人教B版必修第二册4 .2 .3 对数函数的性质与图像

4.2.3对数函数的性质与图像

新SB因（教师独具内容）

课程标准：了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对

数函数的图像，并通过图像了解对数函数的单调性与特殊点.

教学重点：对数函数的概念、对数函数的图像与性质.

教学难点：运用对数函数的图像与性质解决相关问题.

核心概念掌握

©

-知识导学-

知识点一对数函数的概念

一般地，函数y=log,x称为以对数函数，其中画且是常数,Eg>0且画

2中1.

知识点二对数函数的图像与性质

定义EJjz=logax(a>0且aWl)

底数颐〉1画0—

JV1

图像

11

定义域网(0,+op)

值域一R

单调性一增函数回减函数

共点性一图像通过点（1通），即log“l=0

1—(0,1)时,zG(0,l)时，

函数值yG-(—8,0)；E](o,+8)；

特点N一口，+8)时,xG[1,+8)时，

yG⑩[0,+°°)?一\(一8,0]

函数y=log*与y=logu的图像关于坡型对称

对称性1a

新知拓展

1.对对数函数定义的理解

同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，例如y=21og2X,j=log2%2

等都不是对数函数，只有y=logax(a>0且aWl)才是.

(1)观察图像，注意变化规律

①上下比较：在直线x=l的右侧，。>1时，a越大，图像向右越靠近x轴，

0<a<l时，a越小，图像向右越靠近x轴.

②左右比较：比较图像与y=l的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函

数的底数越大.

(2)对于对数函数图像性质的助记口诀

对数增减有思路，函数图像看底数.底数只能大于0,等于1来也不行.底

数若是大于1,图像逐渐往上升；底数0到1之间，图像逐渐往下降.无论函数

增和减，图像都过(1,0)点.

2.函数v=logflx(a>0且aWl)的底数变化对图像位置的影响

了评价自测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

(Dynlogir2与y=logC都不是对数函数.()

(2)对数函数的图像一定在y轴右侧.()

⑶当0<a<l时，若x>l,则y=log“x的函数值都大于零.()

答案(1)V(2)V(3)X

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)函数y=(次-4a+4)logax是对数函数，则a=.

(2)对数函数火x)=log〃x的图像过点(2,1),则五8)=.

(3)若对数函数y=log(-2。)%,x@(0,+8)是增函数，则a的取值范围为

答案(1)3(2)3(3)(—8,0)

核心素养形成

题型一对数函数的概念

例1已知下列函数：

(Dy=log|(—x)(x<0);

②y=2Iog4(才-1)殳>1)；

③y=ln1r(x>0)；

@j=log(az+a)x(x>0,a是常数).

其中，是对数函数的是（只填序号）.

［解析］对于①，真数是一龙，故①不是对数函数；对于②，210g4（尤一1）的系

数为2,而不是1,且真数是X—1,不是x,故②不是对数函数；对于③，Inx

故③是对数函数；对于④，底数2T当

的系数为1,真数是x,

a=—；时，底数小于0,故④不是对数函数.

［答案］③

金版点睛判断函数是对数函数的条件

判断一个函数是对数函数必须是形如y=log〃x（a>0且aWl）的形式，即必须

满足以下条件：

（1）系数为L

（2）底数为大于0且不等于1的常数.

（3）对数的真数仅有自变量x.

.跟踪训练1

若某对数函数的图像过点（4,2）,则该对数函数的解析式为（）

A.y=log2X

B.y=21og4X

C.y=logzx或y=21og4^v

D.不确定

答案A

解析设对数函数的解析式为y=logax（a>0且aWl）,由题意可知log°4=2,

.♦./=4,：.a=2....该对数函数的解析式为y=log2%.

题型二与对数函数有关的函数定义域问题

例2求下列函数的定义域：

1

⑴Llog2(x-1)；

(2)y=、lg(x—3)；

(3)y=log2(16-4x)；

(4)y=log(A-i)(3-x).

