北师大版高中数学必修第二册第四章测试题及答案

北师大版高中数学必修第二册第四章测试题及答案

（时间:120分钟满分:150分）

一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分，共40分）

l.cos105°=()

nV2-V6

A.V2-V3D.---：---

4

V6-V2

「V2+V6p

•4

2.若a是第二象限角，且则a等于（

sina=|,cos)

A-B-4若

々川sina+cosa1/

3•右淅贰=2,则+tann2a=()

A344

A，-4B.,C--

4.3

4.已知＜()S，,2sin2a=cos2a+l,则sina=()

1

AB

5-V5

5.(sin20°-sin40°)2+3sin20°cos50°=()

6.tan23°+tan37°+v3tan23°tan37°=()

7.计算2sin14°・cos310+sin17°等于()

A号B.与谓D.手

8.已知锐角a，B满足sin（z=y,cos£=邛^,则a+0等于（）

.3ITTC—u.3lT

A.彳B4或彳

D.2E+#GZ）

二、多项选择题（本题共4小题,每小题5分，共20分）

9.下列各式中，值为1的是（）

A.4sin15°cos15°B.cos215°-sin215°

C.y+2sin215°D.sin22020+cos22020

n

10.已知2sin8=1+cos仇贝ljta丐的值（）

A.恒为2B.可能为2

C.可能为mD.可能不存在

11.已矢口函数y（x）=sinx-cosQ+p,贝!j（）

A<x）的最小正周期为71

的最小正周期为2兀

的图象关于直线x=E+与（左£Z）对称

D{X）的值域为［-旧,旧］

12.已知sin3+cos9=±£七（0,兀）,则（）

1712

A.sinOcos0=--B.sin8-cos。二元

74

C.sin6-cosD.tand=--

三、填空题(本题共4小题,每小题5分，共20分)

13.已知向量a=(3,4),b=(sina,cosa),且a〃b,贝！Jtana=.

14.cos(36°+ot)cos(a-54°)+sin(36°+a)sin(a-54°尸.

15.已知4+3=学那么COS2A+COS2B的最大值是，最小值是.

16.函数加)=(sinQ+p+cosQ?)的最大值为.

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知sin(3兀+a)=2sin(与+Q),求下列各式的值：

小sina-4cosa

⑴5sina+2c°sa；

(2)sin2ot+sin2a.

18.(12分)已矢口0<a<,<夕<7i,tan羡=g,cos0-a)=^|.

(1)求sina的值；

(2)求/的值.

19.(12分)设函数/(x)=sinx,x£R.

(1)已知g[0,2兀),函数加+6)是偶函数，求e的值；

(2)求函数y=[/(犷啥)]2+[/Q+J】2的值域.

1Z4

20.(12分)求证:4-丹=箸31.

1+cosx1+sinxl+sinx+cosx

21.(12分)已知2+B+C=Jt.求证:sinA+sin2+sinC=4cos^cos^cos^.

22.（12分）如图所示，要把半径为R,圆心角为三的扇形木料截成长方形，应怎样截取，才能使长方形

EFGH的面积最大？

第四章测评

（时间:120分钟满分:150分）

一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分，共40分）

l.cos105°=（）

A.V2-V3B.罕

4

CV2+V6口V6-V2

,4•4

解析cos105。=cos(45°+60°)=cos45°cos60°-sin45°sin60°二而:J一¥XL='平.

-------------LLLL4

居B

2.若a是第二象限角，且sina。则cosa等于（）

A-B--C—D--

入3333

解析因为a是第二象限角，所以cosavO.

所以cosa=-Vl-sin2a:=-/1-2二一坐

V93

至sina+cosa-1

二1则tan2a=(

sincr-cosa)

3344

A.-7B，7C.1D-

4433

蹄用等式小出吧=:左边分子、分母同时除以cosa（显然cos分0）,得譬斗=!，解得tana=-3,

1-------1sina-cosa2tana-12

2tana_3

所以tan2a=

1-tan2a4>

ggB

4.已知a£(0,1),2sin2a=cos2a+1,贝！Jsina=()

A工B—C—D—

A，5丘5J5

I解析I因为2sin2a=cos2a+l,

所以4sinacosa=2cos2a

因为(0,1),所以cosa>0,sina>0,

所以2sina=cosa.

