10.1.110.1.2有限样本空间与随机事件时间的关系和运算（讲义）

10.1随机事件与概率10.1.1有限样本空间与随机时间10.1.2事件的关系和运算TOC\o"13"\h\u 2 2知识点1：随机试验 2知识点2：样本空间 2知识点3：事件的概念及分类 2知识点4：事件的关系和运算 301：列举随机数列的样本空间 302：事件的判断 603：事件关系的判断 804：事件的判断 10 12

课堂目标关键词结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算(重点)．①随机实验、样本点、样本空间②随机事件、必然事件、不可能事件③并事件、交事件、互斥事件、对立事件知识点1：随机试验1．定义对__随机现象__的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．2．特点试验可以在__相同条件下__重复进行；试验的所有可能结果是__明确可知__的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先__不能确定__出现哪一个结果．知识点2：样本空间随机试验E的每个可能的基本结果称为__样本点__，全体样本点的__集合__称为试验E的__样本空间__.一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．在本书中，我们只讨论Ω为有限集的情况．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为__有限样本空间__.知识点3：事件的概念及分类1．随机事件一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为__随机事件__，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为__基本事件__.随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为__事件A发生__.2．必然事件与不可能事件在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为__必然事件__.而空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为__不可能事件__.知识点4：事件的关系和运算定义符号和图形表示包含关系一般地，对于事件A与事件B，若事件A发生，则事件B__一定发生__，就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)__B⊇A__(或__A⊆B)相等关系如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，则称事件A与事件B相等若B⊇A且A⊇B，则A＝B并事件一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)__A∪B__(或__A＋B__)交事件一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)__A∩B__(或__AB__)互斥事件一般地，如果事件A与事件B__不能同时发生__，也就是说A∩B是一个__不可能事件__，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)若__A∩B＝∅__，则A与B互斥(或互不相容)对立事件一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为若A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，则A与B互为对立01：列举随机数列的样本空间样本点的求解方法(1)列举法：把所有的样本点一一列举出来，适用于样本点不是很多的题目，列举时要按照一定的顺序，做到不重不漏．(2)列表法：将样本点用表格的形式表示出来，通过表格可以清楚地弄清样本点的总数，列表法适用于较简单的试验的题目．(3)树状图法：用树状的图形把样本点列举出来，便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的手段．【典例1】根据点数取1～6的扑克牌共24张，写出下列试验的样本空间．(1)任意抽取1张，记录它的花色；(2)任意抽取1张，记录它的点数；(3)在同一种花色的牌中依次抽取2张，记录每张的点数；(4)在同一种花色的牌中一次抽取2张，计算两张点数之和．【答案】(1){红心，方块，黑桃，梅花}(2)(3)答案见解析(4)【分析】（1）一副扑克牌有四种花色，进而写出样本空间即可；（2）由扑克牌的点数1～6写出样本空间即可；（3）用列表表示所有结果，进而可得样本空间；（4）一次抽取2张，计算两张点数之和，进而可得样本空间.【详解】（1）一副扑克牌有四种花色，所以样本空间为{红心，方块，黑桃，梅花}．（2）扑克牌的点数是从1～6，所以样本空间为.（3）依次抽取2张，点数不会相同，则所有结果如下表所示．1234561(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)故样本空间为.（4）一次抽取2张，则，，，，所以样本空间为．【变式11】甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．(1)写出这个游戏对应的样本空间；(2)写出这个游戏的样本点总数；(3)写出事件A：“甲赢”的集合表示；(4)说出事件{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}所表示的含义．【答案】(1){(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}(2)9(3)事件{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}(4)事件B表示“平局”【分析】（1）根据题意结合样本空间的概念分析求解；（2）根据（1）即可得结果；（3）根据题意结合集合A的定义分析求解；（4）根据题意结合集合B的定义分析求解.