《高数ch1习题》课件

《高数ch1习题》PPT课件介绍本课件主要针对高等数学第一章的练习问题,包括函数、极限、连续等基础概念的考查。通过详细的讲解和大量实例,帮助学生深入理解相关知识点,提高数学分析能力。ppbypptppt第一章绪论本章将介绍高等数学的基础概念,包括集合、函数、极限和连续性等。这些基础知识是理解后续章节的重要基础。我们将通过丰富的例题讲解,帮助同学们掌握这些基本概念。1.1集合集合的定义集合是具有某些共同性质的事物的整体。集合可以由具体的事物组成，也可以由抽象的概念组成。集合的表示方法集合可以用列举法或描述法来表示。列举法是列出集合中的所有元素,描述法是用语言描述集合的特性。集合的运算集合的基本运算包括并集、交集、补集、差集等。这些运算可以用文字或者数学符号来表示。集合的定义1集合的概念集合是由具有共同特征的对象或元素所构成的整体。它是数学研究的基础。2集合的表示方法集合通常用大写字母A、B、C等表示,元素用小写字母a、b、c等表示。3集合的构成集合可由枚举法或描述法给出。枚举法列举集合的所有元素,描述法用语言描述集合的特征。1.1.2集合的表示方法1枚举法列举集合中的所有元素2描述法用语言描述集合的特征3集合运算利用集合的并、交、补等运算来表示集合的表示方法主要有三种:枚举法、描述法和集合运算。枚举法是直接列举出集合的所有元素;描述法是用语言来描述集合的特征;而集合运算则利用并、交、补等运算来表示集合。这三种方法各有优缺点,需要根据具体情况选择适合的表示方法。集合的运算1交集两个集合共有的元素2并集两个集合中的所有元素3补集属于一个集合而不属于另一个集合的元素集合运算是研究集合间关系的重要工具。基本的集合运算包括交集、并集和补集。通过这些运算可以对集合进行组合、划分和取舍,探究各种集合之间的逻辑关系。掌握集合运算的概念和运算方法对于解决集合相关的问题非常重要。1.2函数函数的定义函数是一种特殊的对应关系,满足输入唯一对应输出的性质。函数可以表示各种自然和社会现象中的变化关系。函数的表示方法函数可以用语言描述、数学公式、图像等多种方式来表示。不同表达方式反映了函数的不同特性。函数的性质函数具有单值性、单射性、满射性等重要性质,理解这些性质有助于分析函数的行为。1.2.1函数的定义1什么是函数？函数是将输入映射到输出的一种数学关系。它描述了自变量和因变量之间的对应关系。2函数的表示方式函数可以用代数式、表格、图像等方式来表示。最常见的是用f(x)的形式来表示函数。3函数的基本要素函数由定义域、函数值域和对应关系这三个基本要素组成。定义域描述函数的输入范围，值域描述函数的输出范围。函数的性质1函数表达用式子、图像等表示函数2函数性质包括单调性、奇偶性等3函数极值找出函数的最大最小值函数的性质是研究函数时非常重要的一个方面。我们不仅要知道如何表达一个函数,还要深入地分析它的单调性、奇偶性等性质,并找出函数的极值点。只有全面掌握函数的性质,才能更好地理解和应用函数。1.2.3初等函数1代数函数包括多项式、有理函数等2指数和对数函数描述指数和对数的变化规律3三角函数表示角度和弧度的关系初等函数是最基础的一类函数,包括代数函数、指数和对数函数以及三角函数等。这些函数形式简单,表达能力强,在数学和工程应用中广泛使用。理解初等函数的性质和相互关系非常重要,为后续的微积分等高级概念奠定基础。1.3极限1数列极限极限概念的引入2函数极限函数取值的极限3极限性质应用极限理论推导结果极限是微积分的基础概念之一,它反映了函数或数列在取值趋近某一确定值的过程。我们将系统地介绍极限的定义、性质,并讨论在函数和数列中的应用,为后续的微分和积分理论奠定基础。1.3.1数列极限的定义1极限值定义数列{a_n}收敛于数a，当n趋于无穷大时，a_n无限接近a。这个数a称为数列{a_n}的极限值。2极限定义条件对任意给定的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n≥N时，|a_n-a|<ε成立。3极限性质数列{a_n}收敛于a，当且仅当对任意的正数ε，都存在正整数N，使得当n≥N时，|a_n-a|<ε成立。