人教A版新教材高中数学第二册学案3：8. 4 .1 平面

8.4.1平面

『知识导学』

知识点一平面的概念

平面的概念及表示

⑴概念：几何里所说的“平面”是从生活中的物体中的，是的.

（2）平面的画法：①常用，即平行四边形表示平面.当平面水平放置时，常把平行四边形的

一边画成；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成.

如图a.

②在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常

,这样可使画出的图形立体感更强一些.如图b.

⑶表示法：可以用等来表示；用（表示平面的平行四边形的相对的两个顶点）来表示；用（表

示平面的平行四边形的）来表示.

知识点二点、线、面之间的关系点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达

文字语言表达图形语言表达符号语言表达

点A在宜线1上A1

•

点八在直线/外A_______

I

点A在平面a内/,k-网八Sa

.A

点A在平面a外z__/网―&a

直线/在平面a内J,一/Ua

宜线/在平面a外/y

平面a,相交于2加匠0=/

知识点三平面的基本性质

基本

内容图形符号作用

事实

物八，B.C

过回不在一条用来

三点不共线

基本直线上的三个〃・确定

/a/B.4•C~/7=＞存在唯一

事实1虎，有且只有一一个

的平面a使

个平面平面

A,B,C€a

如果圆一条直网八用来

线上的两个点画Bei.且证明

基本

在一个平面内,国八6a,宜线

事实2Z57

那么这条直线国Be…在平

在这个平面内/UQ面内

如果跑两个不

用来证

重合的平面有®Pe_a-

明空间

基本一个公共点，那=a

的点共

事实3么它们有且只口尸/,且P

线和线

有一条画过该0

共点

点的公共直线

作用、

推论内容图形符号

经过一条宜线和A&BC=>存

这条直线外一在唯一的平

推论1

点，有且只有一面a使八e

个平面a,BCUa

々n6=p=1用来

经过两条相交直

存在唯一的确定

推论2线，有且只有一

平面a,使a一个

个平面

Ua,〃UQ平面

aHb令存在

经过两条平行直

唯一的平面

推论3线，有且只有一

a,使aUa，b

个平面

Ua

『新知拓展』

1.解决立体几何问题首先应过好文字语言、符号语言和图形语言三大语言关，即实现这三

种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描

述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在

转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.

2.对于证明几点（或几条直线）共面的问题，先由其中几个点（或几条直线）确定一个平面后,

再证明其他点（或直线）也在该平面内即可.

3.证明三点共线通常采用以下方法：（1）首先找出两个平面，然后证明这三个点都是这两个

平面的公共点，由基本事实3可知这些点都在交线上；（2）先由其中任意两点确定一条直线，

再证明另一点也在这条直线上.

4.证明三线共点，可先由两条直线交于一点，而这个点分别在两个平面内，这两个平面的

交线就是第三条直线，由基本事实3可知该点在第三条直线上，即三线共点.

『基础自测』

1.判一判（正确的打W"，错误的打“x”）

（1）平行四边形是一个平面.（）

⑵若AGq,aua,贝!|AGa.（）

（3）两个平面的交线可能是一条线段.（）

⑷经过一条直线和一个点，有且只有一个平面.（）

2.做一做

(1)如图所示，用符号语言表示以下各概念:

①点A,B在直线a上：；

②直线a在平面a内：；

③点。在直线b上，点C在平面a内：.

(2)若平面a与平面£相交于直线/，点AGa,则点A/；其理由是

⑶根据图，填入相应的符号：A平面ABC,A平面BCD,BD平

面ABC,平面ABS平面ACO=.

『题型探究』

题型一平面概念的理解

例1(1)下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有

一个平面的长是50m,宽为20m；④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数

学概念.其中正确命题的个数为;

(2)下图中的两个相交平面，其中画法正确的是.

『规律方法』平面概念的理解及特点

(1)平面是一个只描述而不定义的原始概念，它是由平时生活中常见的平面抽象出来的，是

理想的，是无限延展的，是无厚薄、大小的.

