江苏省常州某中学2022-2023学年高三年级上册1月月考数学试题 附答案

2022-2023学年江苏常州市高级中学

高三年级1月月考数学试卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.集合A={x|2x+3<7},8={xwN|x>-2},则（）

A.{0,1}B.{1}

C.{0,1,2)D.{1,2}

2.已知i为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（）

A.«l+i)B.z(l-z)2C.i2(l+z)2D./+产+产+六

3.已知圆锥SO的底面半径为3,母线长为5.若球。|在圆锥S。内，则球。1的体积的

最大值为（）

9九「-324n

A.—B.9兀C.-----D.12%

23

4.若函数/（x）=x2sin（2x+e）（0<e<2乃）的图象关于原点对称，则9=（）

71-不

A.—B.—c”D/

42

5.己知两个单位向量I,6的夹角为60。，设5=(其中x,y£R),若[0|=3,

则外的最大值（）

A.2B.73C.3D.

6.曲线在E处的切线的倾斜角为%则83?的值为（）

44-33

A.—B.—C.-D.--

5555

7.已知点P是抛物线f=2y上的一点，在点尸处的切线恰好过点（0,-g）,则点P到

抛物线焦点的距离为（）

3

A.yB.1C.-D.2

2

8.在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1,2,3,4.连续抛掷这

个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次

记录的数字之和为奇数”，事件B为“第一次记录的数字为奇数“，事件C为“第二次记

录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（)

A.事件8与事件C是对立事件B.事件A与事件8不是相互独立事件

C.P（A）.P（B）.P（C）=!D.P（ABC）=：

o

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.关于一组样本数据的平均数、中位数、频率分布直方图和方差，下列说法正确的是

()

A.改变其中一个数据，平均数和中位数都会发生改变

B.频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等

C.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则平均数小于中位数

D.样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小

10.下列式子的运算结果为6的是()

A.2(sin35°cos25o-cos35osin25°)B.2(cos35°cos5o4-sin35osin5°)

71

Cl+tanl5。D叫

.Ianl5°1-tan2^

6

11.已知A(4,2),B(0,4),圆C:(X-4)2+()，-1)2=4,P为圆C上的动点，下

列结论正确的是()

A.1尸例-|尸川的最大值为2拓

B.丽.丽的最小值为T

c.x+y的最小值为5-20

D.NPH4最大时，|P8|=26

12.如图，点。是正四面体HLBC底面A8C的中心，过点。且平行于平面的直线

分别交AC,BC于点M,N,S是棱PC上的点，平面SMN与棱处的延长线相交于

点Q,与棱P8的延长线相交于点H,则()

p

A.若MN〃平面B45,则4B〃RQ

B.存在点S与直线MN,使万•（用+而）=0

C.存在点S与直线MN,使尸C_L平面SR。

111_3

D•阀门网+同一网

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知函数/（x）是定义在R上的增函数，且/（〃?+1）＞/（2初一1）,则机的取值范围

是.

14.已知抛物线的方程为y=2以2,且过点（1,4）,则焦点坐标为

15.f(x)=sin3x+3cos2xxe的值域为.

16.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、

元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角

垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛，，：自上而下，第一层1件，以后

每一层比上一层多1件，最后一层是"件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货

物的单价是上一层单价的;7，第〃层的货物的价格为,若这堆货物总价是

O

64-112^万元，则〃的值为.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.对于数列｛《,｝,若存在正整数M,同时满足如下两个条件：①对任意〃GN*,都

有同WM成立；②存在2eN+，使得则称数列｛4｝为品数列.

⑴若凡=1-〃，么=击，判断数列｛帽和色｝是否为凡数列，并说明理由：（5分）

（2）若8M数列｛q｝满足4=p,«„=sina„_,（n>2）,求实数p的取值集合.（5分）

18.灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播、自媒体、配音，还有电竞、电商

这些新兴产业上.只要有网络、有电脑，随时随地都可以办公.这些岗位出现的背后

都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景.甲、乙两人同时竞聘某公司的主

2

播岗位，采取三局两胜制进行比赛，假设甲每局比赛获胜的概率为二，且每局比赛都

分出了胜负.

