2024年中考数学真题分类汇编（全国）（第一期）专题18 三角形及全等三角形（40题）（解析版）

专题18三角形及全等三角形（40题）一、单选题1．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断．【详解】解：由图得，，，为直角三角形，共有4个直角三角形．故选：C．2．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（

）A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线【答案】B【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案．【详解】解：由作图可得：，∴线段一定是的高线；故选B3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解．【详解】解：如图所示，由题意得，，，∴，故选：B．4．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．【详解】解：∵是线段的垂直平分线，∴直线经过圆心，设圆心为，连接．

中，，根据勾股定理得：，即：，解得：；故轮子的半径为，故选：C．5．（2024·云南·中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（

）A． B．2 C．3 D．【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解．【详解】解：如图，∵是等腰底边上的高，∴平分，∴点F到直线，的距离相等，∵点到直线的距离为3，∴点到直线的距离为3．故选：C．6．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了线段垂直平分线的的性质，由线段垂直平分线的的性质可得，进而可得的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的的性质是解题的关键．【详解】解：∵垂直平分，∴，∴的周长，故选：．7．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（

）A．7 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案．【详解】解：由作图知，垂直平分，，的周长，，，的周长，故选：C．8．（2024·湖北·中考真题）平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查坐标系下的旋转．过点和点分别作轴的垂线，证明，得到，，据此求解即可．【详解】解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为，∵点的坐标为，∴，，∵将线段绕点顺时针旋转得到，∴，，∴，∴，∴，，∴点的坐标为，故选：B．9．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；（2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（3）过点作射线，则.

上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（

）A．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【答案】A【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.【详解】解：根据上述基本作图，可得，故可得判定三角形全等的依据是边边边，故选A.10．（2024·广东广州·中考真题）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可．【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C，故选：C．11．（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解．【详解】解：过点P作于点E，∵平分，，，∴，故选：C．12．（2024·四川凉山·中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明，再利用，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，∵，∴，∴；故选B．13．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案【详解】解：∵，∴，由作图知，平分，∴，又∴故选：B14．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（

）A． B． C．5 D．8【答案】D【分析】如图，把绕顺时针旋转得到，求解，结合，（三点共线时取等号），从而可得答案．【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到，∴，，，∴，∵，（三点共线时取等号），∴的最大值为，故选D【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合适的辅助线是解本题的关键．15．（2024·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线；第二个图，由作图可知：，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴为的平分线；第三个图，由作图可知，∴，，∴∴，∴为的平分线；第四个图，由作图可知：，，∴为的平分线；故选D．16．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键．利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论．【详解】解：A、连接，

∵，，，∴，∴

又∵点F为的中点∴，故不符合题意；B、连接，

∵，，，∴，∴，又∵点F为的中点，∴，∵,∴，∴，∴，∴，故不符合题意；C、连接，

∵点F为的中点，∴，∵，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故不符合题意；D、，无法得出题干结论，符合题意；故选：D．17．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（

）A．5 B． C． D．4【答案】C【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的信纸，求得的长度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性质得到是解题的关键．【详解】解：是四个全等的直角三角形，，，，四边形为正方形，，，故选：C．18．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（）A．或 B．或 C． D．【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．【详解】解：由方程得，，，∵，∴等腰三角形的底边长为，腰长为，∴这个三角形的周长为，故选：．二、填空题19．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为．【答案】/100度【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可．【详解】解：由，，∴，∵，∴，故答案为：20．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是．【答案】【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点在第一象限（不与点重合），且与全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出．【详解】解：∵点在第一象限（不与点重合），且与全等，∴，，∴可画图形如下，由图可知点C、D关于线段的垂直平分线对称，则．故答案为：．21．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件，使得．（只添一种情况即可）【答案】或（答案不唯一）【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一．【详解】解：∵∴，，∴添加条件，可以使得，添加条件，也可以使得，∴；故答案为：或（答案不唯一）．22．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是．【答案】/100度【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答．【详解】解：∵，∴，∵是边上的高，∴，∴，∵是的平分线，∴，∴．故答案为：．23．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，直线，直线，，则．【答案】30【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据两直线平行，同位角相等，求出的度数，根据三角形的外角的性质，得到，即可求出的度数．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴；故答案为：30．24．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，，，．则．【答案】66【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质，即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，故答案为：．25．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则．【答案】/度【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接，关于对称，∴，同理，，，，，是等腰三角形．，故答案为：．26．（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为．

【答案】/18度【分析】连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答．【详解】解：连接，，

∵五边形是正五边形，∴，∴，∴，∵点F是的中点，∴是的垂直平分线，∴，∵在正五边形中，，∴，∴．故答案为：【点睛】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．27．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则．【答案】6【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，．【详解】解：作图可知平分，∵是边上的高，，，∴，∵，∴，∴，故答案为：6．28．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则．【答案】【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解．【详解】解：∵，过点作，，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案为：，【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键．29．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为．【答案】60【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴平分，过点作，，则：，∵，且，∴，∴四边形的面积，∵，∴，设，则：，由勾股定理，得：，∴，解：，∴，∴，∴四边形的面积为60．故答案为：60．30．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则．【答案】2【分析】此题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，坐标与图形的性质，根据作图方法可得点H在第一象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第一象限内点的坐标符号可得答案．【详解】解：根据作图方法可得点H在第一象限角平分线上；点H横纵坐标相等且为正数；，解得：，故答案为：．31．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，则的度数为；

【答案】/100度【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差．根据三角形的内角和可得，根据，得到，，从而，根据角的和差有，即可解答．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，，∴∴．故答案为：三、解答题32．（2024·四川乐山·中考真题）知：如图，平分，．求证：．【答案】见解析【分析】利用证明，即可证明．【详解】解：平分，，在和中，，，．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握、、、等全等三角形的判定方法是解题的关键．33．（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，，(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键.（1）先证明，再结合已知条件可得结论；（2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论.【详解】（1）证明：∵∴，即∵，∴（2）∵，，∴，∵，∴34．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，．若________，则．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．【详解】解：选择①；∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即；选择②；无法证明，无法得出；选择③；∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即；故答案为：①或③（答案不唯一）35．（2024·广西·中考真题）如图，在中，，．(1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点D，E，作直线，则直线l即为所求．（2）连接，由线段垂直平分线的性质可得出，由等边对等角可得出，由三角形内角和得出，则得出为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出的长．【详解】（1）解：如下直线l即为所求．（2）连接如下图：∵为线段的垂直平分线，∴，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．36．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．(1)求证：．(2)若，求证：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质：（1）由中点，得到，由，得到，即可得证；（2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证．【详解】（1）证明：为的中点，．

；

在和中，

；（2）证明：垂直平分，．37．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，．求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题．【详解】证明：，，即，在和中，，．38．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，