(2)要注意平面具有如下特点：

①平面是平的；②平面是没有厚度的；③平面是无限延展而没有边界的；④平面是由空间的

点、线组成的无限集合；⑤平面图形是空间图形的重要组成部分.

『跟踪训练1』

下列四种说法正确的是.

①平面的形状是平行四边形；

②任何一个平面图形都可以表示平面；

③平面ABCD的面积为100cm2；

④空间图形中，后作的辅助线都是虚线.

题型二文字语言、图形语言、符号语言的相互转化

例2根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.

(1)点P与直线AB；

⑵点C与直线AB；

⑶点M与平面AC;

(4)点Ai与平面AC；

(5)直线AB与直线BC；

(6)直线AB与平面AC；

(7)平面AiB与平面AC.

『规律方法』三种语言的转换方法

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相

互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示.

(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.

『跟踪训练2』

(1)把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.

@A^a,ac.a：；

②aC0=a,P庄a旦P在;

(§)aCa,af~la=A：；

④aC°=a,ar\y=c,£Cy=b,aC\br\c=O：.

(2)根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形.

①Ada,B氏a；②/ua,mHa^A,Aih③P0,Pia,Q^l,Q^a.

题型三线共面问题

例3已知直线6〃c,且直线a与6,c都相交，求证：直线a,b,c共面.

『条件探究』在本例中，若直线a〃b〃c,直线lCb=B,/Cc=C,又该如何证

明直线a,b,c,/共面？

『规律方法』证明多线共面的两种方法

(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.

(2)重合法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证

明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.

『跟踪训练3』

下列说法中正确的是()

A.空间不同的三点确定一个平面

B.空间两两相交的三条直线确定一个平面

C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形

D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内

题型四点共线问题

例4如图，已知AABC的三个顶点都不在平面a内，它的三边AB,BC,AC延长后分别交

平面a于点P,Q,R.

『规律方法』

点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上,主要依据是基本事实3.此类问题

的证明常用以下两种方法：

(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知这些

点都在这两个平面的交线上；

(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.

『跟踪训练4』

如图，在正方体ABCD—AiBiCQi中，点N,E,尸分别是棱CD,AB,DDi，上的

点，若MN与EF交于点、Q,求证：D,A,0三点共线.

题型五线共点问题

例5如图，在三棱柱ABC—AiBCi中，81P=2以1，CiQ=2Qh.求证：直线A4i，BP,CQ

相交于一点.

『规律方法』证明线共点问题的步骤

证明三线共点的思路是：先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这个点，把问题

归结为证明点在直线上的问题.

『跟踪训练5』

在四面体ABC。中，E,G分别为BC,A8的中点，尸在上，〃在上，MWDF：FC

=DH：HA=1：3.求证：EF,GH,3。交于一点.

『随堂达标』

1.在空间中，下列结论正确的是（）

A.三角形确定一个平面

B.四边形确定一个平面

C.一个点和一条直线确定一个平面

D.两条直线确定一个平面

2.两个平面若有三个公共点，则这两个平面（）

A.相交B.重合

C.相交或重合D.以上都不对

3.三条两两平行的直线可以确定平面的个数为（）

A.0B.1C.0或1D.1或3

4.如图，已知正方体ABCD-AiBGP.

⑴Acrwo=；

(2)平面ABC平面4G=；

(3)AiBiC\B[BC\B\Ci—.

5.如图，AABC与△A/iG不全等，MA\B\//ABfB、C\〃BC,G4〃CA.求证：AA\,BBi，

CCi交于一点.

——★参*考*答*案★——

『知识导学』

知识点一平面的概念

(1)抽象出来向四周无限延展

⑵矩形的直观图横向竖向

②把被挡住的部分画成虚线或不画

(3)希腊字母a,p,7两个大写的英文字母

四个大写的英文字母四个顶点)

『基础自测』

1.『答案」(l)x(2)Y(3)X(4)X

2.『答案」(1)①AGa,BWa②aua③D©b,C^a(2)e同时在两个不重合平面

上的点一定在两个平面的交线上(3)6在UAC

『题型探究』

题型一平面概念的理解

例1

M解析』』(1)由平面的概念，知它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正

确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确.

