+Z?)(a—Z?)ll(a+h)

选择题

11.当a=-l时分式1*1()

a2-l

A.等于零B.等于1C.等于一1D.没有意义

X-3

12.如果分式口一的值为1则x的值为（）

x-3

A.x>0B.x>3C.尤20且工工3D.xw3

13.将分式一2二中的x,y都扩大2倍，分式的值（）

x-y

A.扩大4倍B.扩大2倍C.不变D.缩小2倍

14.不改变分式的值，使分式二叶工中分母的第一项系数是正数，下列变形错误的是

-x-y

)

y-xx+y_1+y

A.QB.----C.D.-------

x+yx+yx-yx+y

x-J

15.使分式-----的值为零时，X应该是()

x+3

A.3和一3B.3C.-3D.以上都不对

16.使分式----的值为正数的条件是（)

l-4x

1

A.X>一B.C.x>0D.x<0

44

17.下列分式平匕3〉x+yx+1

中最简分式有（）

a2+b215%x2-y2x2+1

A.1个B.2个C.3个D.4个

18.计算(一号3.3)2,(_当

的结果是（）

yxx

8/8116x216x2

Fc-VD.

19.化简一-1三

的结果是（)

x2-l

1111

A.----B.—c.----D.

I-XX+1x-1-x-1

ab-

20.如果Z?c:ca=l:2则一：一等于()

heca

A.1:2B.2:1C.1:4D.4:1

三.解答题

21.化简

V-z2+2xy+x2厂+2x+1

(1)(2)--------

一y2-2xz+x2+z2x~_x_2

22.计算

m-3mm2-4m-3

(1)-9---------；------~~2---------；---2----

m~-9m+14m-2m4-3m+2tn+m

⑵[-^7]5.（匕卫）3防5.（也互）7

(a-b)~aa

23.化简求值

2x4-4,(x+2)(x-l)

•(X2-4)(其中X=-3)

x2-4x+42x—4

24.若xH——2求:(1)%2H---(2)X，H..-的值

xXX

,X"+X4-1x4+x2+1

25.已知---------0求的值

xX2

试题答案

一.填空题

x+2…13a25x-\

1.-----,4-cib—,

334x+2'34x4-1

2.53.一3y4.0；=±15.4

a

6.w1且xW37.——b'a158.-------

27。一2

9.210.。工/?且。工一/?

二.选择题

11.D12.C13.B14.C15.B16.A

17.B18.C19.B20.D

三.解答题

21.

原式一(厂+2孙+y.)-z2_(x+y)2-z2_(x+y+z)(x+y-z)

(1)解:

(12―2xz+(x-z)2-y2(x-z+y)(x-z-y)

x+y+z

x-z-y

(X+1)2X+1

(2)解:原式=

(x—2)(x+1)尤一2

22.

m-3m-2(初+2)(根一2)m