期中模拟试题（四）（解析版）-教案课件-人教版高中数学必修第二册

2020-2021学年高一数学下学期期中

模拟试题(四)

一.选择题

51-i

1.已知复数2=—+——，则复数z对应的点在复平面内位于

2+i1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

=2-z-z=2-2z,

二.复数z对应的点的坐标为(2,-2),在复平面内位于第四象限.

故选D.

2.已知向量。4=(2,3),05=(4,-1),尸是线段AB的中点，则尸点的坐标是

A.(2,-4)B.(3,1)C.(-2,4)D.(6,2)

【答案】B

【解析】由线段的中点公式可得OP」(OA+O8)=(3,1),故尸点的坐标是(3,1),

2

故选B.

6-2i

C.1+i

【答案】D

।।6—2i—1—3z6—21

【解析】----=------+H--------=1—Z.

1+2，5

故选D.

1+z2021

4.设复数z=----------,则z的虚部是

2-z

【答案】A

(1+/)(2+/)

【解析】Mi(z=i±^=l±i==-+-i,

2-i2-i(2-0(2+?)55

.•.z的虚部是3.

5

故选A.

5.已知向量a,6满足|万|=2|a|=2,\2a-b\=2,则向量a,b的夹角为

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】根据题意，设向量a,b的夹角为d,

若|b|=2|a|=2,则出|=2,

若12"。|=2,贝ij(2a-履=4a2-4a-b+b2=8-8cos6>=4,

解可得cos。=!，

2

又由0。效R180°,故6=60。，

故选C.

6.已知。是AABC的重心，且A5=G，BC=2,则的值为

A.1B.1C.-J5D.6

【答案】A

【解析】设。是AC的中点，因为。是三角形的重心，

?211

所以80=380=3X5(84+8C)=1(BA+BC),AC=BC-BA,

LL1、I11221

所以，AC.BOBA).(BA+BC)=-(BC-BA)=-.

故选A.

7.已知。、匕为两条不同直线a、夕为两个不同的平面，给出以下四个命题:

①若a//。，bua,则a//a；

②若a//a,bua,贝!)a//〃；

③若a工B,aua,则〃_1/?；

④若a110,aua,bu0,则〃///?.

其中真命题的个数是

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】①若a//。，bua,则a//a；也可能aua,所以①不正确；

②若a//a,bua,则a//〃；也可能a与Z?是异面直线，所以②不正确；

③若a_L/?,aua,则〃J_/7；也可能〃///?,有可能是相交但不垂直，所以③不正确；

④若a//£,aua,buB,则Q//5.也可能是异面直线，所以④不正确；

所以正确命题是0个.

故选A.

8.四面体A—5co中，AB=BC=3,ZABC=120°,DC=8,则四面体A—5co外

接球的表面积为

A.100万B.50%C.25万D.911

【答案】A

【解析】设AABC外接圆的圆心为。J四面体A-BCD外接球的球心为O,半径为R,

连接O|C,。。1,OC,

由正弦定理可得一=2O,C,1

sinZBAC1

R=OC=QoQ+oo：=，不+32=5,

D

B

即四面体A-BCD外接球的表面积为S=4»X52二=100TT,

故选A.

二.多选题

9.AABC是边长为2的等边三角形，已知向量口力满足AB=2a,AC=2a+6,则下列结论正确的是

A.a是单位向量B.BC/lbC.a.b=lD.5C_L(4o+b)

【答案】ABD

【解析】A.|A8|=2,.♦.由AB=2a得，|“|=四^=1,a是单位向量，该选项正确；

2

B.BC=AC-AB=2a+b-2a=b,BC//b,该选项正确；

2

一2--h

C.|AC|=2,|a|=1,.,.由AC=2a+6得，AC=4a2+4a~b+b2,BP4=4+4a»b+b2,a»b=-*1,

4

该选项错误；

D.BC=b,由上面得，BC.(4a+b)=b-(4a+b)=4a-b+b2=Q,BC±(4«+Z?),该选项正确.

故选ABD.