【详解】（1）由题意可知：样本空间为{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}.（2）由（1）可知：这个游戏的样本点总数为9.（3）由题意可知：事件{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}.（4）由题意可知：事件B表示“平局”.【变式12】甲、乙、丙三人坐在一排的三个位置上，讨论甲、乙两人的位置情况．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点总数；(3)写出事件“甲、乙相邻”和事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”所包含的样本点．【答案】(1)(2)6(3)事件“甲、乙相邻”包含4个样本点：，，，．事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”包含3个样本点：，，【分析】先标记，结合题意列出所有可能的样本点，进而即可得到符合题意的样本点.【详解】（1）从左到右记这三个位置分别为1，2，3，则这个试验的样本空间为，其中第1个数表示甲坐的位置号，第2个数表示乙坐的位置号．（2）由（1）知这个试验的样本点总数是6．（3）由（1）知，事件“甲、乙相邻”包含4个样本点：，，，．事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”包含3个样本点：，，．02：事件的判断规律总结(1)要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件，要从定义出发．(2)必然事件和不可能事件不具有随机性，但为了统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的特殊情形，具有随机性的和不具有随机性的事件理论上都可以认为是随机事件．【典例2】指出下列事件中，哪些是随机事件、必然事件或不可能事件：(1)从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点；(2)把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5；(3)实数a，b不都为0，但a2＋b2＝0；(4)汽车排放尾气会污染环境；(5)明天早晨有雾；(6)某地明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温．【答案】(1)随机事件(2)必然事件(3)不可能事件(4)必然事件(5)随机事件(6)随机事件【分析】利用随机事件、必然事件、不可能事件概念的内涵进行判断.【详解】（1）3条射线可以交于不同的点，具有随机性.故事件“从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点.”为随机事件.（2）故事件“把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5”为必然事件.（3）当时，且，则事件“实数a，b不都为0，但a2＋b2＝0”为不可能事件.（4）汽车排放尾气必然会污染环境，则事件“汽车排放尾气会污染环境”为必然事件.（5）明天早晨有雾与否具有不确定性.（6）某地明年7月28日的最高气温是否高于今年8月10日的最高气温具有不确定性．故事件“某地明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温．”为随机事件.【变式21】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2)三角形的两边之和大于第三边；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(4)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；(5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．【答案】(1)随机事件(2)必然事件(3)不可能事件(4)随机事件(5)不可能事件【分析】（1）根据随机事件的定义可得（2）根据必然事件定义可得（3）根据不可能事件定义可得（4）根据随机事件的定义可得（5）根据不可能事件定义可得【详解】（1）购买一注福利彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件.（2）所有三角形的两边之和大于第三边，所以是必然事件.（3）空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存下去，所以是不可能事件.（4）任意抽取，可能得到1，2，3，4的四张标签中任一张，所以是随机事件.（5）由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件.【变式22】判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．①“抛一石块，下落”；②“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；③“某人射击一次，中靶”；④“如果，那么”；⑤“掷一枚硬币，出现正面”；⑥“导体通电后，发热”；⑦“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；⑧“某机在1分钟内收到2次呼叫”；⑨“没有水分，种子能发芽”；⑩“在常温下，焊锡熔化”．【答案】事件①④⑥是必然事件；事件②⑨⑩是不可能事件；事件③⑤⑦⑧是随机事件．【分析】利用必然事件、不可能事件、随机事件的意义逐一判断各个命题作答.【详解】依题意，事件①④⑥是必然事件；事件②⑨⑩是不可能事件；事件③⑤⑦⑧是随机事件.03：事件关系的判断事件关系的判断方法(1)两个事件是互斥事件还是对立事件，要根据互斥事件与对立事件的定义来判断，互斥事件是在任何一次试验中不能同时发生的两个事件，对立事件除要求两个事件互斥外，还要求在一次试验中必有一个事件发生．(2)对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件．【典例3】下列关于概率的命题，错误的是（