(2)对于①，图中没有画出平面a与平面£的交线，另外图中的实、虚也没有按照画法原则

去画，因此①的画法不正确.同样的道理，也可知②、③图形的画法不正确，④中图形的画

法正确.

『『答案』」(1)1⑵④

『跟踪训练1』

『答案』②

『解析』①错误，通常用平行四边形表示平面，但平面的形状不一定是平行四边形；③

错误，平面不能度量；④错误，看不到的线画成虚线.

题型二文字语言、图形语言、符号语言的相互转化

例2

『解』⑴P6A8

(2)CgAB.

(3)Me平面AC.

(4)A便平面AC.

(5)ABnBC=B.

(6)A8u平面AC.

⑺平面A/n平面AC^AB.

『跟踪训练2』

『答案」⑴①C②D③A©B⑵见『解析』

『解析』(2)①点A在平面a内，点8不在平面a内，如图①.

②直线/在平面a内，直线相与平面a相交于点A,且点A不在直线/上，如图②.

③直线/经过平面a外一点尸和平面a内一点。，如图③.

题型三线共面问题

例3

『证明』.,.不妨设6,c共面于平面a,

设anb=A,aC\c—B,.,.A^a,BGa,A^b,BGc,

又bua,.,.A^a,同理即qua,...三线共面.

『条件探究』

证明如图所示.

'.'a//b,.,.a,6可确定一个平面a.

XlC\a=A,ir\b=B,

：.A^a,BGb,AEct,B^a.

；.ABua.又AG/,BGI,lea.

又6〃c,...b,c可确定一个平面少同理七夕.

•••平面a,£均经过直线6,I,且b和/是两条相交直线,

；•/与b确定的平面是唯一的.

'.a,b,c,l四线共面.

『跟踪训练3』

『答案』D

「解析」经过同一条直线上的三点有无数个平面，故A不正确；当两两相交的三条直线

相交于一点时，可能确定三个平面，故B不正确；有三个角为直角的四边形不一定是平面

图形，如图，在正方体ABCD—AiBiGA中，四边形ACCQi满足/ACCi=/CCQi=/GAA

=90。，但四边形ACC15不是平面图形，故C不正确；和同一条直线相交的三条平行直线

一定共面，故选D.

题型四点共线问题

例4

『证明』证法一：由已知AB的延长线交平面a于点P,

根据基本事实3,平面ABC与平面a必相交于一条直线，设为/.

直线AB,."e平面ABC.

又A8na=P,；.尸6平面a,

：.P是平面ABC与平面a的公共点.

「平面ABCna=/,同理，QWl,RGL

：.P,Q,R三点在同一条直线/上.

证法二：；APrUR=A,

直线AP与直线AR确定平面APR.

又A8na=P,ACHa^R,APRC\a^PR.

：Be平面APR,Ce平面APR,...BCu平面APR.

\"Q^BC,平面APR,又QGa,:.QGPR,

：.P,Q,R三点共线.

『跟踪训练4』

证明,:MNCEF=。,直线MN,QG直线EF,

又MG直线CD,Nd直线AB,

CDu平面ABC。，ABu平面A8CD

：.M,NG平面ABC。，ABCD.AQeABCD.

同理，可得EFu平面ADAAi，平面ADOiAi.

又平面ABCDn平面ADDAi^AD,

；.Qe直线A。，即。，A,Q三点共线.

题型五线共点问题

例5

『证明』如图，连接PQ.

由BiP=2E4i,GQ=2Q4，得PQ〃8iG,且PQ=：BiG.

又BdiCi,：.PQ//BC,且P0=；BC,

.••四边形BC。尸为梯形，.,.直线BP,CQ相交，

设交点为R,贝URG8P,RGCQ.

又BPu平面AAiBiB,CQu平面AAiCiC,

.•.7?6平面4418田，且RG平面AA1CC，

：.R在平面AA,B\B与平面A41GC的交线上，即R^AAi,

直线A4i，BP,C。相交于一点.

『跟踪训练5』

证明如图所示，连接GE,HF.

■:E,G分别为BC,AB的中点，J.GE//