【中考真题】2023年黑龙江省绥化市中考数学真题（附答案）

2023年黑龙江省绥化市中考数学真题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

4.纳米是非常小的长度单位，lnm=O.OOOOOOOOlm,把Q000000001用科学记数法表示

为（）

A.lx1。-B.1x10*C.IxlO8D.IxlO9

5.下列计算中，结果正确的是（）

A.1-pqf=pSq'B.x-x3+x2-x2=x8C.>/25=±5D.（iz2）3=a6

6.将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，4=25。，Z2=30°,则/3的度数

为（）

7.下列命题中叙述正确的是（）

A,若方差则甲组数据的波动较小

B.直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离

C.三角形三条中线的交点叫做三角形的内心

D.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

8.绥化市举办了2023年半程马拉松比赛，赛后随机抽取了部分参赛者的成绩（单位:

分钟），并制作了如下的参赛者成绩组别表、扇形统计图和频数分布直方图.则下列说

法正确的是（）

组别参赛者成绩

A70<x<80

B80<x<90

C90<x<100

D100<^<110

E110<x<120

A.该组数据的样本容量是50人

B.该组数据的中位数落在90~100这一组

C.90~100这组数据的组中值是96

D.110~120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为51°

9.在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点、B,C的横坐标

试卷第2页，共8页

k

都是3,BC=2,点。在AC上，且其横坐标为1,若反比例函数y=—（x>0）的图

10-某运输公司,运送一批货物，甲车每天运送货物总量咤在甲车运送1天货物后，

公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物3天，运完全部货物.求乙车单独运送这

批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（）

11

A.—H------=1

42x

11.如图，在菱形A3CD中，ZA=60°,AB=4,动点M,N同时从A点出发，点M

以每秒2个单位长度沿折线3-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段

AD向终点。运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x

秒，AWN的面积为>个平方单位，则下列正确表示》与无函数关系的图象是（）

12.如图，在正方形A3CD中，点E为边8的中点，连接AE,过点8作班于

点、F,连接80交AE于点G,FH平分NBFG交BD于点、H.则下列结论中，正确的个

数为（）

D

①AB~=BF'AE;②SABGF-^ABAF=2.3；③当AB=a时，BD~—BD-HD=a-

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、填空题

13.因式分解：x2+xy-xz-yz=.

14.若式子互5有意义，则x的取值范围是.

X

15.在4张完全相同的卡片上，分别标出1,2,3,4,从中随机抽取1张后，放回再

混合在一起.再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片

上的数字的概率是.

一11

16.已知一元二次方程Y+x=5x+6的两根为玉与巧，则一+一的值为______.

x2

AA(x+2x-l、x—A-

富,化..间：171^\-4"+4卜7^=--------

18.如图，。的半径为2cm,as为。的弦，点C为人台上的一点，将A?沿弦AB翻

折，使点C与圆心。重合，则阴影部分的面积为.(结果保留》与根号)

19.如图，在平面直角坐标系中，ABC与"B'C'的相似比为1：2,点A是位似中心,

已知点A(2,0),点C(a,%),ZC=90°.则点C'的坐标为.(结果用含。，6的式

子表示)

试卷第4页，共8页

c

20.如图，：ABC是边长为6的等边三角形，点E为高8。上的动点.连接CE,将CE绕

点C顺时针旋转60。得到C/.连接AF,EF,DF,则&CD/周长的最小值是.

21.在求1+2+3++100的值时，发现：1+100=101,2+99=101,从而得到

1+2+3++100=101x50=5050.按此方法可解决下面问题.图（1）有1个三角形，

记作4=1；分别连接这个三角形三边中点得到图（2）,有5个三角形，记作。2=5；再

分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3）,有9个三角形，记作由=9；

按此方法继续下去，则弓+。2+/++。”=.（结果用含〃的代数式表示）

图⑴图⑵图⑶

22.已知等腰，ABC,ZA=120°,AB^2.现将ABC以点3为旋转中心旋转45。，得

到△A'BC',延长C'A交直线3c于点D则AO的长度为.

、解答题

23.已知：点尸是。外一点.

（1）尺规作图：如图，过点P作出。的两条切线PE,PF,切点分别为点E、点（保

留作图痕迹，不要求写作法和证明）

⑵在（1）的条件下，若点。在。上（点。不与E,尸两点重合），且/£7步=30。.求

NEC小的度数.