函数极限的定义极限的概念函数极限表示函数在特定点附近的趋势和行为。它描述了函数值如何无限接近某个确定的数值。极限的定义如果当自变量x无限接近a时，函数f(x)的值也无限接近L，则称L为函数f(x)在点x=a处的极限。极限的表示我们可以用数学符号表示函数极限：lim(x→a)f(x)=L。这意味着当x趋近于a时，f(x)趋近于L。极限的性质1收敛性当自变量无限接近某值时,函数值也无限接近某个确定的极限值。2有界性若函数f(x)在某个区间内有界,则该区间内的极限都存在。3代数运算对于连续函数,极限运算可以与代数运算互换。极限具有诸多重要性质,如收敛性、有界性和代数运算等。这些性质为极限计算和使用提供了理论基础,使得极限理论能够得到广泛应用。理解和掌握这些性质对于后续微积分知识的学习至关重要。1.3.4极限的计算1极限计算方法掌握极限的基本运算律,包括四则运算、三角函数、对数函数等,可以利用这些规则去计算各种类型的极限。2极限的夹逼定理利用夹逼定理,可以计算一些复杂的极限,只需找到上下界逼近该极限即可。3无穷小的比较通过比较不同无穷小量的大小关系,可以简化极限计算过程,得出精确的极限值。1.4连续1连续的定义函数在点处连续2连续函数的性质处处连续、间断点的分类3连续性应用中值定理等连续是微积分的基础概念之一。一个函数在点处连续，意味着函数在该点的值随自变量的微小变化而连续变化。连续函数具有许多重要的性质,如函数的值域、最大值和最小值、零点等。此外,连续性还与许多基本定理如中值定理等密切相关,在数学分析中广泛应用。函数连续的定义1定义函数在某点连续的充分必要条件是:2极限存在函数在该点的极限值存在3极限与函数值相等函数在该点的极限值等于函数在该点的函数值总之,连续性要求函数在某点满足极限存在且等于函数值这两个条件。如果任一条件不满足,就称该函数在该点不连续。连续是一个相对概念,它要求函数在某一点连续,而不是整个函数都连续。连续函数的性质性质1:连续性传递性若函数f(x)在a点连续,且f(a)=b,则f(x)在b点也是连续的。这种连续性从一点传递到另一点的特性非常重要。性质2:代数运算下的连续性若函数f(x)和g(x)都在某区间内连续,那么它们的加、减、乘、除运算后的新函数也在该区间内连续。性质3:复合函数的连续性如果函数f(x)在区间I内连续,而函数g(x)在f(I)内连续,那么复合函数f(g(x))在区间I内也是连续的。1.4.3间断点的分类1点跳跃间断点函数在某点处发生突然跳跃,此点称为点跳跃间断点。例如，阶跃函数在跳跃点处存在不连续。2无穷间断点函数在某点处无法赋值或极限不存在,此点称为无穷间断点。例如，倒数函数在原点处存在无穷间断点。3可去间断点函数在某点处虽然不连续,但通过适当地定义或赋值,可使其成为连续函数。此点称为可去间断点。1.5习题讲解1集合与函数掌握基本概念2极限计算熟练训练3连续性分析理解关键性质这一节将针对高数第一章的习题进行讲解。我们将从集合与函数的基本定义入手,逐步深入到函数极限的计算以及连续性的判断,帮助同学们巩固基础知识,并培养解题能力。通过大量实例演练,希望同学们能更好地掌握本章重点内容。集合与函数习题1基础知识集合的定义与表示2集合运算交集、并集、补集等3函数概念定义、性质及分类本节习题主要包括集合的定义与基本运算，以及函数的概念、性质和分类等基础知识的考核。通过这些练习，学生可以加深对初等数学概念的理解，为后续课程奠定良好的基础。极限习题理解极限概念掌握极限的定义和基本性质,能够对具体函数和数列的极限进行分析和判断。选择合适方法根据不同的函数形式和特点,选择直接代入法、夹逼定理、利用已知极限推导等方法计算极限。熟练运用公式灵活运用极限计算公式,如基本四则运算、指数函数、反三角函数等极限公式。1.5.3连续性习题区间内连续性判断函数在给定区间内是否连续,并说明可能出现的间断点类型。分析函数连续性对函数性质的影响。一致连续性探讨函数在闭区间上的一致连续性,考虑函数极限性质与一致连续性的关系。掌握相关判定定理。连续函数的运算研究连续函数的基本运算性质,如和、差、积、商等。了解连续函数的复合性质和反函数的连续性。课后思考题1开放发散思维课后思考题旨在激发学生的创新思维,鼓励他