\x-1>0,

［解］(1)要使函数有意义，需A,，、一c解得x>l且x#2.

llog2(X—1)^:0,

二函数y=]0g2(；_])的定义域是{x|x>l且xW2}.

x—3>0,

(2)要使函数有意义，需<

Jg(X—3)20,

x—3>0,

即解得x>4.

%—3^1,

二所求函数的定义域是{x|x24}.

(3)要使函数有意义，需16—4、>0,解得x<2.

二所求函数的定义域是{小<2}.

C3一x>0,

(4)要使函数有意义，需上一1>0,解得l<x<3且xW2.

1%—1W1,

，所求函数的定义域是{x[l<x<3且x#2}.

金版点睛求函数的定义域应考虑的几种情况

求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.经常考

虑的几种情况：①^1中;(x)WO;②2也福(“CN*)中八%)20；③log/x)(a>0,且

aWl)中火》)>0；④10环刘：4>0)中五》)>0且Hx)Wl；⑤及叨°中Hx)W0；⑥求抽象

函数或复合函数的定义域，需正确理解函数的符号及其定义域的含义.

「跟踪训练2

求下列函数的定义域：

(l)y=Vlg^+lg(5—3x)；

________]

⑵，[logo.5(4x-3)-

Clgx^O,

解（1）要使函数有意义，需｛x>0，

15—3x>0,

.*/5Kq.

卜可，3

I.原函数的定义域为1,1）.

3

（2）由题意得logo.5（4x—3）>0,可得0<4元一3<1,即3<4%<4,解得彳<X<1.所以

原函数的定义域为俘，“

题型三对数函数的图像与性质

例3⑴如图所示的曲线是对数函数y=logd,y=logbx,y=logcx,y=logdx

的图像，则a,b,c,d,1,0的大小关系为（）

A.a>b>l>d>c>0

B.b>a>l>c>d>Q

C.a>b>l>c>d>0

D.b>a>l>d>c>0

（2）函数尸108“国+1（0<。<1）的图像大致为（）

［解析］⑴由题图可知函数y=logaX,y=log〃x的底数a>l,b>l,函数尸

logcx,y=log。的底数0<c<l,0<d<l.过点（0,1）作平行于x轴的直线/（图略），则直

线/与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c,d,a,b,显然Z?>a>l>d>c>0.

故选D.

(2)函数为偶函数，在(0,+8)上为减函数，在(一8,0)上为增函数，故可

排除选项B,C,又》=±1时y=l,故选A.

［答案］(1)D(2)A

金版点睛根据对数函数的图像判断底数大小的方法

作直线y=l与所给图像相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一

象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.

■跟踪训练3

(1)已知。>0且aWl,则函数与y=loga(—X)的图像可能是()

(2)函数y=loga(x+l)—2(a>0且的图像恒过点.

答案(1)B(2)(0,-2)

解析(1)解法一：若0<。<1,则函数y=炉的图像下降且过点(0,1),而函数

y=log4一x)的图像上升且过点(一1,0),以上图像均不符合.

若a>l,则函数丁="的图像上升且过点(0,1),而函数y=loga(—x)的图像下

降且过点(一1,0),只有B中图像符合.

解法二：首先指数函数y=户的图像只可能在x轴上方，函数y=loga(一x)

的图像只可能在y轴左方，从而排除A,C；再看单调性，y="Vy=loga(一x)

的单调性正好相反，排除D.只有B中图像符合.

解法三：如果注意到y=loga(—x)的图像关于y轴的对称图像为y=log”，又

y=logG与y=炉互为反函数(图像关于直线y=x对称)，则可直接确定选B.

(2)因为函数y=logax(a>0且aWl)的图像恒过点(1,0),则令x+l=l,得x

=0,此时y=loga(x+l)—2=—2,所以函数y=loga(x+l)—2(a>0且aWl)的图

像恒过点(0,-2).

题型四对数值的大小比较

例4比较下列各组中两个值的大小：

(l)31og45,21og23；

(2)log30.2,log40.2；

(3)log3兀，logjrS；

01

(4)logo.20.1,0.2.