（1）求比赛结束时乙获胜的概率；（6分）

（2）比赛结束时，记甲获胜的局数为随机变量X,求随机变量X的分布列.（6分）

19.在①4asin8cosA=®,②"sin28+csin，C=S+tOsin?A,

③6sinA+cosA=2+f.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的

三角形存在，求出cosB的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.（7分）

问题：在AABC中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,已知cosC=g,

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

20.如图，空间几何体4DE-8CF中，四边形A5CD是梯形，AB//CD,四边形

CDEF是矩形，且平面ABCD_L平面CDEF,AD±DC,AB=AD=DE=2,EF=4,M

是线段AE上的动点.

（1）试确定点M的位置，使AC〃平面MD尸，并说明理由；（7分）

（2）在（1）的条件下，平面加。尸将几何体ADE-8c/分成两部分，求空间几何体

/与空间几何体的体积的比值.（7分）

21.已知圆G：（x+5>+y2=36,点C（5,0）,点M是圆G上的动点，MC的垂直平分

线交直线于点P.

（1）求点P的轨迹方程G;（5分）

（2）过点N（4,0）的直线/交曲线C?于A8两点，在x轴上是否存在点G,使得直线

AG和8G的倾斜角互补，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.（6分）

22.设函数/（x）=hi¥—〃（x-l）e',其中acR.

（1）若。=—3,求/（幻的单调区间；（5分）

⑵若o<"L

e

（i）证明：/（x）恰有一个极值点；（5分）

（ii）设无。为/（x）的极值点，若为为/（x）的零点，且证明：3x0-xt>2.（6

分）

答案及解析：

1.A

【分析】化简集合A8,再结合交集运算求解即可

【解析】由题意可得A={x|x<2},则An3={xeN|—2<X<2}={0,1}.

故选：A

2.C

【分析】利用复数代数形式的乘法运算对选项进行逐一化简可得答案.

【解析】对于A,2+，)=>1不是纯虚数；

对于B,i(l-i)2=-2/=2是实数；

对于C,r(l+1)2=-2i为纯虚数；

对于。，i+/+『+f一1一,+1=o不是纯虚数.

故选：C.

【注意】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

3.A

【分析】设圆锥s。的轴截面为等腰△SAB,则球a的体积最大时，球a的轴截面是

△SAB的内切圆，根据三角形面积公式和内切圆的性质求出半径，最后求出体积.

【解析】设圆锥SO的轴截面为等腰△SA8,则球a的体积最大时，球01的轴截面是

△SAB的内切圆，所以％3=9尻50=；(&4+55+岫.厂，解得:r=1,所以球。1的体积

的最大值为9掾万.

故选：A

【注意】本题考查了求球体积最大问题，考查了球的几何性质，考查了数学运算能力.

4.C

【分析】根据题意知函数为奇函数，化简可得sin(-2x+p)=sin(-2x-夕)，据此可求出。值.

【解析】因为函数/Q)=/sin(2x+e)(0<e<2])的图象关于原点对称，即—(%),

所以可得sin(-2x+9)=-sin(2x+s),即sin(-2x+p)=sin(-2x-p),

/.甲-2far-(p,即。=k兀,keZ9

,1-0<j<2p,\j=p.

故选：c

5.C

【分析】根据1*=3得到/+/+个=9,再利用均值不等式计算得到答案。

【解析】c=xa+yb,则乙？=（就+防）=x2a+y2b+2xya-b=x2+y2+xy=9

9=x2+y2+xy>2xy+xy=3xyxy<3,当x=y=M时等号成立。

故选：C

【注意】本题考查了向量的运算和均值不等式，意在考查学生的综合应用能力。

6.D

【分析】先利用导数的几何意义求得tana=-3,然后利用诱导公式、二倍角公式、同角三

角函数的关系将cos（2a-彳）化间为「-------------,再代值可得答案

2sin-a+cosal+tan-a

2171

【解析】解：依题意，y=-——,所以tana=—；—；=-3,

xx11

乃、.-2sinacosa2tana3

所以cos|2a—=sin2a=——--------------=---------—=——

2）sina+cos'al+tan-a5

故选：D.

【注意】本题考查了导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，三角恒等变换，属于基础题.

7.B

【解析】设P坐标为（%,%）,由导数求出线斜率，再由切线过点（0,-；）,可求得占,%,

然后可求得焦半径.

【解析】抛物线方程为y'=x,设切点尸坐标为（x。,%）,切线斜率为％=x。，又

切线过点（0,-（），•,♦*+5_丫，

2-xo

%

11111

0即尸a，,或p（—i，a），

抛物线标准方程为V=2y,°=1,P点到焦点的距离为<+与=（+2=1.

