2024秋高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.2空间中的平面与空间向量课后习题新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE11.2.2空间中的平面与空间向量A级必备学问基础练1.若a=(1,2,3)是平面γ的一个法向量,则下列向量中能作为平面γ的法向量的是()A.(0,1,2) B.(3,6,9)C.(-1,-2,3) D.(3,6,8)2.设平面α的法向量为(1,-2,λ),平面β的法向量为(2,μ,4),若α∥β,则λ+μ=()A.2 B.4 C.-2 D.-43.已知n为平面α的一个法向量,l为一条直线,则“l⊥n”是“l∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为()A.(1,0,-2) B.(1,0,2)C.(-1,0,2) D.(2,0,-1)5.(多选题)对于两条不同直线m,n和两个不同平面α,β,下列选项中正确的为()A.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥nB.若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n或m∥nC.若m∥α,α∥β,则m∥β或m⊂βD.若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α6.已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z=.

7.若AB=λCD+μCE(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系是.

8.若A0,2,198,B1,-1,58,C-2,1,58是平面α内三点,设平面α的法向量为a=(x,y,z),则x∶y∶z=.

9.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱长为1的正方体,给出下列结论:①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).其中正确的是.(填序号)

10.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求:(1)平面BDD1B1的一个法向量;(2)平面BDEF的一个法向量.11.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.12.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)AE⊥CD;(2)PD⊥平面ABE.B级关键实力提升练13.已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面α的法向量,则m,n的值分别为()A.-1,2 B.1,-2C.1,2 D.-1,-214.已知直线l的方向向量为a,且直线l不在平面α内,平面α内两共点向量OA,OB,下列关系中肯定能表示l∥α的是(A.a=OA B.a=kOBC.a=pOA+λOB D.以上均不能15.已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),则平面ABC的一个单位法向量为()A.-13,-2C.-13,216.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则以下结论不正确的有(A.EF至多与A1D,AC中的一个垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面17.(多选题)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列结论正确的有()A.AB与B.与AB共线的单位向量是(1,1,0)C.AB与BC夹角的余弦值是D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)18.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,CC1=3,E,F分别是BC,CD的中点,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则平面D1EF的一个法向量是.

19.在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n与平面ABC垂直,且|n|=21,则n的坐标为.

20.如图所示,四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点.求证:(1)MN∥平面PAD;(2)平面QMN∥平面PAD.21.如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=2.证明:A1C⊥平面BB1D1D.C级学科素养创新练22.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,过动点P(1,2),法向量为n=(-2,3)的直线的点法式方程为-2(x-1)+3(y-2)=0,化简得2x-3y+4=0,类比上述方法,在空间直角坐标系中,经过点P(1,2,-1),且法向量为n=(-2,3,1)的平面的点法式方程应为()A.2x-3y+z+5=0 B.2x-3y-z+3=0C.2x+3y+z-7=0 D.2x+3y-z-9=023.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱BB1和DD1的中点.(1)求证:平面B1FC1∥平面ADE;(2)试在棱DC上求一点M,使D1M⊥平面ADE.