又sii?a+cos2a=1,所以5sin2a=l,^Psin2a=1.

因为sina>0,所以sin故选B.

ggB

5.(sin20°-sin40°)2+3sin20°cos50°=()

A.IB.V3C.1D.-3

24

解析原式=(2cos30°sin10°)2+|(sin70°-sin30°)

_3-3cos20°242

+尹n7。。』

2

答案C

6.tan23°+tan37°+V3tan23°tan37°=()

A.yB.V3C.yD.l

解析由于tan(z+tanyff=tan(a+)ff)(l-tanatan份,

故tan230+tan37°+V3tan23°tan37°=tan(23°+37°)(1-tan23°tan37°)+V3tan23°tan

37°=V3(l-tan23°tan37°)+V3tan23°tan37°=V3.

拜B

7.计算2sin14°・cos310+sin17°等于()

A.?B.《端D岑

2sin14°-cos31°+sin17°=2sin14°-cos31°+sin(31°-14°)=sin14°-cos31°+cos

14°-sin31°=sin(31°+14°)=sin45°若.

答案A

8.已知锐角a*满足sina=—,cos夕二力-，则a+B等于（）

.3ITTC-u.3IT

A.彳B4或彳

C，7D.2E+我GZ)

44

解析由sina=Jcos外七件,且。，为锐角,

k左2V5.V10

刊知cos/p二7万,

,,,.-n2V53V10V5VTOV2occ./71

故cos（«+/n/x）=cosacos/n-sinasmP~~^~xX=彳.又0<1+//<兀,故a+pn=~.

奉c

二、多项选择题（本题共4小题,每小题5分，共20分）

9.下列各式中，值为1的是（）

A.4sin15°cos15°B.cos215°-sin215°

C.y+2sin215°D.sin22020+cos22020

解析因为4sinl5°cos15°=2sin30°=1,所以A正确；

cos215°-sin215°=cos30°=1，所以B错误;

y+2sin2150=y+l-cos30°=1,所以C正确;

sin22020+cos22020=1,所以D正确.

答案|ACD

n

10.已知2sin8=1+cosd则ta丐的值（）

A.恒为2B.可能为g

C.可能为2D.可能不存在

解析2sin6=l+cos4则4sin|cos1=1+2cos21-1,2sin|cos1=cos21,§cos^O时,tang=今当cos|=0

时,tang不存在.

客剽BD

11.已知函数危）=sinx-cosQ+P,则（）

o

A«x）的最小正周期为71

的最小正周期为2兀

C.«x）的图象关于直线x=E+与（左£Z）对称

D於）的值域为［-丹百］

;inx-cosQ+J

.（V31.）3.V3

=sinx-\—cosx--sinX）=-sinx--cosx

所以/（x）的最小正周期为2兀，所以A错误,B正确；

由片=配+/（止Z）得x=fai+%l£Z）,即危）的图象关于直线l=而+靠止Z）对称，所以C正确;

因为工£尺所以-1・5111（工。）W1,

6

所以-百勺（x）W遮，

即加）的值域为［-E,g］，所以D正确.

答案|BCD

12.已知sind+cos（0,兀），则（）

1212

A.sin0cos0=--B.sin0-cosd=—

7八4

C.sin8-cos0=-D.tanS=~-

'+cos夕=士

1

所以(sin6+cos6)2=l+2sindcos0=—,

i2

即sin6cos0=-五，所以A正确；

_AQ

所以(sinacos6)2=l-2sin9cos,

因为。£(0,兀)，所以sin0>O,cos。<0,即sin仇cos0>0,

7

所以sin0-cos。=于所以B错误,C正确；

sin©+cos0=7,

75

{sin0-cos0=

42

解得sin0=-,cos0=--.

所以tan6V.所以D正确.

答案|ACD

三、填空题(本题共4小题,每小题5分，共20分)

13.已知向量a=(3,4),b=(sina,cosa),且a〃b,则tana=.

|解析|因为a=(3,4),b=(sina,cosa),且a〃b,

3

所以3cosa-4sina=0.所以tana=-.

