新教材2024年秋高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式教师用书含答案新人教A版必修第一册

2.1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(数学建模)2．会用比较法比较两实数的大小．(逻辑推理)你见过图中的高速马路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1(单位：km/h，下同)应当满意100≤v1≤120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2应当满意60≤v2≤100．学问点1基本领实文字表示符号表示假如a－b是正数，那么a＞ba－b＞0⇔a＞b假如a－b等于0，那么a＝ba－b＝0⇔a＝b假如a－b是负数，那么a＜ba－b＜0⇔a＜b从上述基本领实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．学问点2重要不等式一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．1．(多选)下面列出的不等式中，正确的是()A．若a不是负数，则a≥0B．若x不大于3，则x<3C．若m与4的差是负数，则m－4<0D．若x与2的和是非负数，则x＋2>0AC[x不大于3可表示成x≤3;x与2的和是非负数，可表示成x＋2≥0．]2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________．[答案]a＝1类型1用不等式(组)表示不等关系【例1】(1)某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，假如每种邮票至少买两套，那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式表示为()A．xB．xC．xD．0.8×5x＋2×4y≤50(2)京沪线上，复兴号列车跑出了350km/h的速度，这个速度的2倍再加上100km/h也不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了一般客车的3倍，请用不等式表示三种交通工具的速度关系．(1)A[买票面8角的x套，而票面8角的每套5张，则价格为(0.8×5x)元．买票面2元的y套，而票面2元的每套4张，则价格为(2×4y)元．∵某同学拿50元钱买纪念邮票，∴0.8×5x＋2×4y≤50．又知，每种邮票至少买两套，故x≥2，y≥2且x∈N＋，y∈N＋，综上，有不等式组x故选A．](2)[解]设复兴号列车的速度为v1，民航飞机的速度为v2，一般客车的速度为v3．v1、v2的关系：2v1＋100≤v2，v1、v3的关系：v1＞3v3．利用不等式(组)表示不等关系的留意点(1)在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必需具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不行以用不等式(组)来表示．(2)在用不等式(组)表示实际问题时，肯定要留意单位的统一．[跟进训练]1．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216m2，靠墙的一边长为xm．试用不等式表示其中的不等关系．[解]由于矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m，所以0<x≤18，这时菜园的另一条边长为30-x2因此菜园面积S＝x·15-依题意有S≥216，即x15-x故该题中的不等关系可用不等式组表示为0<x类型2比较两数(式)的大小【例2】已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．[解]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1．[母题探究]把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．[解]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵3x2＋1＞0，当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1．比较两个代数式大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个代数式作差．(2)变形：对差进行变形．(3)推断差的符号：结合变形的结果及题设条件推断差的符号．(4)作出结论．这种比较大小的方法称为作差法．其思维过程是作差→变形→推断差的符号→作出结论．变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化．[跟进训练]2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．[解](2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝x+122∵x+122≥0，∴x+12∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2．类型3不等关系的实际应用【例3】某单位组织职工包车前往某地参观学习．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受全票价的7.5折实惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折实惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试依据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更实惠．思路导引：分别建立费用表达式借助基本事实数学运算[解]设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋34x·(n－1)＝14x＋34xn，y2＝因为y1－y2＝14x＋34xn－45nx＝14x－120nx当n＝5时，y1＝y2；当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2．因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更实惠；少于5人时，选乙车队更实惠．解决决策优化型应用题，首先要确定制约决策优化的关键量是哪一个，然后用作差法比较它们的大小即可．[跟进训练]3．甲准备从A地动身至B地，现有两种方案：第一种：在前一半路程用速度v1，在后一半路程用速度v2(v1≠v2)，平均速度为v；其次种：在前一半时间用速度v1，在后一半时间用速度v2(v1≠v2)，平均速度为v'，则vA．v＞v' B．v＜C．v＝v'B[第一种方案：设总路程为2s，则v＝2ssv1其次种方案：设时间为2t，则v'＝v1t+v'-v＝v1+v2∴v'＞1．某路段直立的“”的警示牌是提示司机通过该路段时，车速vkm/h应满意的关系式为()A．v<60 B．v>60C．v≤60 D．v≥36[答案]C2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是()A．a－b＞0 B．a－b＜0C．a－b≥0 D．a－b≤0[答案]C3．某高速马路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为()A．v≤120km/h且d≥10mB．v≤120km/h或d≥10mC．v≤120km/hD．d≥10mA[v的最大值为120km/h，即v≤120km/h，车间距d不得小于10m，即d≥10m，故选A．]4．若实数a>b，则a2－ab______ba－b2．(填“>”或“<”)>[因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0．]回顾本节学问，自主完成以下问题：1．作差法比较两个实数的大小的依据是什