10.在AAfiC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c.若6=。＜：054,角A的角平分线交BC于点

D,AD=1,cosA=-,以下结论正确的是

8

3

A.AC=-B.AB=8

4

C.—=-D.AABD的面积为地

BD84

【答案】ACD

【解析】因为Z?=ccosA,

由正弦定理可得，sinB=sinCcosA=sin(A+C),

所以sinAcosC=0,

因为sinAwO,

所以cosC=0即C=—7i，

2

1/AC

——cosA-,

8AB

由角平分线定理可得，

ABBD8

设AC=x,AB=8x,贝I」3C=3伍，CD=—x,

3

RtAACD中，由勾股定理可得，x2+(y^x)2=1,

解可得X=—,gpAC=~,AB=6,

44

-x，6金色!

.24832

3币

所以

~T~

故选ACD.

11.如图，在长方体ABC。—AgGA中，A&=A5=4,BC=2,M,N分别为棱G2，CC1的中

点，则下列说法正确的是

A.A、M,N、8四点共面B.直线BN与MM所成角的为60。

C.BN//平面D.平面AD暇_L平面CDRG

【答案】BD

【解析】对于A，A、B、M在平面ABG2内，N在平面ABCQ］外，故A错误；

对于3,如图，取CD中点E,连接BE,NE,可得8£7/耳M,NEBN为直线3N与与M所成角,

由题意可得ABEN为边长为20的等边三角形，则N匹N=60。，故3正确；

对于C,若8N//平面ADN,又3C//平面ADA/,则平面//平面ADAf,

而平面BCG耳//平面ADQA,矛盾，故C错误；

对于。，在长方体ABCD-ABIGR中，AD_L平面C£>2G，ADu平面ADM,.•.平面M!M_L平面

CDDG,故。正确.

故选BD.

12.在棱长为2的正方体ABCD-A4G2中，E,P分别为45,AA的中点，则（）

A.BDVB.C

B.EF//平面

C.AC]_L平面BQC

D.过直线EF且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为0

【答案】BC

【解析】对于A,4C//A。，，幺加是与片C所成角（或所成角）的补角，

.•.幺£>8=60。，；.应»与瓦C不垂直，故A错误；

对于3,取AD中点G,连接FG,EG,则EG/ABD,FG//BBl,

EG（FG=G,BDrBB[=B,平面EFG//平面,

EFu平面EFG,;.£F//平面£>48,故3正确；

对于C,A1ci工BQ,A4,_L耳AC/AA]=A，

AC、A4,u平面A41ci，

.•.42_L平面MG,ACjU平面A4G，AC{±BjD,,

同理AC】_L4C,

BR\BiC=Bl,BR、B]Cu平面耳AC,

.1AG_L平面&RC,故C正确；

对于。，取A4中点“，连接F"、EH,

则FW/ABQ,GF11BB、,

FHGF=F,BtDtBBt=B1,平面EHFG//平面BBQQ,

BDt<=平面BBRD,。u平面EHFG,

过直线EF且与直线BD,平行的平面截该正方体所得截面为矩形EHFG,

GF=2,+4=应,

22

过直线EF且与直线83平行的平面截该正方体所得截面面积为S=2应，故。错误.

故选：BC.

三.填空题

13.已知向量a,若向量6与。反向，且|6|=2,则向量b的坐标是,

【答案】(-1,6)

【解析】因为：向量a=d

.14]=1,

向量6与。反向，且|b|=2

b=-2cz—(-1,1\/3).

故答案为：(-1,百).

14.已知，虚数单位，若复数z=j(“eR)的虚部为-3,则|z|=

1+Z

【答案】A/13

1-ai(l-a?)(l-Q1—ai—i+ai2(1—Q)—(1—Q)11—ci1+6z.

【解析】1

1+z(1+z)(l—z)1^7-2一~22-

复数z=匕丝(aeR)的虚部为-3,

1+1

..._l±£=-3,解得a=5,

2

/.z=-2—3i9

.'.|z|=7(-2)2+(-3)2=7i3.

故答案为：A/13.

15.已知单位向量°、b的夹角为120。，妨+万与垂直，则左=.

【答案】-

5

【解析】根据题意，单位向量〃、b的夹角为120。，则Q.A=—工，

2

k

若3+。与2〃一。垂直，贝!J(%+b)-(2a-b)=2k-l+--l=09

解可得：k=—,

5

故答案为：

5

16.已知三棱锥A—3CD中，AB=AC=AD=BC=BD=2?s/2,侧棱AB与底面BCD所成的角为45。，则

该三棱锥的体积为.