24.如图，直线MN和所为河的两岸，豆MN〃EF,为了测量河两岸之间的距离，某

同学在河岸庄的3点测得NCBE=30。，从B点沿河岸FE的方向走40米到达。点，测

得NCDE=45°.

（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）

（2）若从。点继续沿DE的方向走（12石+12）米到达尸点.求tanZCPE的值.

25.某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、8两型客车（每种型号的客车至少

租用一辆）.A型车每辆租金500元，3型车每辆租金600元.若5辆A型和2辆B型车

坐满后共载客310人；3辆A型和4辆8型车坐满后共载客340人.

（1）每辆A型车、3型车坐满后各载客多少人?

（2）若该校计划租用A型和8型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人

载至目的地.该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？

（3）在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车.已知

从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校

出发，却比甲车早Q5小时到达目的地.下图是两车离开学校的路程,（千米）与甲车行

驶的时间r（小时）之间的函数图象.根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，「为何

值时两车相距25千米.

26.已知：四边形A3CD为矩形，AB=4,AD=3,点尸是8C延长线上的一个动点（点

厂不与点C重合）.连接AF交CD于点G.

试卷第6页，共8页

图一图二图三

(1)如图一，当点6为8的中点时，求证：AADG=AFCG.

(2)如图二，过点C作CE_LAF,垂足为E.连接BE,设赦=x,CE=y.求y关于x

的函数关系式.

(3)如图三，在(2)的条件下，过点B作⑻交E4的延长线于点当CV=1

时，求线段3M的长.

27.如图，为。。的直径，且MN=15,MC与N£＞为圆内的一组平行弦，弦A3交

MC于点”.点A在耽上，点B在"c上，^OND+ZAHM=9Q°.

(2)求证：AC=BC.

(3)在。。中，沿弦ND所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径MN于点G.若

3

sinZCMN=~,求NG的长.

28.如图，抛物线%=加+法+。的图象经过4-6,0),B(-2,0),C(0,6)三点，且一次

函数丫=丘+6的图象经过点8.

(1)求抛物线和一次函数的解析式.

(2)点E,歹为平面内两点，若以E、F、3、C为顶点的四边形是正方形，且点E在

点尸的左侧.这样的E,尸两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E

的坐标：如果不存在，请说明理由.

(3)将抛物线％的图象向右平移8个单位长度得到抛物线内，此抛物线的图

象与x轴交于N两点(M点在N点左侧).点尸是抛物线内上的一个动点且在直

线NC下方.己知点P的横坐标为机.过点尸作尸D_LNC于点。.求加为何值时，

8+1尸。有最大值，最大值是多少？

2

试卷第8页，共8页

参考答案：

1.C

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线

两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形

绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心

对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；

C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称

图形和中心对称图形的定义.

2.D

【分析】根据求一个数的绝对值，零指数幕进行计算即可求解.

【详解】解：|-5|+2°=5+1=6,

故选：D.

【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，零指数暴，熟练掌握求一个数的绝对值，零指数事

是解题的关键.

3.B

【分析】根据左视图的意义判断即可.

【详解】根据题意，该几何体的左视图为：

故选B.

【点睛】本题考查了三视图的画法，熟练掌握三视图的空间意义是解题的关键.

4.A

答案第1页，共26页

【分析】用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为axl(T",其中1<忖<10,n为

整数.

［详解］解：O.OOOOOOOO1=1X10”.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为其中

1<|a|<10,〃为由原数左边起第一个不为零的数字前面的。的个数所决定，确定。与〃的

值是解题的关键.

5.D

【分析】根据积的乘方与幕的乘方运算，同底数幕的乘法、合并同类项，算术平方根，进行

计算即可求解.

【详解】解:A.(-pq)3=-p3q3,故该选项不正确，不符合题意；

B.方尤3+r./=2/，故该选项不正确，不符合题意；

C.725=5,故该选项不正确，不符合题意；

D.(a2)3=«6,故该选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了积的乘方与幕的乘方运算，同底数累的乘法、合并同类项，算术平方根，

熟练掌握以上运算法则是解题的关键.

6.C

【分析】根据两直线平行内错角相等即可求解.

【详解】解:依题意，Zl+90°=Z3+45°,

,/Zl=25°,

N3=70。，

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键.

7.D

【分析】根据方差的意义，点到直线的距离，三角形的重心的定义，角平分线的性质，逐项

分析判断即可求解.