2222

故选：B.

【注意】本题考查直线与抛物线相切问题，考查导数的几何意义，考查抛物线的几何性

质.利用导数几何意义求出切点坐标，利用焦半径公式求出焦半径，本题难度一般.

8.C

【分析】根据对立事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得.

【解析】对于A,事件8与事件C是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误;

对于B,对于事件A与事件B,P（A）=g,P（8）=g,P（A8）=；,事件A与事件8是相互独立

事件，故B错误；

对于C,连续抛掷这个正四面体木块两次，记录的结果一共有4x4=16种，

其中，事件A发生，则两次朝下的点数为一奇一偶，有2x2+2x2=8种，所以

P（A）=*=L

''162

因为抛掷正四面体向下的数字为奇数和偶数的方法种数相同，所以P（8）=27=J1

所以P（A）P（B）P（C）=故C正确;

对于D,事件ABC表示第一次记录的数字为奇数，第二次记录的数字为偶数，故

尸（ABC）==故D错误.

''4x44

故选：C.

9.BCD

【分析】根据平均数、中位数、频率分布直方图和方差的性质，逐一分析选项，即可得答

案.

【解析】对于A：例如数据1,3,5,将数据改成2,3,5,数据的中位数未改变，仍为3,

故A错误；

对于B：根据频率分布直方图中，中位数的求法，可得B正确；

对于C：根据频率直方图可得，左边“拖尾”，且不对称，则平均数变小，中位数变大，所

以平均数小于中位数，故C正确；

对于D：方差越小，数据越稳定，离散程度越小，故D正确.

故选：BCD

10.BC

【解析】利用两角和与差的正弦，余弦，正切公式化简及特殊角的三角函数求值，即可判断

选项.

【解析】对于A,2（sin35°cos25°-cos350sin250）=2sin（35°-25°）=2sinlO°w有，不合题

忌；

/o

对于B,2(cos35°cos5°+sin35°sin5°)=2cos(35°-5°)=2cos30°=2x=y/3,符合题

思、；

1+tan15。tan450+tan15°

对于C,=tan(450+15°)=tan60°=百,符合题意:

l-tanl5°1-tan45°tan15°

71於73

tan一33V3/T

______6_

==k=不符合题意;

对于D,.2乃

l-tan~—kJ3

6

故选：BC

11.AC

【分析】A.利用数形结合，转化为三点共线，即可求解；

B.首先取的中点为。，转化向量，丽.丽=丽2.5,再结合点与圆的位置关系，即可求

解；

C.利用直线。=》+、与圆相切，即可求6的最小值；

D.利用数形结合判断当NPBA最大时，直线尸B与圆相切，即可求归目.

【解析】对于A,|尸8|-|尸4国A8|=26，A正确.

对于B,记AB的中点为£>,0（2,3）,

丽•丽=（而+网•（而+丽）=（丽-丽）•（而+历）

=PD-DB2=PD-5>（8-2）2-5=7—8正，故B错误；

对于C,^b=x+y,当直线〃=x+y与圆C相切时，/?取到最值，

令1=3言=2，匕=5±20，所以最小值为5-2夜，故C正确.

对于D,当P8与圆C相切时，NPA4最大，此时|PB|=8CT=后,故D错误.

故选：AC

12.ACD

【分析】根据线面平行的性质定理，可判断A；由空间向量数量积可判断B；当直线MN平

行于直线AS,SC=：PC时，通过线面垂直的判定定理可判断C,由共面向量定理可判断

D.

