高中数学第1章常用逻辑用语1-1-23四种命题四种命题间的相互关系素养课件新人教A版选修2-1

1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系目标定位重点难点1.了解命题的逆命题、否命题、逆否命题，能写出原命题的其他三种命题2.能利用四种命题间的相互关系判断命题的真假重点：正确分析四种命题的相互关系难点：正确写出原命题的否命题1．四种命题的概念一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫作___________；互逆命题

如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫作__________；如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫作______________．把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的___________、__________、__________.互否命题互为逆否命题逆命题否命题逆否命题2．四种命题结构3．四种命题之间的关系若q，则p

若¬p，则¬q

若¬q，则¬p

4．四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有________真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性____________．相同的没有关系1．命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题是(

)A．若a，b都是偶数，则a＋b不是偶数B．若a，b都不是偶数，则a＋b不是偶数C．若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数D．若a，b不都是偶数，则a＋b是偶数【答案】C【解析】否命题是把原命题的条件和结论都否定，注意“都是”的否定为“不都是”．2．与命题“若m∈M，则n∉M”等价的命题是(

)A．若m∈M，则n∉MB．若n∉M，则m∈MC．若m∉M，则n∈MD．若n∈M，则m∉M【答案】D【解析】写出等价命题就是写出原命题的逆否命题．3．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中(

)A．真命题的个数一定是奇数B．真命题的个数一定是偶数C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D．上述判断都不正确【答案】B【解析】因“原命题”与“逆否命题”同真假，“逆命题”与“否命题”同真假，故真命题是成对出现的.3．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中(

)A．真命题的个数一定是奇数B．真命题的个数一定是偶数C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D．上述判断都不正确【答案】B【解析】因“原命题”与“逆否命题”同真假，“逆命题”与“否命题”同真假，故真命题是成对出现的.4．若a≠0，则ab≠0的逆命题是__________________．【答案】若ab≠0，则a≠0四种命题间的转换及真假性的判断【解题探究】确定命题的条件与结论，利用相关知识判断．【解析】(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线同垂直于平面α.假命题．否命题：如果两条直线不同垂直于平面α，那么这两条直线不平行．假命题．逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不同垂直于平面α.真命题．1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．2．四种命题真假的判断关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．1．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a≤1，则方程x2－2x＋a＝0有实根；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧；(3)等底等高的两个三角形是全等三角形；(4)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0.【解析】(1)逆命题：若方程x2－2x＋a＝0有实根，则a≤1.真命题．否命题：若a>1，则方程x2－2x＋a＝0无实根．真命题．逆否命题：若方程x2－2x＋a＝0无实根，则a>1.真命题．(2)逆命题：若一条直线经过圆心且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．(3)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．(4)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0.真命题．否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0.真命题．逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0.假命题．【例2】已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，求证：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.【解题探究】证明原命题等价于证明逆否命题．【证明】(方法一)原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．a＋b<0，即a<－b，b<－a.等价命题的应用∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．(方法二)假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.原命题与它的逆否命题的真假性相同，所以在直接证明一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题来达到证明原命题的目的．此证法与反证法不同，反证法是通过否定结论的反面而达到目的，而逆否命题证法是证明原命题的等价命题成立．2．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．关键词的否定易出错【示例】x，y∈R，写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．【错解】逆命题为：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题．否命题为：若x2＋y2≠0，则x，y全不为零，是假命题．逆否命题为：若x，y全不为零，则x2＋y2≠0，是真命题．【错因分析】错因是对“x，y全为零”的否定，应为“x，y不全为零”，而不是“x，y全不为零”．【正解】逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，是真命题．逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，是真命题．【警示】在对命题的条件和结论进行否定时，不能一概在关键词前加“不”，应结合命题研究的对象进行分析．一些常见的词语与它的否定词对照表如下：原词语等于大于小于是都是至多n个至少n个能否定词语不等于不大于不小于不是不都是至少n＋1个至多n－1个不能1．写出一个命题的其他三种形式，关键是正确地将原命题改写成“若p，则q”的形式及正确地对原命题的条件和结论进行否定．对存在大前提的命题注意在写其他三种命题时不要改变，另外在一个命题及其他三种形式中原命题是人为指定的，要注意它们之间的关系．2．在判断命题的真假时，要注意互为逆否的两个命题的等价性．1．命题“若a

＞b，则a＋c

＞b＋c”的否命题是(

)A．若a≤b，则a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c

＞b＋c，则a

＞bD．若a

＞b，则a＋c≤b＋c【答案】A

【解析】命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是“若a

≤

b，则a

＋c

≤

b

＋c”．故选A．2．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是(

)A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，能被3整除【答案】B

【解析】即写命题“若一个整数能被6整除，则这个整数一定能被3整除”的逆否命题．3．(2019年广西玉林期末)若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是(

)A．互逆命题 B．互否命题C．互为逆否命题 D．以上都不正确【答案】A

【解析】设p为“若A，则B”，那么q为“若¬A，则¬B”，r为“若¬B，则¬A”．故q与r为互逆命题．4．给出命题“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________．【答案】3

【解析】原命题及逆命题都为真命题，故否命题、逆否命题也为真命题．Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏3．(2019年广西玉林期末)若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是(

)A．互逆命题 B．互否命题C．互为逆否命题 D．以上都不正确【答案】A

【解析】设p为“若A，则B”，那么q为“若¬A，则¬B”，r为“若¬B，则¬A”．故q与r为互逆命题．1．命题“若a

＞b，则