）A．对于任意事件A，都有B．必然事件的概率为1C．如果事件A与事件B对立，那么一定有D．若A，B是一个随机试验中的两个事件，则【答案】D【分析】根据事件的概率基本概念直接求解即可.【详解】对于A，对于任意事件A，都有，故A正确；对于B，必然事件的概率为1显然正确，故B正确；对于C，如果事件A与事件B对立，那么一定有，故C正确；对于D，若A，B是一个随机试验中的两个事件，则，故D错误．故选：D．【变式31】从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，记“这个三角形是等腰三角形”为事件，则下列推断正确的是（

）A．事件发生的概率等于 B．事件发生的概率等于C．事件是不可能事件 D．事件是必然事件【答案】D【分析】根据正五边形的性质，可知任取三个顶点连成的三角形一定是等腰三角形可得答案．【详解】根据正五边形的性质，可知任取三个顶点连成的三角形一定是等腰三角形，所以事件是必然事件．故选：D．

【变式32】（多选）已知为实验的样本空间，随机事件，则（

）A．为必然事件，且 B．为不可能事件，且C．若，则为必然事件 D．若，则不一定为不可能事件【答案】ABD【分析】根据必然事件和不可能事件的定义，再结合样本空间为有限和无限的情况，判断选项.【详解】A.当为必然事件，且，故A正确；B.为不可能事件，且，故B正确；C.若，则不一定为必然事件，若样本空间是区间，但质点落在区间的概率也是1，此时不是必然事件，故C错误；D.若，则不一定为不可能事件，若样本空间是区间，但质点落在处的概率为0，但此时不是不可能事件，故D正确.故选：ABD04：事件的判断事件运算应注意的两个问题(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．【典例4】在一次随机试验中，是彼此互斥的事件，且是必然事件，则下列说法正确的是（）A．与是互斥事件，也是对立事件B．与是互斥事件，也是对立事件C．与是互斥事件，但不是对立事件D．与是互斥事件，也是对立事件【答案】D【详解】由于彼此互斥，且是必然事件，故其事件的关系如图所示，由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立，所以只有D中的说法正确．故选：D.【变式41】对空中移动的目标连续射击两次，设A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一次击中目标}，D＝{至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据事件之间的关系与运算对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于选项A，事件A包含于事件D，故A正确；对于选项B，由于事件B，D不能同时发生，故，故B正确；对于选项C，由题意知C正确；对于选项D，由于＝D＝{至少有一次击中目标}，不是必然事件；而为必然事件，所以，故D不正确．故选：D.【变式42】（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝“两弹都击中飞机”，事件B＝“两弹都没击中飞机”，事件C＝“恰有一弹击中飞机”，事件D＝“至少有一弹击中飞机”，下列关系正确的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据样本空间、事件的运算和含义即可解答.【详解】因为事件指两弹都没击中飞机，第一枚击中第二枚没中，第一枚没中第二枚击中，两弹都击中飞机；“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中；“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中.所以，，所以，，故选项A，B，C正确，D不正确．故选：ABC.一、单选题1．下列事件中，必然事件的个数是（）①2028年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④向量的模不小于0.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用随机事件的概念直接判断．【详解】对于①，因为2028年8月18日，不能确定北京市是否下雨，所以2028年8月18日，北京市不下雨为随机事件，故为随机事件；对于②，在标准大气压下，水在结冰而不是在时结冰，故为不可能事件；对于③，因为从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不能确定是否为1号签，所以从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签，故为随机事件；对于④，因为向量的模大于等于0，所以向量的模不小于0，故为必然事件.综上：①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．故选：B.2．下列说法一定正确的是（

）A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况B．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元D．随机事件发生的概率与试验次数无关【答案】D【分析】根据随机事件的相关概念一一判定即可.【详解】“百发百中”说明投中的可能性比较大，但有可能出现三投不中的可能，即A错误；“”是事件发生的可能性，掷6次也可能不出现一次2，即B错误；买彩票中奖的概率为万分之一，也是事件发生的可能性，买一万元的彩票也可能一元不中，即C错误；随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关，D正确.故选：D3．下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（

）取球方式结果游戏1有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回地依次取2个球取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜游戏2有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1个球.取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙胜.游戏3有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回地依次取2个球.取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜.A．游戏1和游戏3 B．游戏1 C．游戏2 D．游戏3【答案】D【解析】分别计算出每个游戏中所给事件的概率，若两事件的概率大小相同则说明此游戏是公平的，否则说明不公平.【详解】对于游戏1，样本点共有12个，取出的2个球同色包含的样本点有6个，其概率是，取出的2个球不同色的概率也是，故游戏1公平；对于游戏2，样本点共有2个，分析易知，取出的球是黑球和取出的球是白球的概率都是，故游戏2公平；对于游戏3，样本点共有12个，取出的2个球同色的概率是，取出的2个球不同色的概率是，故此游戏不公平，乙胜的概率大.故选D.【点睛】本题考查概率的意义，游戏的公平性，属于基础题.4．三国时期，诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，并在大雾的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹.诸葛亮应用的是（

）A．动力学方程的知识 B．概率与统计的知识C．气象预报模型的知识 D．迷信求助于神灵【答案】B【解析】应用丰富的气象观测经验，预报天气，属于经验预报法，可知诸葛亮应用的是概率与统计的知识.【详解】诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，属于气象业务实践中的经验预报法，利用的是概率与统计的知识.并未应用到动力学方程的知识和气象预报模型的知识.故选：B.【点睛】本题考查了天气预报中的概率解释，属于基础题.5．某种彩票的中奖概率为，则以下理解正确的是（