【解析】对于A,•.•MN〃平面平面SMN与棱R4的延长线相交于点Q,与棱P8的

延长线相交于点R，

平面SMNc平面PAB=RQ,

又MNu平面SMN,MN”平面PAB,MN"RQ,

••・点。在面A8C上，过点。的直线交AC,BC于点M,N,：.MNu平面ABC,

又MNH平面PAB,平面ABCc平面pAB=AB，,MN//AB,

ABHRQ,故A正确；

对于B,设正四面体的棱长为。，.•.而•（而+而）=丙•用+丙・丽

=|ps|.|pe|cos600+|fs|.|^|cos600=a2>0,故B错误；

对于C,当直线MN平行于直线AB,S为线段PC上靠近C的三等分点，即SC=；PC,此

时PC,平面SRQ,

以下给出证明：在正四面体P-ABC中，设各棱长为。，

•.AABC,△P8C,△尸AC,钻均为正三角形，

♦.•点。为AABC的中心，MN//AB,

2

•••由正三角形中的性质，易得CN=CM=§。，

21JI

在ACM中，,:CN=JI,SC=-a,ZSCN=~,

••・由余弦定理得，SN=J(-)+f—V-2---—cos-=—a,

3333

4

SC2+SN2=-a2=CN2,则SN1PC,

同理，SMrPC,又SMnSN=S,SMu平面SR。，SNu平面SRQ,

PC,平面SRQ,.•.存在点S与直线MN,使PC,平面SRQ,故C正确;

对于D,设。为BC的中点，则

____________2__.___2__.__.1_________

PO=PA+AO=PA+-AD=PA+-(PD-PA)=-(PA+PB+PC),

PA

又：P,。三点共线,：.PA=PQ,

•A,而

PB

VP,B,R三点共线,PR,

PR

PC

,：P,S,c三点共线,...PC=PS,

PS

设|用|=x,|西卜y,|丽卜z,贝1」所=回孙网乐+四双

3x3y3z

VO,Q,R,S四点共面,㈣+四+图”

3x3y3z

,,।_...11111113

又♦.•网=1万卜图，.£+豆+豆=厨，.i+rx同

1113

即国+国+网=网，故D正确

故选：ACD.

【注意】关键点注意：本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了空间

向量数量积和共面向量定理，解题的关键是熟悉利用空间向量的共面定理，考查了转化能

力与探究能力，属于难题.

13.m<2

【分析】利用单调性将原不等式转化为〃2+1从而可得结论.

【解析】因为函数/（X）是定义在R上的增函数，

所以，〃+1>2m-\,

解得m<2,

故答案为m<2.

【注意】本题主要考查函数单调性的应用，属于基础题.

【解析】将点。,4）代入抛物线方程可得。的值，即可求得抛物线方程进而得焦点坐标.

【解析】抛物线>=2改2过点。,4）,即有4=为，解得a=2,

则抛物线y=4/,即/=。）,的焦点坐标为j0,白］,

4I16；

故答案为：（0,.）.

【分析】先利用同角三角函数的基本关系化简得/（x）=sin，3sin2x+3,xe令

f=sinx,可得8«）=/_3尸+3/€-y^,l利用导数求函数的值域即可.

【解析】由题意，可得F（x）=sin3x+3cos2x=sin3x-3sin2x+3,xe-y,y,

☆f=sinx,fw--^-,1,即gQ）=r-3『+3,ts一一—,1

则g'(7)=3/-6，=3/Q-2),

当-@<f<0时，g()>0,当0</<1时，g'Q)>0,

2

■G'

即y=g⑺在---,0为增函数，在［04］为减函数,

6乎,g(0)=3,g⑴=1,

又

O

6-36-

故函数的值域为:~i-，-

6-3+

故答案为:

3，

【注意】本题考查了同角三角函数的基本关系,考查了利用导数求函数的最值问题，意在考查

计算能力，是基础题.

⑹"I)6

r,根据错位相减法求和即可求出.

【解析】由题意可得第〃层的货物的价格为

【解析】解：由题意可得第n层的货物的价格为为

设这堆货物总价是S.=1j+2J+3./一3二@

7

贝与S”=「({POO+...+4(!，②，

2

由QA②可得」5“=1+

8”

3

7=8-(8+”)(()，

-n-

i_Z8

8

S,=64-8(8+办］£|,

•••这堆货物总价是64-112弓：万元，

8(8+〃)=112,;.〃=6,

故答案为：；6・

【注意】本题考查了错位相减法求和，考查了运算能力，以及分析问题和解决问题的能力,

属于中档题.

17.(1)数列｛4｝不是加数列，｛2｝是8M数列，理由见解析；

(2)｛/?|p>lngp<-l,peZ｝.

【分析】(1)根据加数列的定义依次判定数列｛%｝、也,｝即可；

(2)根据B“数列的定义，结合正弦函数的性质和数列的增减性依次讨论当P"

o<P<1,-1<p<0,P4-l时的情况.

(1)

｛《J不是％数列，血，｝是数列.