【答案】-

3

【解析】如图，三棱锥4一38中，AB=AC=AD=BC=BD=2?五,侧棱AB与底面BCD所成的角为

45°,

A射影在底面3co上的射影在NCBD的平分线上，可得棱锥的高为：20xsin45o=2,所以相＞,AC与

底面所成角也是45。，A在底面的射影是底面三角形的外心，外接圆的半径为2,所以射影点为E,是CD

的中点，则ACBD是等腰直角三角形，

所以该三棱锥的体积为：1X1X2A/2X2A/2X2--.

323

故答案为：--

四.解答题

17.已知复数2=%期0是虚数单位），加eR.

1+Z

（I）若Z是纯虚数，求7"的值;

（II）若复数Z在复平面内对应的点位于第四象限，求机的取值范围.

333

【答案】⑴(2)

222

【解析】(I)复数z.6-•一(6-4〃4)(1-i)_6-4mi—6i+4m尸

=3—2m—(2m+3)z，

1+Z(1+z)(l—z)2

Z是纯虚数,

3一2'"=°,解得机=3

2m+3w02

m的值为』.

2

（II）-复数Z在复平面内对应的点（3-2m,-2〃?-3）位于第四象限,

5解得一33

—<m<—,

22

.•.加的取值范围是（-3,3）.

22

18.已知复数z的共轨复数是7,i是虚数单位，且满足z+2彳=出

1+Z

（1）求复数Z；

（2）若复数z（2-加）在复平面内对应的点在第一象限，求实数机的取值范围.

【答案】(1)z=1+2z；(2)(—1,4).

【解析】（1）设复数z=x+yi（尤,yeR）,则彳=%一9，

于是尤+yi+2(x—yi)=°+')&~~—,BP3x-yz=3-2/,

(l+O(l-z)

:;二2'解得X=1

y=2

故z=l+2i；

(2)由(1)得，z(2-mi)=(1+21)(2-mi)=(2+2m)+(4-rri)i,

由于复数z（2-〃zi）在复平面内对应的点在第一象限,

2+2m>05,口

，解得—1vmv4.

4-m>0

/.实数根的取值范围是(-1,4).

19.平面内给定三个向量&=(3,2),〃=(0,2),c=(4,1)

(1)求|

(2)若(。+左)//(2〃-/?),求实数左的值.

【答案】⑴5；(2)3.

【解析】(1)。+6=(3,4)「.(〃+力/=32+42=25「.|a+切=5;

(2)由a+fa;=(3+4k,2+左)，2a-b=(6,2)

而(〃+kc)//(2a一b),

「.6+8左=12+6左，

二.左=3.

20.已知a,b,c分别是AABC中角A,B,。的对边，且sii?A+sii?C—sir？5=sinAsinC.

(1)求角5的大小；

(2)若c=4a,求tanA的值.

【答案】(1)B=~；(2)且.

37

【解析】(1)因为sin?A+sin?。-sin?6=sinAsinC,由正弦定理得：a2+c2-b2=ac,

由余弦定理得COSB="+C2-"=&=2,

2ac2ac2

又3w(0,»),所以3二二.

3

(2)-c=4a,由正弦定理，得sinC=4sinA,

且3=?,/.sin(g+A)=4sinA,

.7171.

/.sin—cosA+cos—sinA=4sinA,

33

整理得：^-cosA=—sinA,WtanA==2/E.

22cosA7

21.如图，在四棱锥尸-ABCD中，四边形MCD为菱形，PA=AB=2,PB=2®,ZABC=60°,且平

面R4C_L平面ABCD.

(1)证明：Q4_L平面ABCD；

(2)若M是尸。上一点，且浏/_LPC,求三棱锥5CD的体积.

p

M

【答案】（1）答案见解析；（2）B.

6

【解析】（1）证明：四边形4JCD为菱形，」.BDJLAC.

:平面B1C_L平面ABCD,平面上4CC平面ABCD=AC,BDu平面ABCD,

平面PAC.

E4u平面R4C,PA^BD.

又\PA=AB=2,PB=2垃,..PA2+AB2^PB2,^PALAB.

又・AB,3£>u平