北师大版 七年级数学 整式的乘法

务整式的桑茫>

骸课前删忒

【题目】课前测试

已知代数式(mx2+2mx-1)(xm+3nx+2)化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，

请分别求出m,n的值，并求出一次项系数

【答案】8.75

【解析】

解:(mx2+2mx-1)(xm+3nx+2)=mxm+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mx-

xm-3nx-2,

因为该多项式是四次多项式，

所以m+2=4,

解得：m=2,

原式=2x4+(6n+4)x3+(3+12n)x2+(8-3n)x-2

•.多项式不含二次项

.,.3+12n=0,

解得：n=3,

所以一次项系数8-3n=8.75.

总结：本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是明确化简后是一个四次多项式，所

以x的最高指数m+2=4;不含二次项，即二次项的系数为0,即可解答.

【难度】3

【题目】课前测试

在(x2+ax+b)(2x2-3x-1)的积中，x3项的系数为-5,x2项的系数为-6,求a,b的

值。

【答案】a=-1,b=-4

【解析】

解：(x2+ax+b)(2x2-3x-1)

=2x4-3x3-x2+2ax3-3ax2-ax+2bx2-3bx-b

=2x4+(2a-3)x3+(2b-3a-1)x2-(a+3b)x-b,

根据题意得：2a-3=-5,2b-3a-1=-6,

解得:a=-1,b=-4.

总结：此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【难度】3

适用范围北师大版，七年级

知识点+既述：本节是整式的乘除中的重要章节，是后来学习的平方差公式和完全平方公式

的基础，通过本节内容的学习可以将一些复杂的整式进行化简，然后再求值，所以本节

的学习有着举足轻重的作用。

适用对象：成绩中等偏上的学生

注意事项：在学习本节内容前，应适当复习幕、指数、底数等概念。

重点选讲：

!①先化简，再求值

②令系数为0

*

③实际应用

•-MB・MBB•MM••«M»•«■»・•MM••W•■«■

如出精•锂

◎如诅精,ill:单前式重单应式

13节三单项式与单项式相乘：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幕分别相乘，其余字母连同它的指数不

变，作为积的因式。

念血।诅模捏2：单工币式桑多工页式

3节三单项式与多项式相乘：

单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

摩血＞出精，捏3：多工币式黍多工页式

多项式与多项式相乘：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的

积相加。

骸的度隔第

题型1:先化简，再求值

已知实数m,n,p,q满足m+n=p+q=4,mp+nq=4,则(m2+n2)pq+mn(p2+q2)

=()

A.60B.36C.96D.无法计算

【答案】A

【解析】

本题如图,/m+n=p+q=4,

(m+n)(p+q)=4x4=16,

.*(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq,

/.mp+mq+np+nq=16,

•/mp+nq=4,

.,.mq+np=10,

(m2+n2)pq+mn(p2+q2),

=m2pq+n2pq+mnp2+mnq2,

=mp・mq+np・nq+mp・np+nq・mq,

=mp・mq+mp・np+np・nq+nq,mq,

=mp(mq+np)+np(nq+mq),

=(mp+nq)(np+mq),

=6x10

=60.

故选：A.

总结：本题需要综合运用单项式乘以多项式、多项式乘以多项式法则，将式子通过变形后整

体代入求解，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分

解法对式子进行因式分解.

【难度】3

【题目】题型1变式练习1：先化简，再求值

若ab?=-1,求-ab(a2b5-ab3-2b)的值

【答案】0

【解析】

原式二-a3b6+a2b4+2ab2

=-(ab2=+(ab2)2+2(ab2)

,/ab2=-1

..原式=1+1-2=0.

总结：本题考查的是单项式与多项式相乘，单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项

式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

【难度】2

【题目】题型1变式练习2:先化简，再求值

先化简，再求值：(x-2y)2-x(x+3y)-4y2,其中x=-4,y=1.

【答案】14

【解析】

解:原式=x2-4xy+4y2-x2-3xy)-4y2

=-7xy,

当x=-4,y=之时，原式=-7x(-4)x*=14.

总结：本题考查的是单项式乘多项式，掌握完全平方公式、单项式乘多项式的法则是解题的

关键.

【难度】2

题型2:令系数为0

已知将(x3+mx+n)(x2-3x+4)展开的结果不含x3和x2项.(m,n为常数)

(1)求m、n的值；

(2)在(1)的条件下，求(m+n)(m2-mn+n2)的值

【答案】(1)m=-4,n=-12(2)-1792

【解析】

解：(1)(x3+mx+n)(x2-3x+4),

=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n,

=x5-3x4+(4+m)x3+(n-3m)x2+(4m-3n)x+4n,

由题后•得：〈c八，

\n-3m=0

解得:I"：,

1k12

(2)(m+n)(m2-mn+n2),

=m3+n3,

当m=-4,n=-12时，原式=(-4)3+(-12)3=-64-1728=-1792.

总结：此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【难度】3

【题目】题型2变式练习1:令系数为0

若(x2+px-2)(x2-3x+q)的积中不含X项与x3项，

(1)求p、q的值；

(2)求代数式(-2P2q)2+(3pq)T+p2012q20i4的值.

17

【答案】(l)p=3,q=*(2)355

【解析】

解：(1)(x2+px-^-)(x2-3x+q)=x4+(p-3)x3+(q-3p-)x2+(qp+1)x+q,

•.积中不含X项与x3项，

.,.P-3=0,qp+l=O

(2)(-2p2q产+(3pq)-i+p20i2q20i4

11Tl2012i

2

=[-2X3X(--)]2+(-3X3X+[3X(-y)]x(--)2

总结：本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是正确求出p,q的值.