【详解】解：A.若方差品〉s"则乙组数据的波动较小，故该选项不正确，不符合题意；

答案第2页，共26页

B.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该选项不正确，不符

合题意；

C.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故该选项不正确，不符合题意；

D.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故该选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了方差的意义，点到直线的距离，三角形的重心的定义，角平分线的性质，

熟练掌握以上知识是解题的关键.

8.B

【分析】根据C组的人数除以占比求得样本的容量，结合统计图求得80Vx<90的人数为15,

进而根据中位数的定义，即可判断B选项，根据组中值为9°；0°=95,即可判断C选项,

根据110~120的占比乘以360°，即可判断D选项.

【详解】解：A、该组数据的样本容量是12+24%=50,故该选项不正确，不符合题意；

B、80Mx<90的人数为：50-4-12-12-7=15,4+15<25,4+15+12>25,

该组数据的中位数落在90~100这一组，故该选项正确，符合题意；

C、90~100这组数据的组中值是95,故该选项不正确，不符合题意；

7

D、110~120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为弟、360。=50.4。，故该选项不正

确，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了样本的容量，条形统计图与扇形统计图信息关联，中位数的定义，求扇

形统计图的圆心角的度数，求频数分布直方图组中值，从统计图表中获取信息是解题的关键.

9.C

【分析】设3（3,加），则«3,m+2）,。（1,机+2）根据反比例函数的性质，列出等式计算即可.

【详解】设巩3,加）,

:点2,C的横坐标都是3,BC=2,AC平行于x轴，点。在AC上，且其横坐标为1,

...C（3,w+2）,Z）（l,m+2）,

3m=m+2,

解得m=l,

AB（3,1）,

答案第3页，共26页

•,.左=3x1=3,

故选C.

【点睛】本题考查了反比例函数解析式的确定，熟练掌握左的意义，反比例函数的性质是解

题的关键.

10.B

【分析】设乙车单独运送这批货物需尤天，由题意列出分式方程即可求解.

【详解】解：设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程

故选：B.

【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键.

11.A

【分析】连接30,过点8作1狙，4）于点E,根据已知条件得出△ABD是等边三角形，进

而证明AMZVsABE得出ZA7VM=ZA£B=9O。，当0<f<4时，M在A8上，当4Vf<8时，

加在8c上，根据三角形的面积公式得到函数关系式，

【详解】解：如图所示，连接BO,过点B作BEJLAD于点E,

当0</<4时，M在A3上，

菱形ABCD中，ZA=60°,AB=4,

AB=AD,则△ABD是等边二角形，

1厂L

：.AE=ED=-AD=2,BE=《3AE=2

AM—2尤,AN=x,

.AMAB„「

'.而=至=2,又ZA=ZA

AMN^ABE

：.ZANM=ZAEB=90°

MN=ylAM2-AN2=®，

答案第4页，共26页

y--xx-j3x=^-x2

22

当4Wf<8时，M■在BC上,

y--ANxBE=Lx2石=#ix,

22

综上所述，0<f<4时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当4vr<8时，函数图象是

直线的一部分，

故选：A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱

形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上

知识是解题的关键.

12.D

【分析】①根据题意可得=—=贝UcosNABb=cosNEW,即

竺=学，又=即可判断①；②设正方形的边长为。，根据勾股定理求得转，证

ABAE

明11G4BSGED,根据相似三角形的性质求得GE,进而求得FG,即可判断②；过点H分

别作BRAE的垂线，垂足分别为根据②的结论求得勾股定理求得8。，即可

判断③.

【详解】：四边形A5CD是正方形，

/.ZBAD=ZADE=90°,AB=AD

'：BFLAE

ZABF=90°-ZBAF=ZDAE

cosZABF=cosNEAD

BFAD「

n即n瓦’又回皿

AB2=BFAE^故①正确;