1.2.2空间中的平面与空间向量1.B向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.2.C∵α∥β,∴12=-2μ=λ4,解得λ=2,μ=-3.B当“l⊥n”时,由于l可能在平面α内,所以无法推出“l∥α”;当“l∥α”时,“l⊥n”.综上所述,“l⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件.故选B.4.CAB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1),PA=(-x,1,-z).由题可知PA⊥AB,PA⊥∴x-1+z=0,-2x-z=05.ACD若m⊥α,n⊥β,m的方向向量是α的法向量,n的方向向量是β的法向量,α⊥β,则α,β的方向向量垂直,所以m的方向向量与n的方向向量垂直,则m⊥n,A正确;若m∥α,n∥β,α⊥β,m,n可平行,可相交,可异面,不肯定垂直,B不正确;若m∥α,α∥β,则m∥β或m⊂β,m与β不相交,C正确;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,n与α不相交,D正确.故选ACD.6.-9由题知,u⊥v,∴u·v=3+6+z=0,∴z=-9.7.AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE8.2∶3∶(-4)由已知得,AB=1,-3,-74,AC=-2,-1,-74,∵a是平面α的一个法向量,∴a·AB=0,a·AC=0,即x-3∴x∶y∶z=23y∶y∶-43y=2∶3∶(-4).9.①②③DD1∥AA1,AA1=(0,0,1),故①正确;BC1∥AD1,AD1=(0,1,1),故②正确;直线AD⊥平面ABB1A1,AD=(0,1,0),故③正确;点C1的坐标为(1,1,1),AC1与平面B1CD10.解设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),E(1,0,2).(1)设平面BDD1B1的一个法向量为n=(x1,y1,z1).∵DB=(2,2,0),DD1∴DB令x1=1,则y1=-1,z1=0,∴平面BDD1B1的一个法向量为n=(1,-1,0).(2)DB=(2,2,0),DE=(1,0,2).设平面BDEF的一个法向量为m=(x2,y2,z2),则DB令x2=2,则y2=-2,z2=-1,∴平面BDEF的一个法向量为m=(2,-2,-1).11.证明(方法一)∵MN=C1N∴MN∥又MN⊄平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.(方法二)如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则可求得M0,1,12,N12,1,1,D(0,0,0),A1设平面A1BD的法向量是n=(x,y,z),则n·DA1=0,且n·DB=0,取x=1,得y=-1,z=-1.∴n=(1,-1,-1).又MN·n=12,0,12·(1,∴MN⊥n,且MN⊄平面A1BD.∴MN∥平面A1BD.(方法三)∵MN=C1N−C1M=1∴MN∥又MN⊄平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.12.证明(1)∵AB,AD,AP两两垂直,∴建立如图所示的空间直角坐标系.设PA=AB=BC=1,则P(0,0,1).∵∠ABC=60°,∴△ABC为正三角形.∴C12,32,0,E14,34,12,A(0,0,0).设D(0,y,0),AC=12,32,0,CD=-12,y-32,0.由AC∴CD=-12∴AE·CD=-1∴AE⊥CD,即AE⊥(2)(方法一)∵AB=(1,0,0),AE=∴设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),则x令y=2,则z=-3,∴n=(0,2,-3).∵PD=0,23∴PD∥n,∴PD⊥平面ABE,即PD⊥平面ABE.(方法二)∵P(0,0,1),∴PD=又AE·PD=34×∴PD⊥AE,即PD⊥又∵AB=(1,0,0),∴PD·AB∴PD⊥AB.又AB∩AE=A,AB⊂平面ABE,AE⊂平面ABE,∴PD⊥平面ABE.13.Ac=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c为平面α的法向量,得c·a14.DA,B,C中均能推出l∥α,或l⊂α,但不能确定肯定能表示为l∥α.15.B设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则2x+2y+z=0,4所以n=(1,-2,2).因为|n|=3,所以平面ABC的一个单位法向量为-13,216.ACD以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E13,0,13,F23,13,0,B(1,1,0),D1(0,0,1),∴A1D=(-1,0,-1),AC=(-1,1,0),EF=13,13,-13,∴EF=-13BD1,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.17.CD对于A,AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),不存在实数λ,使得AB=λAC,所以AB与AC不是共线向量,所以A对于B,因为AB=(2,1,0),所以与AB共线的单位向量是255,55,0或-255,-55,0,对于C,向量AB=(2,1,0),BC=(-3,1,1),所以cos<AB,BC>=AB·BC|AB||对于D,设平面ABC的法向量是n=(x,y,z).因为AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),所以n令x=1,则n=(1,-2,5),所以D正确.故选CD.18.(-6,3,2)(答案不唯一)∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,CC1=3,E,F分别是BC,CD的中点,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,3),E(1,4,0),F(0,2,0),D1E=(1,4,-3),D1F=(0,2,-3),设平面D1EF的一个法向量是n=(x,则n·D1E=x+4y-3z=0,n·D1F19.(-2,4,1)或(2,-4,-1)据题意,得AB=(-1,-1,2),AC=(1,0,2).设n=(x,y,z),∵n与平面ABC垂直,∴n·AB∵|n|=21,∴x2解得y=4或y=-4.当y=4时,x=-2,z=1;当y=-4时,x=2,z=-1.∴n的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1).20.证明(1)如图,以A为原点,以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),则C(b,d,0),因为M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点,所以Mb2,d2,d2,Nb2,0,0,Qb2,所以MN=0,-d2,-d2.因为平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0),且MN·m=0,即MN⊥m.又MN不在平面PAD内,故MN∥平面PAD.(2)因为QN=(0,-d,0),所以QN·m=0,即QN⊥m,又QN不在平面PAD内,所以QN∥平面PAD.又因为MN∩QN=N,MN⊂平面MNQ,QN⊂平面MNQ,所以平面MNQ∥平面PAD.21.证明由题设易知OA,OB,OA1两两垂直,以O为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,∵AB=AA1=2,∴OA=OB=OA1=1,∴A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1).∴A1C=(-1,0,-1),BD=(0,BB1=A∴A1C·BD=∴A1C⊥BD,A1C⊥BB1,又BD∩BB1=B,BD⊂平面BB1D1D,BB1⊂平面BB1D1D,∴A1C⊥平面BB1D1D.22.B通过类比,易得点法式方程为-2(x-1)+3(y-2)+(z+1)=0,整理可得2x-3y-z+3=0,故选B.23.(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),D(0,0,