【新教材教案】5.1.2导数的概念及其几何意义

5.1.2导数的概念及其几何意义

教材分析

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习导数的概

念及其几何意义

本节内容通过分析上节中，高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题，总结归纳出导数的

概念，并引出导数的几何意义。导数及其几何意义是本章中的核心概念，它是研究函数的基础。在

学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、极限等数学思想方法的

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

A.经历由平均变化率到瞬时变化率的过1.数学抽象：导数的概念

程，体会导数的概念的实际背景.2.逻辑推理：导数及导数的几何意义

B.了解导函数的概念，理解导数的几何意3.数学运算：求曲线在某点处切线的斜率

义.4.直观想象：导数的几何意义

重点难点

重点：导数的概念及其几何意义

难点：导数中蕴含的极限思想和以直代曲的思想方法的理解

课前准备

多媒体

教学过程

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、新知探究

前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉

及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和

切线斜率。这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采通过对上节两个基

用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也是本问题的回顾，引导学

一样的表示形式。下面我们用上述思想方法研究更一般的问题。生归纳、抽象出导数的

探究1：对于函数y=/(%),设自变量%从与变化到%0+△%，相概念。发展学生数学抽

应地，函数值y就从f(%o)变化到fO+殉)。这时，x的变化量为象、数学运算、数学建

y的变化量为Ay=/(x0+△%)-/Oo)模的核心素养。

我们把比值竺，即丝=fg+Ax)-fd)

△%△%Ax

叫做函数从Xo到的平均变化率。

1.导数的概念

如果当ArrO时，平均变化率之无限趋近于一个确定的值，即备有

极限，则称歹=/(x)在x=xo处____,并把这个_________叫做v=/(x)

在X=xo处的导数(也称为__________),记作/(xo)或_________,即

ff(xo)=­•

可导；确定的值；瞬时变化率；y|;lime；lim

X—X。Ax->0Ax->0

/QXO+AXQ—/QxoD

Ax

由导数的定义可知，问题1中运动员在t=l时的瞬时速度"(1),

2

就是函数〃⑺=—4.%+4.8/+11.

通过具体问题的思

在t=1处的导数*(/)；问题2中抛物/(X)=%2线在点Po(l,l)

考和分析，进一步理解

处的切线P°T的斜率而，就是函数/(X)=%2在X=1处的导数尸(/),

导数的意义。发展学生

实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、国

数学抽象、数学运算和

内生产总值(GDP)的增长率等。

数学建模的核心素养。

例1设求广⑴.

f(l+A久)-f⑴=壶-1

解：尸⑴=4螺lim

Ax_AX

_lim(1A_i

——I1+Ax)-

利用导数定义求导数

□1□取极限前，要注意化简之，保证使心―。时分母不为0.

□2□函数在X0处的导数尸OX0□只与无0有关，与Ax无关.

□3□导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.

跟踪训练1.⑴若函数y=/(x)在x=xo处可导，

则1加注效土也产2二也等于()

/?10

A.r(刈)B.少(刈)C.一少(刈)D.0

(2)求函数y=3N在％=1处的导数.通过典型例题的分

,f\Jxo+h\J—fr\xo—hQ析，帮助学生掌握求解

(1)B「二Ax=(xo+h)~(xo-h)—2h...lim-------------不--------=

函数导数的基本步骤。

〃一>o

发展学生数学抽象、逻

”fJxo+hD-fJxo-hD

21im-------------孤—2/(xo).故选B.］辑推理、数学运算和数

学建模的核心素养。

(2)解：・・・Ay=/(l+Ax)—/⑴=3(1+Ax)2—3=6AX+3(AX)2,

・••孚=6+3Ax,・•・/(1)=lim竽=lim(6+3Ax)=6.

/VA,/\A,

Ax—>0Ax―0

跟踪训练2.建造一栋面积为xrtf的房屋需要成本y万元，丁是x的

函数，尸小)=器+噌+0.3,求广(100),并解释它的实际意义.

［解］根据导数的定义，得

Av=100+一口—兀：100口

广(100)=hm及=hm-------------履

Ax—>0Ax-0

100+AX+A/100+AX+3-D100+VT00+3Q

=lim------------------------------------------------------------

Ax-0

=lim舟^/100+Ax-ld

10Ax;

Ax一0

—lim|_10lOxnJlOO+Ax+lOa

AK—O

=x+1---------

lo^ioxQio+ion

=0.105.

尸(100)=0.105表示当建筑面积为100m2时，成本增加的速度为1050

元/n?.

探究2：我们知道，导数/''(xo)表示函数y=/(x)在x=%o处的瞬

时变化率，反映了函数y=f(x)在％=而附近的变化情况，那么导数

尸(%。)的几何意义是什么？

观察函数y=f3的图像,

平均变化率

丝=f(x°+Ax)-f(Xo)表示什么?