设正方形的边长为。，

:点E为边8的中点，

答案第5页，共26页

tanZABF=tansZEAD=—,

2

在RtAAB石中，AB=y/AF2^BF2=45AF=a^

•下

・・AAFP=——a

5

在Rt^APE中，AE=ylAD2+DE2=—

2

.__75A/53A/5

・・EF=AE—AF=——a-----a=-----a,

2510

■:AB//DE

：.GABsQED

.AG_-

GEDE

.・・GE=-AE=—«

36

•口rA口4T-,「口下小2非

••rG=AE—Ar-CrE=a----a------a=-----a

25615

好

・AF-~5~a_3

•,白—2非F

-----a

15

S^BGF：^ABAF=2:3,故②正确；

,/AB=a,

；•BD2=AB2+AD2=2a2,

如图所示，过点H分别作BEAE的垂线，垂足分别为M,N,

又

答案第6页，共26页

・•・四边形是矩形，

,/是N圻G的角平分线，

・•・四边形FMHN是正方形，

:.FN=HM=HN

••DZ7_o4Z7_2小口r_2小

•BF—2AF-----a,FG=------a

515

.MH_FG_1

"BM~BF~3

设,MH=b,贝!!5/=5M+9=5Af+MH=3〃+〃=4〃

在Rt,浏阳中，BH=《BM2+MH2=Mb，

・Fk2百

•BF=------a

5

.2君

・・-----a=4b

5

解得：b=^-a

10

BH=J10x^-a=^La，

102

**•BD?—BD♦HD=2a2—V2tzxci=，故④正确.

2

故选：D.

【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握相

似三角形的性质与判定是解题的关键.

13.(x+y)(x-z)

【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解.

【详解】解：/+孙一%z—yz=x(x+y)—z(x+y)=(x+y)(x-z),

故答案为：(x+y)(x-z).

【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

14.%2-5且犬力0/%。0且%2-5

【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可.

【详解】•.•式子互1有意义，

:・%+520且xwO,

答案第7页，共26页

，x3-5且x片0,

故答案为：5且XKO.

【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式

有意义的条件是解题的关键.

15.-/0.5

2

【分析】根据题意列表法求概率即可求解.

【详解】解：列表如下，

1234

1=1?£1£

1

1234

2=22=i22_j_

2

1234~2

33_

3-=3f

1234

<44<1

4-=2：

123-4

共有16种等可能结果，符合题意的有8种，

第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是之=:，

162

故答案为：.

【点睛】本题考查了列表法求概率，整除，熟练掌握列表法求概率是解题的关键.

16.--

3

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出玉+%=4,占々=-6,将分式通分，代入即

可求解.

【详解】解：:•一元二次方程x°+x=5x+6,即/-4尤-6=0,的两根为天与演，

药+%=4,x1x2=-6,

X+X

.^+^_12_4_2

,,玉x2x{x2-63'

故答案为：-;2.

答案第8页，共26页

【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方

程根与系数的关系是解题的关键.

x—2—2+x

【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简

即可求解.

【详解】解：

Ix-2%x-4x+4j%-2x

(x+2)(x-2)-x(x-l)x(x-2)

x(x-2)2x-4

—4—+x-2)

M%-2)2x-4

1

~x-2；

故答案为：.

x-2

【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键.

【分析】根据折叠的性质得出一AOC是等边三角形，则NAOC=6。。，OD=CD=1,根据阴

影部分面积=5扇形Ag-SAOC即可求解.

【详解】解：如图所示，连接。4,0。，设AB,CO交于点。

;将A3沿弦A5翻折，使点。与圆心。重合,

AC=AO,OC.LAB

XOA=OC

：.OA=OC=AC,

・・・_AOC是等边三角形，

AZAOC=60°,OD=CD=\,

答案第9页，共26页

ADNAO^-CD2=6,

••・阴影部分面积=s扇/。c-SAX=2兀x2?-1x2xg=|兀-6(cm2)

故答案为：序-可cm。

19.(6-2a,-2b)

(分析］过点C,C分别作x轴的垂线CD,CD'垂足分别为D,D',根据题意得出47=2AD,

则AD=a_2,C£>=b,得出D(2-2a+4,0),即可求解.

【详解】解：如图所示，过点C,C'分别作无轴的垂线CD,CD垂足分别为

•/ABC与△AB'C'的相似比为1：2,点A是位似中心，4(2,0)

，AD'=2AD

'：C(a,b),

AD=a—2,CD=b,

A'D^2a-4,C'D'=2b,

：.D(2-2a+4,0)

:.C(6—24z,—2Z>)

故答案为：(6-2a-2b).

【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.

20.3+3右/3右+3

【分析】根据题意，证明OE会-C4F,进而得出尸点在射线转上运动，作点C关于”的

对称点CL连接DC,设CC'交AF于点0,则/AOC=90。，则当。,QC'三点共线时，

FC+FD取得最小值，即叱+网>=产'。'+尸介=00',进而求得C'£>,即可求解.