［解］(1),/31og45=log4125,21og23=log29=log481,且函数y=logM在(0,+

8)上是增函数，又125>81,.,.31og45>21og23.

⑵・•.0>logo.23>logo.24,.••武铲舟彳

即Iog30.2<log40.2.

(3)、,函数y=log3X在(0,+8)上是增函数，且兀>3,/.Iog37i>log33=l.

同理，1=log以>1(^3,所以log3兀>logz3.

(4);•函数y=Iogo.2X在(0,+8)上是减函数,且0.K0.2,...logoM.lXogozO/

=1.

..•函数丁=02》在R上是减函数，且0<0.1,

.,.0.201<0.2°=1.

01

.,.logo.20.1>0.2.

金版点睛比较对数值大小的常用方法

(1)比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性.

(2)比较不同底数的两个对数值的大小，常用以下两种方法：①先利用对数

换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性比较大小；②在同一象限内

利用对数函数图像的位置关系比较大小.

(3)比较底数与真数都不同的两个对数值的大小，常借助中间量(如1,0,-1

等).

(4)比较多个对数值的大小，则应先根据每个数的结构特征，以及它们与中

间量“0”和“1”的大小情况进行分组，再比较各组内的对数值的大小即可.

(5)比较含参数的两个对数值的大小，要注意对底数是否大于1进行分类讨

论，有时也要注意挖掘所给对数值的隐含条件.例如：比较log。。?一6+1)与logj

的大小时，要注意隐含条件：廿一6+1=0一3)2+|■三

「跟踪训练4

比较下列各组对数值的大小:

(l)log11.5,log11.6；

(2)log2l.9,log23.2；

(3)log79,log|4;

(4)logu3,loga10(a>0且。声1).

解

(1)Vj/=log|在(0,+8)上单调递减，L5<1.6,

/.log11.5>log11.6.

(2)・・・)=log2］在(。，+8)上单调递增J.9V3.2,

Iog21.9<log23.2.

(3)Vlog79>0,log14<0,log79>log|4.

(4)当a>l时，y=logqZ在(0,+8)上单调递增，

loga3<loga10.

当0Va<l时，y=loga］在(0,+8)上单调递减，

Aloga3>loga10.

题型五解简单的对数不等式

例5解不等式：

(l)log2(2x+3)2log2(5x—6)；

(2)log«(x—4)—logtz(2x—1)>0(6/>0且〃W1).

C2x+3>0,

［解］(1)原不等式等价于，5x—6>0,

〔2x+325x—6,

解得

所以不等式的解集为｛7

(2)原不等式化为loga(x-4)>loga(2x—1).

Cx-4>0,

当a>l时，不等式等价于，2x—1>0,

4>2x—1,

解得x©0.

fx—4>0,

当0<a<l时，不等式等价于｛2x-l>0,

1X—4<2x—1,

解得x>4.

综上可知，当a>l时，解集为0;当0<a<l时，解集为｛x|x>4｝.

金版点睛

解对数不等式时应根据对数函数的单调性转化为关于真数的不等式，求解时

应注意原对数式的真数大于0的条件.常见对数不等式的类型如下：

|»>0,

log&)>log"g(x)">l,)Jg(x)>0,

g)>g(x).

|»>0,

log^x)<log„g(x)0<<3<1,){g(x)>0,

g)>g(x).

■跟踪训练5

已知火x)=lg(x+1),若0勺Q—2x)—求％的取值范围.

解因为«x)=lg(x+1),所以火1—2x)—/(x)=lg(2~2x)—lg(x+1).

[2—2x>0,

由1।,c得一1<%<L

x+1>0,

由0<lg(2—2x)—lg(x+l)=lg-^<1,

2一2x

得1<肃尸。

因为尤+1>0,所以尤+1<2—2x<10(x+1),

21

所以一）<%<?

