2024年高考数学复习大题全题型：12 利用导数解决双变量问题（解析版）

专题12利用导数解决双变量问题

1.(2022.浙江.高考真题)设函数/(%)=塌+仇％(%>0).

⑴求/(%)的单调区间；

(2)已知eR,曲线y=/(%)上不同的三点(%2，/(%2))，(%3，/(第3))处的切线都经过点(风力)・证明：

(i)若a>e,贝依<匕一/(口)<16—1)；

/、j卜八r/2e—ct112e—a.

(u)右°<a<e,/<%2<*3，则]+萨(云+需<%一

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

【答案】(l)/(x)的减区间为(05),增区间为(|,+8).

(2)(i)见解析；(ii)见解析.

【解析】

【分析】

(1)求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.

(2)(i)由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，(ii)==

则题设不等式可转化为G+t3-2-[<竺嗯器萨),结合零点满足的方程进一步转化为"山+

(小1)力：3)(个-加+12)<0,利用导数可证该不等式成立.

72(771+1)

(1)

当0<久<3，/'(%)<0;当X〉：，>0,

故〃久)的减区间为(0,9,7(X)的增区间为a+00).

⑵

(i)因为过(a,b)有三条不同的切线，设切点为(孙/(Xi)),i=1,2,3,

故/'(%)—b=fXxi)(Xi-a),

故方程/(%)-b=/'(%)(%-a)有3个不同的根，

该方程可整理为G—袅)(久一切一盘一济x+b=0,

设g(x)=G-聂)-一盘一伍％+b，

则g'(x)=(-W+(-2+3(%—。)V+W

=—(x—e)(x—a),

当0<%Ve或久>a时，g\x)<0；当eV%Va时，g'(%)>0,

故g(%)在(0,e),(见+oo)上为减函数，在(e,a)上为增函数,

因为g(%)有3个不同的零点，故g(e)<0且g(a)>0,

——Ine+b<0且Q-2^a^)(口一口)—2a—Ina+b>0,

2e

整理得到：6<挈1且b>>"a=f(a),

\a,13ej

此时6—/(a)—1)<+1-+/na---1--=-----Ina,

£(£72e222a

设〃(a)=|-吴一Ma,则〃'0)二若<0,

2za2az

故a(a)为(e,+<»)上的减函数，故&(a)<|-^-Zne=0,

故0<b-/(a)<jg-1).

(ii)当0Va<e时，同(i)中讨论可得:

故g(%)在(0,a),(e,+oo)上为减函数，在(a,e)上为增函数,

不妨设<上V%3，则0<VaV%2V?<13,

因为0(%)有3个不同的零点，故g(a)V0且g(e)>0,

——Ine+b>0且一瓦(口-Q)一~2a—Ina+b<0,

2e

整理得到：-+l<b<-+lna,

2e2e

因为％i<x2<去，故0VVa<%2<eV%3，

■,-»/、ya+e,6(1,

又g(%)=1----+—-lnTx+bT,

x2xz

设T，£==e(。,。则方程1一岁+券Tn%+6=°即为:

一与々+-^t2+Int+b=0即为一(TH+l)t+yt2+Int+b=0,

记’1=£也==p

X1x2x3

贝!为一(血+l)t+£产++b=。有三个不同的根,

设卜W=加=£<1,

要证:/黄♦—署即证2+差<“+三〈%爱

即证:

即证:(0+t3_T)(A+T+詈)<0,

2(m-13)(m2-m+12)

即证:

tl+t3_2_/<36m(ti+t3)

而一(??！+1)G+5号+仇“+Z)=0且一(7?2+1)J+］恃+济心+b=°，

故上—Int3+y(ti—tf)—(m+l)(tt—t3)=0,

树]+t3_2'=，x^^

15

mmtx-t3

2int-Znt(7n-13)(m2-m4-12)

故即证:-X--x---3<----------

mt1-t3367n(S+J)

即证：(“+，)叱~(徵-13)(>26+12)>°

七1一七372

即证.(/c+1)Ink+(7n-13)(*-m+12)>0

k-172

记(p(k)=(k+；)：k,卜>],则/(A)=7-^-7(fc-2Znfc)>0,

K-11兄一刀\/C/

设认k)=k-l-2lnk,则伍㈤=1+专一公*。即w@)>0,

故9(k)在(L+8)上为增函数，故0(k)>(p(m),

(m-13)(7n2-m+12)(m+1)Inm(7n-13)(7n2-m+12)

所以胃詈+>

72m-172

(?n-l)(7n-13)(?n2-7n+12)

t己a(zn)=Inm+0<m<1,

72(m+l)

(7n-l)2(37n3-20m2-49m+72)>(m-1)2(3m3+3)>

则3’(?n)=0,

72m(m+l)272m(m+l)2

所以3(m)在(0,1)为增函数，故3(皿)<3(1)=0,

故,M+(…喘鬻-…)/八日口(m+1)bim,(m-13)(?n2-m+12)、

<U即---------1---------------------->

m-172

故原不等式得证:

2.(2022•广东•华南师大附中三模)已知函数f(x)=xm久+£/一三存在两个极值点不，三(/<犯).