【难度】3

【题目】题型2变式练习2:令系数为0

如图,若(x2+nx+3)(x2-3x+m)的乘积中不含x2项和x?项，求m,n的值

【答案】m=6,n=3

【解析】

解：(x2+nx+3)(x2-3x+m)

=x4+nx3+3x2-3x3-3nx2-9x+mx2+mnx+3m

=x4+(n-3)x3+(3-3n+m)x2+(mn-9)x+3m,

•.乘积中不含x2和x3项，

；.n-3=0,3-3n+m=0,

解得:m=6,n=3.

总结：本题主要考查多项式的乘法，运用不含某一项就是该项的系数等于0是解本题的关

键，熟练掌握运算法则也很重要.

【难度】2

题型3:实际应用

如图，(1)已知(-2x2)(3x2-ax-6)-3x?+x2中不含x的三次项，求a的值.

(2)按村镇建设规划的要求，需将小张家一块正方形土地的一边增加5米，另一边减少5

米，这块土地的面积改变了吗？请说明理由.

【答案】(1)a=®；(2)这块土地的面积改变了

【解析】

解：(1)(-2x2)(3x2-ax-6)-3x3+x2

=-6x4+2ax3+12x2-3x3+x2

=-6x4+(2a-3)x3+13x2,

•.・不含x的三次项，

/.2a-3=0,

解得a=^;

(2)设原来正方形土地的边长是x米，则原来正方形土地的面积是x2平方米，

现在这块地的一边增加5米，另一边减少5米后的面积是(x+5)(x-5)平方米，

.-.X2-(x+5)(x-5)=x2-(x2-25)=25,

这块土地的面积改变了.

总结：Q)考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

(2)考查了平方差公式在生活实际中的运用，解题的关键就是读懂题意列出算式，然后熟

练的运用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b?进行计算.

【难度】3

【题目】题型3变式练习1:实际应用

如图，有足够多的长方形和正方形卡片,

(1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张，3张、4张，可拼成一个长方形(不重叠

无缝隙)，请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形所表

示的一个等式；

(2)小明想用类似方法解释多项式乘法(a+3b)(2a+b)=2a2+7ab+3b2,那么需用1

号卡片张，2号卡片张,3号卡片张.

【答案】⑴见下图(2)2,3,7

【解析】

解：(1)(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2；画图如下：

(2)(a+3b)(2a+b)=2a2+7ab+3b2,需用1号卡片2张，2号卡片3张，3号卡片

7张.

故答案为­.2,3,7.

总结：此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【难度】4

【题目】题型3变式练习2:实际应用

如图①，在边长为3a+2b的大正方形纸片中，剪掉边长2a+b的小正方形，得到图②，把

图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片.

图②图③

(1)求出拼成的长方形纸片的长和宽；

(2)把这个拼成的长方形纸片的面积加上10a+6b后，就和另一个长方形的面积相等.已

知另一长方形的长为5a+3b,求它的宽.

【答案】(1)a+b(2)a+b+2

【解析】

解：(1)长方形的长为:3a+2b+2a+b=5a+3b.

长方形的宽为：(3a+2b)-(2a+b)=3a+2b-2a-b=a+b.

(2)另一个长方形的宽:[(5a+3b)(a+b)+10a+6b]+(5a+3b)=a+b+2.

总结：此题考查了整式的混合运算，弄清题意是解本题的关键.

【难度】3

【题目】兴趣篇1

我们规定一种运算：|；3=ad-be,例如35x-3

=3x6-4x5=-2,=4x+6.按照这

4624

x+1x+3

种运算规定，当x等于多少时,=0.

x-2x-l

【答案】5

【解析】

解T%〃bc,质售。，

/.(x+1)(x-1)■(x-2)(x+3)=0,

22

x-1-(x+x-6)=0z

x2-1-x2-x+6=0,

-x=-5f

x=5.

v4-1乂+3

故当x等于5时，x1x=0.

x-2x-1

总结：考查了多项式乘多项式，解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系

数化为1,这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是

为使方程逐渐向x=a形式转化.

【难度】3

【题目】兴趣篇2

甲乙两人共同计算一道整式乘法：(2x+a)(3x+b),由于甲抄错了第一个多项式中a的

符号，得到的结果为6x2+llx-10;由于乙漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结

果为2x2-9x+10.请你计算出a、b的值各是多少,并写出这道整式乘法的正确结果.

【答案】(2x-5)(3x-2)=6x2-19x+10

【解析】

解：,二甲得到的算式：(2x-a)(3x+b)=6x2+(2b-3a)x-ab=6x2+llx-10

对应的系数相等,2b-3a=ll,ab=10,

乙得到的算式：(2x+a)(x+b)=2x2+(2b+a)x+ab=2x2-9x+10

对应的系数相等，2b+a=-9,ab=10,

.[2b-3a=11

-12b+a=-9'

解得:产七.

lb=-2

・•.正确的式子：(2x-5)(3x-2)=6x2-19X+10.

总结：此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行

计算，是常考题型，解题时要细心.

【难度】3

【题目】备选题目1

已知(x+a)(x2-x+c)的积中不含x2项和x项，求(x+a)(x2-x+c)的值是多少？

【答案】X3+1

【解析】

解：•..(x+a)(X2-x+c),

=x3-x2+cx+ax2-ax+ac,

=x3+(a-1)x2+(c-a)x+ac,

又•.•积中不含x2项和x项，

/.a-1=0,c-a=0,

解得a=l,c=l.

又,；a=c=l.

/.(x+a)(x2-x+c)=x3+l.

总结：本题考查了多项式乘以多项式，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的

系数为0.要灵活掌握立方和公式.

【难度】3

【题目】备选题目2

若a,b,k均为整数且满足等式(x+a)(x+b)