量

14.cos(36°+a)cos(a-54°)+sin(36°+a)sin(a-54°)=.

|解析|cos(36。+a)cos(a-54°)+sin(36°+a)sin(a-54°)=cos[(36°+a)-(a-54°)]=cos90°=0.

15.已知4+3=于那么COS2A+COS2B的最大值是，最小值是.

解析因为A+8=与，所以COS2A+COS2B=1(1+cos2A+l+cos2B)=l+1(cos2A+cos2B)

=1+cos(A+B)cos(A-B)=l+cos-^cos(A-B)=l--cos(A-B).

Q1

所以当cos（A-B）=-l时，原式取得最大值亍当cos（A-B）=l时，原式取得最小值

1

2-

16.函数4x）=：sin晨+9+cos（的最大值为.

解析因为y（x）=|sin（x+百）+cos（

1(1.A/3)(1V3.

=-\-sinx+—cos\-cosx+—sinx

。乙乙乙乙

1+5V3.5+V3

F^sinx+k°sx二

5+—

其中tan9=^5+V3

1+5VT

10

因此，函数y=/（x）的最大值为（昔浮丫+（需了=四手.

1V26+5V3

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）已知sin（3兀+a）=2sin（:+♦,求下列各式的值：

/八sina-4cosa

(I)T5s^i-na+2——cosa；

(2)sin2oc+sin2a.

解|由已知得sina=2cosa.

2cosct-4cosa1

(1)原式=

5x2cosa+2cosa6

/o、盾-V_sin2a+2sinacosa_sin2a+sin2a_8

-2

_siMa+cos2asin2a+|sina-

18.(12分)已矢口羡=1,cos(^-a)=^.

⑴求sina的值；

(2)求尸的值.

阿⑴因为targ=

2tan£2x^4

所以tana-------=—\~~三

1七吗1-(|)23,

since_4/\

cosa3?解得sinsin舍去人

(si.n2er+1cos2erd=1,55

(2)由(1)知cosaWl-sin2a

r-V2

而cos(/7-a)=—,

所以sin0-a)=Jl-cos2(/?-a)

于是sinQ=sin[a+(^-a)]=sin(xcos(^-a)+cosasin(fi-a)=^x|X=仔.

O_LUD_LU乙

又作(紧)，所以s专

19.(12分)设函数式x)=sinx,xGR.

⑴己知。G[0,2兀)涵数加+0)是偶函数，求。的直

(2)求函数y=〔L/1+总〕2+[(+?]2的值域.

解|⑴因为/(x+e)=sin(x+e)是偶函数，所以，对任意实数％都有sin(x+e)=sin(-x+8),

R17sinxcos6+cosxsin。二-sinxcos8+cosxsin仇

故2sinxcos9=0,所以cos0=0.

又ee[02i),因此W或冬

Q)产L[J/(x+pl+LQ+p]2

=sin2(x+g+sin2(

+sin2\x+；

l-cos(2x+^)1-COS(2X+2)

22

=l-1g(ycos2x-|sin2x

=1孚os(2吗).

因此,函数的值域是

20.(12分)求证:喘工cosx_2(sinx-cosx)

.LILU、儿1+sinxl+sinx+cosx"

____...99

'正明方法一_边—sin%+sm%-cos%-cos'%

I-------1•(l+cosx)(l+sinx)

_(sinx-cosx)(l+sinx+cosx)

l+sinx+cosx+cosx-sinx

2(sinx-cosx)(14-sinx+cosx)

H-sin2%4-cos2x+2sinx+2cosx4-2cosx-sinx

_2(sinx-cosx)(l+sinx+cosx)

(1+sinx+cosx)2

2(sinx-cosx)

1+sinx+cosx

=右边.

方法二:左边

_l+sinx+cosx/sinxcosx'

1+sinx+cosx\l+cosx1+sinx,

1[sinx(1+sinx+cosx)cosx(1+sinx+cosx)]

1+sinx+cosxL1+cosx1+sinxJ

2

1sin^xcos^x

sin%+C0SX

1+sinx+cosx1+cosx_~1+sinx