【详解】解：为高上的动点.

ZCBE=-ZABC=30°

2

答案第10页，共26页

将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF.ABC是边长为6的等边三角形,

CE=CF/ECF=ZBCA=60°,BC=AC

.CBE=CAF

：.ZCAF=ZCBE=30°,

•••歹点在射线"上运动,

如图所示，

作点C关于钎的对称点CL连接DC,设CC'交AF于点0,则40090。

在RtAOC中，ZCAO=30°,则CO=^AC=3,

2

则当£>,£C'三点共线时，PC+ED取得最小值，即产C+ED=AC+FD=CE>'

VCC'=AC=6,ZACO=ZC'CD,CO=CD

：.ACO^,CCD

：.ZC'DC=ZAOC=90°

在，C7)C中，C'D=qCC。-CU"=36，

.CDF周长的最小值为CD+FC+CD=CD+DC'=3+3y/3,

故答案为：3+3石.

【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的

性质与判定,勾股定理,熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键.

21.2n2—n/—n+2n2

【分析】根据题意得出q=1+4(〃-1)=4"-3,进而即可求解.

【详解】解：依题意，%=1,%=5,%=9,…，<2„=l+4(n-l)=4n-3,

1+4九一3/\7

..ax+a2+a3++an==n=^2n-l)n=2n-n,

故答案为：2nl—n.

答案第11页，共26页

【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键.

22.4+26或4-2石

【分析】根据题意，先求得2C=2g,当-ABC以点B为旋转中心逆时针旋转45。，过点8

作交AO于点E,当ABC以点8为旋转中心顺时针旋转45。，过点。作DBLBC'

交3C于点歹，分别画出图形，根据勾股定理以及旋转的性质即可求解.

【详解】解：如图所示，过点A作于点M,

;等腰ABC,ZBAC=120°,AB=2.

：.ZABC=ZACB=30°,

•e-AM^^AB=i,BM=CM7AB2-AM?=g，

/.BC=2-j3,

如图所示，当4ABe以点B为旋转中心逆时针旋转45。，过点8作3ELA3交AD于点E,

*.•ZBAC=120°,

ZDA'B=60°,ZAEB=30°,

在RtA3E中，HE=2AB=4，BE=yjAE2-A'B2=273-

•等腰:ABC,ABAC=120°,AB=2.

ZABC=ZACB=30°,

ABC以点8为旋转中心逆时针旋转45。，

ZABA'=45°,

：.ZDBE=180°-90°-45°-30°=15°,ZABD=180°-45°-30°=105°

答案第12页，共26页

在.ABO中，ZD=180°-ZDAB-ZABD=180°-60°-105°=15°,

/.ZD=ZEBD,

：.EB=ED=26,

A'D=A'E+DE=4+2s/3,

如图所示，当：ABC以点8为旋转中心顺时针旋转45。，过点。作小交3C'于点歹,

在△皮刀中，NBDF=NCBC'=45。,

DF=BF

在RtOCF中，ZC=30°

DF=—FC'

3

•*.BC=BF+y/3BF=2A/3

DF=BF=3-^3

，DC'=2DF=6-2拒

/.A,D=C,£)-A,C,=6-2A/3-2=4-2A/3,

综上所述，A。的长度为4-2省或4+20，

故答案为：4-2相或4+26.

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋

转的性质，分类讨论是解题的关键.

23.⑴见解析

(2)/ED产=75°或105°

答案第13页，共26页

【分析】(1)①连接PO,分别以点P，0为圆心，大于;尸。的长为半径画圆，两圆交于点M，N

两点，作直线交OP于点A,②以点A为圆心，Q4为半径画圆，与。交于两点，

作直线

(2)根据切线的性质得出/PEO=/PR9=90。，根据四边形内角和得出/EOF=150。，进

而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解.

【详解】(1)解：如图所示，

①连接尸O,分别以点尸，。为圆心，大于gp。的长为半径画弧，两弧交于点M,N两点，作

直线MN交。尸于点A,

②以点A为圆心，Q4为半径画圆，与。交于瓦月两点，作直线尸£尸尸，

则直线尸即为所求；

(2)如图所示，点。在(。上(点。不与E,厂两点重合)，且NEPF=30。，

•；PE,PF是(O的切线，

.'.ZPEO=ZPFO=90°,

Z.EOF=360°-90°-90°-30°=150。，

当点D在优弧炉上时，/EDF=g/EOF=75。,

当点。在劣弧厮上时，ZEDF=180°-75o=105°,

/EDF=75。或105。.