因为。=1-〃("CN*),所以㈤=|1一〃|="一120,故为“｝不是6数列;

因为2=击("©N*),所以闻=击=击41,

又伉=白=1,所以｛或｝是%数列；

(2)

若数列&｝为数列，则对于VeN，㈤4M成立，

且羯eN,|4卜M,有-M444M.

当pNl时，an=sinan_,e[-l,l],Bpa„<a,,

此时4最大，M=p,n=l,又MeN卡,则pNl且peN一

当0Wpv1时，设/(x)=sinx—x(0Wxv1),则/'(x)=cosx—1W0,

所以函数/*)在。1)上单调递减，且〃0)=0,

所以sinx—xK0即sinxWx在[0,1)上恒成立,

所以sina,I<%,有4K%<--<a2<a}f

此时q最大，M=〃w[0,l)，〃=1,又MEN一故不存在满足题意的M,舍去；

当一1<〃<0时，-sinl<a2=sinq=sinp<0,

由上述分析知，知=刨<1,结合MwN一故不存在满足题意的舍去；

当〃K-1时，一1Vq=sinq=sinp41,则a1<a2<---<atl,

所以同之同N…之㈤，此时闻最大,M=M=|p|,n=l,

又MeN.,故pM-l且peZ.

综上，实数p的取值集合为{p|pNl或PM-1,"Z}.

⑻⑴、

125

(2)答案见解析

【分析】(1)根据三局两胜制可知，乙获胜则有三种情况，分类即可求解.(2)根据随机变

量所有取值的可能以及计算对应的概率，即可求解，

(1)

比赛结束时，乙获胜有三种情况：

①第一局甲胜，第二局乙胜，第三局乙胜，②第一局乙胜，第二局甲胜，第三局乙胜，③

第一局，第二局2胜，

.।tz的五击升就.加£)2333233336981

••比赛结束时乙获胜的概率P=—x—x—+—x—x—+-x—=；

5555555512525125

(2)

由题意可得，X的所有可能取值为0,1,2,

尸(X=0)=(「|j总，

23332336

P(x=l)=­X—X—+—X—X—=

555555T25

44

P(X=2)=l-P(X=0)-P(X=l)=茂.

19.答案不唯一，具体见解析.

【分析】若选①，则由正弦定理可得4sinAsinBcosA=&sinB,化简后可求出角A=g或

5,再由cosC=：求出sinC=2叵，然后由8$8=-8$（4+0可求出85〃的值；

若选②，则由正弦定理得^+/=S+c）/,^^b2+c2-bc=a2,再利用余弦定理可求

得cosA,从而可求出角A=1,再由cosC=:求出sinC=逑，然后由

333

cosB=-cos（4+C）可求出cos8的值；

若选③，由石sinA+cosA,+f结合辅助角公式和基本不等式可得sinjA+g]=l,则可

abyoJ

求出A=g,而利用基本不等式时有a=b,从而可得三角形为等边三角形，与cosC=:相

矛盾，则可得问题中的三角形不存在

【解析】选①：因为4asin8cosA=百方，由正弦定理得4sinAsinBcosA=6sin8,

所以5£（0"）,所以sinBwO,

所以4sinACOSA=G，sin2A=—，

2

又A£（（U）,2AC（0,2»）,所以2A=?或用，即A=?或

因为cosC=2，Cw（O,乃），所以sinC=Jl-cos2c=延.

33

jr

当A=—时，cosB=-cos（A+C）

6

当A=?时，cosB=一cos(A+C)

f11732⑺276-1

—X---------------X-----------

\232376

因此8s8的值为中或噜.

选②：因为匕sin?B+csin2C=(/?+c)sin2A,

由正弦定理得。3+d=S+c)/,

因为b+c>0,所以/+(?-历=/,

r-r-K|.Z?2+—Q~1

所以cosA=——----=—,

2bc2

因为AE(0,4),所以A=q.

因为cosC=4，Ce(0,TT),所以sinC=Jl—cos?C=2y,

33

所以cosB=一cos(A+C)

1162靖276-1

——x----------x-------

(23236

因此cosB的值2返。.

6

选③：因为GsinA+cosA=2+f,所以2sin(A+g]=2+：,

ab\6Jab

因为2N2sin(A+石]=2+且22、/2><且=2,

I6Jab\ab

于是3+£=2,即〃*且2sin(4+£|=2,即sin[A+£|二l,

注意到AE(0,T),4+，

O\OOJ

因此A+^=一,即A=J,

623

于是为等边三角形，

因此cosC=g与cosC=；相矛盾，

故"U3C不存在.