）A．购买这种彩票100000张，一定能中奖一次B．购买这种彩票100000张，可能一次也没中奖C．购买这种彩票1张，一定不能中奖D．购买这种彩票100000张，至少能中奖一次【答案】B【分析】根据随机事件概率的定义逐个分析判断即可.【详解】购买这种彩票100000张，相当于做100000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以每张彩票可能中奖，也可能不中奖，对于ABD，购买这种彩票100000张，可能没有一张中奖，所以AD错误，B正确对于C，购买这种彩票1张，有可能中奖，所以C错误，故选：B6．已知某厂生产的某批产品的合格率为，现从该批次产品中抽出100件产品检查，则下列说法正确的是（

）A．合格产品少于90件 B．合格产品多于90件C．合格产品正好是90件 D．合格产品可能是90件【答案】D【分析】根据概率的定义与性质，直接可求解.【详解】某厂生产的某批产品的合格率为，现从该批次产品中抽出100件产品检查，在A中，合格产品可能不少于90件，故A错误；在B中，合格产品可能不多于90件，故B错误；在C中，合格产品可能不是90件，故C错误；在D中，合格产品可能是90件，故D正确．故选D．【点睛】本题考查概率的定义与性质的应用，考查理解辨析能力，属于基础题.7．设为三个事件，分别表示它们的对立事件，表示“三个事件恰有一个发生”的表达式为（）A．B．C．D．＋＋【答案】B【分析】根据事件的交和并即可得到答案.【详解】选项A表示三个事件至少有一个发生；选项B表示三个事件恰有一个发生；选项C表示三个事件恰有一个不发生；选项D表示三个事件至少有一个不发生．故选：B.二、多选题8．袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是基本事件的是（）A．取出的两球标号为3和7B．取出的两球标号的和为4C．取出的两球标号都大于3D．取出的两球标号的和为8【答案】ABC【分析】根据样本点的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于A，取出的两球标号为3和7，是基本事件，故A正确；对于B，取出的两球标号的和为4，指取出的两球标号为1和3，是基本事件，故B正确；对于C，取出的两球标号都大于3，指取出的两球标号为5和7，是基本事件，故C正确；对于D，取出的两球标号的和为8，包括取出的两球标号为1和7，3和5，包含两个样本点，不是基本事件，故D不正确．故选：ABC．9．某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据事件之间的基本关系和基本运算，依次判断选项即可.【详解】事件A表示表示“两次都投中”；事件B表示“两次都未投中”；事件C表示“恰有一次投中”；事件D表示“至少有一次投中”，即表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，A：事件A表示表示“两次都投中”，事件D表示“至少有一次投中”，故，故A正确；B：事件B和事件D是对立事件，故，故B正确；C：事件表示“两次都投中”或“两次都未投中”，而事件表示“两次都未投中”、“两次都投中”或“恰有一次投中”，故C错误；D：事件表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故，故D正确.故选：ABD.10．某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%.设“一年内需要维修k次”，，则下列事件的概率正确的是（

）A．在一年内需要维修的概率为0.25B．在一年内不需要维修的概率为0.75C．在一年内维修不超过1次的概率为0.90D．在一年内最多需要维修2次的概率为0.94【答案】ABC【分析】由题意写出，进而利用概率的基本性质与互斥事件的概率公式逐项判断.【详解】依题意得，因为两两互斥，.对于A：记事件为“一年内需要维修”，则，所以，故A正确；对于B：记事件为“一年内不需要维修”，则，所以，故B正确；对于C：记事件为“在一年内维修不超过1次”，则，所以，故C正确；对于D：记事件为“一年内最多需要维修2次”，则，所以，故D错误．故选：ABC.三、填空题11．设是随机事件，且，则．【答案】/0.125【分析】求出，从而根据事件的运算关系求出概率.【详解】因为，所以，故．故答案为：12．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10．其中是必然事件；是不可能事件；是随机事件．(填序号)【答案】③④②①【分析】根据必然事件、不可能事件以及随机事件的定义，可得答案.【详解】200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于10，从而有可能全部是一级品，也有可能不全是一级品．故答案为：③④；②；①.13．用红、黑、黄3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，若事件A＝{(红，红)，(黑，黑)，(黄，黄)}，则事件A的含义是．【答案】甲、乙两个小球所涂颜色相同【分析