【点睛】本题考查了切线的性质与判定,直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，

圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键.

24.(1)河两岸之间的距离是20g+20米

(2)tanZCPE=|

答案第14页，共26页

【分析】（1）过点C作产于点M,设CM=a米，在中，MB=^3a,在

Rt9WCD中，MD=MC=a,根据BD=40,建立方程，解方程即可求解；

（2）根据题意求得的长，进而根据正切的定义，即可求解.

【详解】⑴解：如图所示，

过点C作。于点设CN=a米，

•；/CBE=30。

CMJ3

tanZCBM=——=tan30°=—,

PB3

MB=\[?>a,

CM

在RtAMCD中，tanZCDM=——=tan45°=1,

MD

：.MD=MC=a

/.BD=MB-MD=岛-。=40

解得：a=20y/3+20

答：河两岸之间的距离是20』+20米;

（2）解：如图所示,

依题意，PB=BD+DP=40+(1273+12)=52+12^,

MP=MB-PJB=(20A/3+20)V3-(52+12A/3)=8+8A/3,

CM20肉205

在RtZ\CMP中,tanNCPM=——=--一1=-,

MP8+8V32

答案第15页，共26页

tanZCPE=-

2

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键.

25.(1)每辆A型车、3型车坐满后各载客40人、55人

(2)共有4种租车方案，租8辆A型车，2辆B型车最省钱

(3)在甲乙两车第一次相遇后，当r=3小时或1小时时，两车相距25千米

【分析】(1)设每辆A型车、8型车坐满后各载客x人、y人，由题意列出二元一次方程组，

解方程组即可求解；

(2)设租用A型车加辆，则租用B型车(10-加)辆，由题意列出一元一次不等式组，解不等

式组，求整数解即可得出，"的值，设总租金为w元，根据一次函数的性质即可求解；

(3)设s甲=6，sH，由题意可知，甲车的函数图像经过(4,300)；乙车的函数图像

经过(0.5,0),(3.5,300)两点.求出函数解析式，进而即可求解.

【详解】(1)解：设每辆A型车、B型车坐满后各载客x人、y人,由题意得

j5x+2y=310

[3x+4y=340

[x=40

解得„

[y=55

答：每辆A型车、8型车坐满后各载客40人、55人―

(2)设租用A型车，"辆，则租用3型车(10-m)辆，由题意得

[500m+600(10-m)<55002

\/解得：5<m<8-

[40m+55(10-m)>4203

-机取正整数，

m=5,6,7,8

二.共有4种租车方案

设总租金为w元，贝!Jw=500m+600(10—m)=—100m+6000

-100<0

W随着用的增大而减小

二.机=8时，卬最小

••・租8辆A型车，2辆B型车最省钱•

答案第16页，共26页

(3)设$甲=比，s乙=k、t+b.

由题意可知，甲车的函数图象经过(4,300)；乙车的函数图象经过(0.5,0),(3.5,300)两点.

s甲=75f,s乙=1007—50

S乙一S甲=25,即loot—50—75/=25

解得f=3

或300-75,=25

解得/='

所以，在甲乙两车第一次相遇后，当f=3小时或/小时时，两车相距25千米.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根

据题意找到等量关系，列出方程组，不等式组，以及函数解析式是解题的关键.

26.(1)见解析

（2）0=::T2（或（41：心+16）

+16步尤2+16

小10匹

⑶丁

【分析】(1)根据矩形的性质得出">〃防，则ZD=NDCF,根据题意得出DG=CG,即

可证明AADG^：AFCG(ASA)；

22

(2)在RtABF中，AF=VAB+BF=^+16>证明△CEFSAABF,根据相似三角形

的性质即可求解；

(3)过点E作硒，8尸于点N,得出△ABF,△CEF为等腰直角三角形，在RtBNE中,

勾股定理求得BE,证明根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】(1)证明：•••四边形ABCD为矩形，

/.AD//BF,

ZD=ZDCF,

：G为CD中点，

:.DG=CG,

在△ADG和△尸CG中

答案第17页，共26页

ND=ZGCF

DG=CG

NAGD=ZFGC

：.△ADG之△/CG(ASA)；

(2),・,四边形ABC。为矩形,

\ZABC=90°,

：CELAF,

\ZCEF=90°=ZABCf

.*ZF=ZF,

•・△CEFs^ABF,

.CECF

*AF?