【注意】关键点注意：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的

应用，解题的关键是利用正弦定理进行边角互化，从而可求出角A的值，再结合三角函数

恒等变换公式求出cos8的值，考查计算能力，属于中档题

20.（1）当M是线段AE的中点时，AC〃平面肱》,理由见解析；（2）y.

4

【分析】（1）由线面平行的性质定理确定M是线段AE的中点，然后根据线面平行的判定定

理证明.

（2）将几何体ADE-补成三棱柱，由三棱柱和三棱锥体积得几何体AB-COEF的体

积，再求得三棱锥F-DME的体积后可得所求比值.

【解析】（1）当例是线段AE的中点时，AC〃平面

证明如下：连接CE交DF于点N,连接MN,如图，由于M、N分别是AE、CE的中点，

所以脑V〃AC,又MN在平面内，且AC不在平面尸内，所以AC//平面MDF.

（2）•.•四边形CDEF是矩形，CDJ_£）E.又CDL4。，且ADcZ）E=。，

，CD,平面4）E.

平面AfiC。/平面CD£F,平面/IBC。c平面。EE=8,ADu平面ABC£）,

ADVCD,所以平面C£>E尸，又DEu平面CDEF,所以4£>_L£）E,

将几何体ADE-3b补成三棱柱ADE-夕CF,

三棱柱ADE-8'CF的体积丫=Sa-CO=^x2x2x4=8,

则几何体ADE-BCF的体积m=V-匕we=8-gxx2x2卜（4-2）=g,

又三棱锥厂一DEM的体积匕=gx（；x2x2x；jx4=；

4<204、1

・•・空间几何体M—与空间几何体的体积的比为3：［可-］）=1.

21.（1）—-^-=1；（2）存在，G（g,0）.

916U）

【分析】⑴连接PC,则|PC|=|PM|,即忸c|-|PG||=|MG|=6,则点尸的轨迹是以G，C

为左右焦点，2a=6的双曲线，求解轨迹方程即可.

（2）由题意可知3c=-&«；时直线AG和BG的倾斜角互补.分类讨论：当直线/斜率不存在

时，A,B关于x轴对称，x轴上的任意点G都有3c=-当直线/斜率存在时，设直线

/的方程为：y=Mx-4）,（&xO）,与双曲线方程联立，整理得

（16-%2卜2+72/x744出+1）=0,设A（x”yJ,8仇,力），则

2

72k272H__144（Z:+l）⑷心一十“根据砥c=-G，可知

%+x2=-

16-9小9r_16'玉之一16-9429公一16

屋=*=一・=一三’整理得3一4&+%）-於+切+胱=。,

将Xi%,X|+w代入求解与,即可.

【解析】（1）连接PC,则|pq=|PM|,即忸q-|PG||=|MG|=6

.•|C,C|=10>6>0

.・•点P的轨迹是以c「C为左右焦点，2a=6,2c=10的双曲线.

即〃=3,c=5,b=>Jc2-a2=4

r2.2

•・•点户的轨迹方程G为：--2L=i

（2）当直线/斜率不存在时，直线/的方程为：x=4,则A,B关于x轴对称.

因为点G在x轴上

所以直线AG和BG关于x轴对称.

则x轴上的任意点G都有L=-%，即直线AG和BG的倾斜角互补

当直线/斜率存在时，设直线/的方程为：y=Z（尤-4）,（&。0）

y=fc（x-4）

贝斗x2y2BP（16-9）l2）x2+72Fx-144（）t2+l）=0

------=1

916

•••直线/交曲线c3于AB两点

16-9小片04

\2/,、即&W±—

△=（72公）+4x（16-9jl2）xl44（z）t2+l）=576（7）l2+16）>03

设A（%，X）,3（"力）

则为，演是方程（16—9/）/+72小了一144（/+1）=0的两根.

即72-72公_-i44（A:2+l）_144（^2+l）

、、'+々=_16_9今=9k—16'卬16-9公=9k276

假设存在点G($,0),使得直线AG和BG的倾斜角互补.

则％=也即上^植3=-4=-山)

大一与不一天%2一人0%一人0

.工「4二

即2再