△%Ax

瞬时变化率

/'(XO)=A窝F=Ax缥表示什么？

通过回顾曲线上某点

出割线与切线斜率的问

题，归纳出导数的几何

意义，并能简单应用。

发展学生逻辑推理，直

观想象、数学抽象和数

学运算的核心素

2.导数的几何意义

(1)导数的几何意义

如图，割线尸o尸的斜率左=.记Ax=x—xo，当点尸沿着

曲线歹=/(尤)无限趋近于点R时，即当Ax-0时，左无限趋近于函数

v=/"(x)在X=xo处的导数，因此，函数y=/(x)在x=xo处的导数((xo)

7a

就是的斜率k0,即kQ=limx。+黑-兀

Ax-0

f\Jx□—/Hlxo□,4

-------1-----;切线尸oT

X~Xo

3.导函数

对于函数(x),当x=xo时，，，(xo)是一，个唯一确定的数，当X变

化时，/〈X)便是X的一个函数，我们称它为y=/(x)的导函数(简称为

导数)，即/'(%)=/=

/Qx+Ax□—/□工□

limAx

Ax—＞0

例4.如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间

变化的函数

2

〃⑶=-4.%+4.8/+11的图像，根据图像，请描述、比较曲线〃⑺

在t=t0,t],以

附近的变化情况。

解：我们用曲线g)在Q%%以处的切线斜率，刻画曲线帅在上

述三个时刻附近的变化情况通过典型例题的分

r析和解决，帮助学生理

(1)当片M时，曲线〃(。在片片处的切线仇平行于t轴，h(to)=O,

这时，在片片附近曲线比较平坦，几乎没有升降；解导数的几何意义，及

(2)当片G时,曲线的)在片代处的切线k的斜率九'9)＜0,这时,求曲线上某点处切线斜

在片匕附近曲线下降，即函数人(。在片匕附近单调递减；率的基本方法，发展学

(3)当片今时，曲线幽。在片12处的切线％的斜率〃(切＜。，生逻辑推理，直观想象、

这时，在片上附近曲线下降，即函数力⑺在k七附近单调递减；数学抽象和数学运算的

从图可以看出，直线"倾斜程度小于直线6倾斜程度，这说明曲线帅核心素养。

在尸t]附近比在片功附近下降得缓慢。

导数几何意义理解中的两个关键

关键点一：□在点x=xo处的切线斜率为左，则左＞0可，□》()□

＞0；左＜0可'□xoIUCO；k=Q^f'QxoQ=O.

关键点二：产力冲口越大Q在X0处瞬时变化越快；了力割口越小=在

犹处瞬时变化越慢.

跟踪训练3(1)已知函数y=/(x)的图象如图所示，则其导函数＞=

尸(x)的图象可能是()

ABCD

(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，

这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务各种方案

的运输总量。与时间/的函数关系如下所示.在这四种方案中，运输

效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是()

忆也忆述

0TtoTt0Tt0Tt

ABCD

［思路探究］(1)切线斜率大于零，则尸(x)>0；切线斜率小于零，则

/0)<0；

(2)要明确运输效率的含义，题设中已经给出运输效率即单位时间内

的运输量，因此，运输效率逐步提高就是指。'⑶不断增大.

(1)B(2)B［(1)由y=/(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0

时，/G)>o；当x=o时，yq)=o；当x>o时，/口)<0,故B符

合.

(2)从函数图象上看，要求图象在［0,7］上越来越陡峭，在各选项中，

只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的

运输量)逐步提高.故选B」

三、达标检测

1.判断正误(正确的打‘7"，错误的打“x”)

通过练习巩固本节所

(1)函数y=/(x)在x=xo处的导数即为在该点处的斜率，也就是k=

学知识，通过学生解决

尸(x。).

问题，发展学生的数学

(2—8)>((必)反映了曲线在X=X1处比在X=X2处瞬时变化率较大.

运算、逻辑推理、直观

(3-(xo)就是导函数y=/(x)在X0处的函数值.想象、数学建模的核心

(4)若/(状)=0,则曲线在x=xo处切线不存在.

素养。

解析：(1)根据导数的几何意义知正确.

(2)若/(xo)|越大，瞬时变化率越大，故错误.

(3)根据导函数的定义知正确.

(4)若/(比)=0说明曲线在x=xo处切线平行于x轴，不能说不存在.

［答案］(1)4(2)x(3)Y(4)x

2.已知函数y=f(x)是可导函数，且f，(1)=2,则lim

Ax—>0

/□1+Axp-/Dig_

2Ax=()

A.1B.2C.1D.-1

「「由*nr俎r——□-/DEl/QE

C［由意忌可得：hm2Ax-2lrimAc

Ax—>0Ax—>0

=5，(1),即：lim兀1+以：兀1口=夕2=1.故应选C.］

Ax一0

3.已知y=/(x)的图象如图所示，则尸(山)与尸(回)的大小关系是()

A.f'(X^>f'(XB)B.f'(XA)<f'(XB)

C.f'(.XA)=f'(xs)D.不能确定

B解析：由导数的几何意义，尸(必)，/(切)分别是切线在点/、8处

切线的斜率，由图象可知/(M)<T(XB).

4.若曲线y=x2+ox+Z?在点(0,6)处的切线方程是x-y-\-1=0,则

()

A.a=l,b=lB.a=~l,b=l

C.d~~1,b——\D.