.*AB=4,BF=犬,

..在RtA3尸中,AF=y/AB2+BF2=7?+16>

：CE=y,

y_x-3

4y/x2+16'

_4x-12

'J/+16('或，=

(3)过点E作印_L5产于点N,

:四边形ABC。为矩形，且AD=3,

AD=BC=3,

答案第18页，共26页

VA6=4,CF=\,

・•・AB=BF,

・•・aAB/为等腰直角三角形,

ZCFE=ZBAF=45°,

VCE1AF,

・・・ACEF为等腰直角三角形，

:.NECF=45。,

EN^CF,

:・EN平分CF,

：.CN=NF=NE=~,

2

在RtBNE中,

*.*BE2=BN2+EN\

ZECF=ZBAF=45°,

：.ZBAM=/BCE=135°,

•:BM工BE,

：.ZMBA-^-ZABE=90°,

ZABE+NEBC=9伊,

：.ZMBA=NEBC,

：.ABAM^ABCE,

.BMBA_4

-BC-3?

BM4

,•5,\/23,

F

.10>/2

••BM=-------.

3

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，列

函数关系式，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

27.(1)见解析

(2)见解析

答案第19页，共26页

【分析】（1）证明,AMHs,C5H即可;

（2）连接0C,交A3于点尸，根据平行线的性质和已知条件证明垂直平分即可;

（3）利用对称的性质作辅助线，根据已知条件，转化为解直角三角形问题即可.

【详解】（1）/ABC和是AC所对的圆周角，

/.?ABC?AMC,

2AHM2cHB,

：.AMHCBH,

.AHMH

••一,

CHBH

:.MHCH=AHBH.

(2)连接OC,交A3于点尸,

MC与ND为一组平行弦，即：MC〃ND,

1OND?OMC,

OM=OC,

/OMC=NOCM,

NOND+ZAHM=90。,

1OCM2AHM?OCM2cHB90?,

ZHFC=90°f

OCLAB,

•••OC是AB的垂直平分线,

•*-AC=BC.

答案第20页，共26页

⑶连接。似、。G,过点。作。石，MN,垂足为设点G的对称点G',连接G/、GW,

C

DG=DG',2GM)?GND,

-DM=DG^

DG^=DM,

DG=DM,

「•0GM是等腰三角形，

DE工MN,

GE=ME,

DN//CM,

/.?CMV2DNM,

脑V为直径，

/MDN=90。,

・・•/MDE+/EDN=90。,

DE±MN,

/DEN=90。,

?DNM2EDN90?,

3

sin?EDMsin?DNMsin?CMN-,

在MAMND中，MN=15,

.cz”MD3

/.sin?DNM-----=-,

MN5

•MD_3

,,一，

155

・•.MD=9,

3ME

在用MED中，sin?EDM-=——，

5MD

答案第21页，共26页

--M---E-——3

95

27

ME=—,

2721

，NG=MN-MG=MN-2ME=15-2?———

55

，NG=—

5

、21

故答案为：—.

【点睛】本题考查了圆的综合问题，同弧所对圆周角相等、构建合适的辅助线是解题的关键；

熟练掌握相似三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、熟悉锐角三角函数解决直角三角形.

1

28.⑴M.I9+4x+6,y=3x+6

(2)满足条件的瓜产两点存在，耳(-8,2),E2(4-2),£3(-4,4)

⑶当机=；时，的最大值为幽I

3224

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；

(2)①当BC为正方形的边长时，分别过3点C点作F.F^BC,使

EXB=E2B=BC,CFX=CF2=BC,连接《片、E2F2,证明△8片区段ZXCBaAAS),得出

E"=B0=2,HtB=OC=6,则耳(-8,2)同理可得，耳(4,-2)；②以3C为正方形的对角

线时，过3c的中点G作与玛，BC，使用鸟与BC互相平分且相等，则四边形区为正

方形，过点E3作用NLy轴于点N,过点3作&N于点证明

222

△CE3^AE3BM(AAS),得出区3=26，在RtZiEjNC中，E3CCN+E3N,解得

CN=2或4,进而即可求解；

(3)得出CON是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则①>=。尸=*HP,点

2

P在抛物线内上，且横坐标为〃2,得出“(九-九+6),进而可得

snp⑹1102,3013垃(13?169