-1<x<1,

/日21

由,21得一]<%<,

一『,

所以x的取值范围是（一|,

题型六与对数函数有关的单调性问题

例6求函数八x）=logo_4（8—2x—%2）的单调区间，并说明在每一个区间上的

单调性.

［解］由8—2x—『>0得函数兀0的定义域是（一4,2）,

令M=8—2x—f=—（x+1）2+9,

可知当X©（—4,—1］时，M为增函数，

X©［—1,2）时，M为减函数，

*.'/（«）=log0.4M在U>0上是减函数，

函数段）=logo.4（8—2x-%2）的单调区间是（一是-1］,［—1,2）,且在（一4,

—1］上是减函数，在［—1,2）上是增函数.

金版点睛有关对数函数单调性问题的求解思路

(1)特别注意要在M(X)>0所确定的定义域上来讨论复合函数y(X)=logaM(X)的

单调性.

(2)对于形如y(x)=logaM(x)(a>0且aWl)的一类复合函数的单调性，有a>\时

与函数M(X)的单调性相同，0<a<l时与函数M(X)的单调性相反.

(3)求复合函数/(x)=logag(x)的单调区间的步骤：

①求1%)的定义域；②将函数«v)=logag(x)分解成M=g(x),y(M)=logaM两个

函数；③在五X)的定义域上求M的单调区间并判断五X)的单调性；④利用同一区

间上“同增(减)则於)增,异增减则於)减”得出结论.

■跟踪训练6

函数y=log2(—/+2x+3)的单调递减区间是.

答案［1,3)

解析函数的定义域为(-1,3),原函数可看作由y=log2f,/=-X2+2X+3

复合而成，其中函数y=log2/是增函数，/=—f+2x+3在区间［1,3)上是减函数,

所以原函数的单调递减区间为［1,3).

题型七有关对数函数的值域与最值问题

例7求下列函数的值域：

(l)y=log2(x2+4)；

(2)y=log}(3+2%—%2).

［解］(l)y=log2a2+4)的定义域是R.

因为f+424,所以

所以y=log2(x2+4)的值域为［2,+°°).

(2)设M=3+2X—/=—(x—1)2+4W4.

因为M>0,所以0<MW4.

又v=log)〃在(0,十8)上为减函数，

所以log±u>log14=—2,

所以y=log9(3+2/—•一)的值域为［―2,+8).

金版点睛有关对数函数的值域的求法

(1)求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键是根据单调

性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围.

(2)对于形如y=log/x)(a>0且aWl)的复合函数，其值域的求解步骤如下：

①分解成y=logaM,两个函数；

②求人x)的定义域；

③求M的取值范围；

④利用y=logoM的单调性求解.

「跟踪训练7

(1)函数Hx)=〃+loga(x+l)在［0,1］上的最大值与最小值之和为a,则a的值

为()

11

A，B.2C.2D.4

(2)求函数y=log2(2—x)+log2(x+2)的值域.

答案(1)B(2)见解析

解析(1)当0<a<l时，因为y=(/在［0,1］上为减函数，y=log“(x+l)在［0,1］

上也是减函数，所以兀X)在［0,1］上为减函数,所以1X)max=A0)=l，兀)1抽=/(1)

=tz+loga2,于是l+a+log02=a,解得a=；；同理，当时，危)在［0,1］上为

增函数，所以兀¥)11侬(=/(1)=。+10802,人%)„加=/(0)=1,于是l+a+log02=a,解

得a=；,与a>l矛盾.综上，a=g.

(2—x>0,

(2)要使函数有意义应满足4所以一2<x<2,又y=log2(2—力+

x+2>0,

log2(x+2)

=log2[(2—x)(x+2)]=log2(4—f),xG(—2,2),

令U=4—^(—2<X<2),则当X=0时，Mmax=4,

得M©(0,4],又因为y=log2M是增函数，所以ymax=2,即函数的值域为(一

8,2].

随堂水平达标

1.函数而0=£+坨(1+力的定义域是()

1.V

A.(一8,—1)B.(1,+°0)

C.(―1,1)U(1,+°°)D.(一8,+8)

答案C