(1)求实数。的取值范围；

⑵判断怨)的符号，并说明理由.

【答案】⑴(-1,0)

(2)/(殁⑵)符号为正；理由见解析

【解析】

【分析】

(D根据函数有两个极值点得到导函数有两个变号零点，参变分离后构造函数□(%)=—(x>0),研究其单调性和

极值情况，得到交点个数为两个时实数。的取值范围，再验证此范围符合要求；

(2)转化为2=，利用对数平均不等式得到—工<弩，结合/0)在区间(乙，右)内单调递增，且外1)=0,

得到等)>"1)=0.

(1)

,.1/"(%)=xZnx+|x2>0)有两个极值点，

•=1+Inx+ax,%>0有两个变号的零点.

1+Zn%+ax=0,—a=----，

X

令h(%)=1+lnx(x>0),□'(%)=

Xxz

当xe(0,1),/i'(x)>o,□(%)单调递增；

当xe(l,+8),h'(x)<0,□(%)单调递减;

所以DCOmax=D(l)=1.

画出函数图象如下：

y=-a与口(X)有两个交点,

***0<-CLV1.

当0<-a<1时，当0<%<X］或x>%2时，-a>一矢,f(x)<0；

当无1<%<%2时，—a<1+：*'f(%)>0.

所以/(%)在区间(0,/),(冷,+8)单调递减，在区间(修,到)内单调递增•

所以/'(X)的极小值点为X1，极大值点为

所以a的取值范围为(一1,0)

(2)

詈)符号为正.

理由如下：

由(1)可知，0<石vlv%2.

又因MW产:%U，

(1+lnx2+CLX2=0

Inx2—In%=—a(%2—%i)

,1_X-X%i+%2

・・-二---2-；1<~~~.

-aInx2-lnx12

现证明上式：

上式可变形为。包>2"：巧),0<%!<%2

令”资，则只需证mQ>1).

X1t+1

设0(t)=bit-黄(t>l)，〃⑴一^^>0,

所以0Q)在(1+8)上单调递增，

从而夕(。>°(1)=0,即mt>^2(t〉i),

.1%i+%2

a2

又因为0<—a<1,所以—：>1

综上可得：x1<l<-i<^<%2.

“X)在区间(亚,犯)内单调递增，且外1)=0，

所以/(弩)>〃1)=0.

故f詈)符号为正.

3.(2022•黑龙江・哈尔滨三中模拟预测(理))已知f(久)=：/一］历久一a(x-l).

⑴若/(%)恒有两个极值点%1，%2(%<冗2)，求实数〃的取值范围；

(2)在(1)的条件下，证明/(/)+，(久2)>|.

【答案】⑴(0,1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)根据极值点的定义可知方程f'(%)=。有两个不等实根，即函数y=。与口(久)=x-xInx(x>0)图像有两个交点，利

用导数研究函数〃(%)的单调性求出h(x)的值域，结合图形即可得出结果；

(2)构造函数G。)=九(%)—九(2—%)(1<%<2),根据导数研究它的单调性进而得九(%)>h(2-有马>2-玉>1>不，

构造函数9(%)=/(%)+/(2-%)(0<%<1),

利用导数证明/0)>/⑴=|,结合/3)+“X2)>/(刈)+/(2-/)即可证明.

(1)

函数/(%)的定义域为(0,+8),/'(%)=x-xInx-a,

则方程/'(%)=0有两个不同的正根，

即函数y=Q与□(%)=x-xInx(x>0)图像有两个交点，

//(%)=-仇％,令□'(%)>0n0<%<1,令"(x)<0nx>l,

所以函数版幻在(0,1)上单调递增，在(1,内)上单调递减，

所以九(%)7na%,且当％£(0,1)时，口(久)=x—xlnx=%(1—Inx)>0,

当％G(1,+8)时，□(%)=x—xlnx=x(l—Znx)<0,如图,

V

1v=a

卜y=a(x\

由图可知。£(0,1);

(2)

设G(%)=□(%)—匚(2—％)(l<x<2),

则G'(%)=□'(%)+口'(2—%)=-Zn(-%2+2x)>0,

G(%)在(1,2)单调递增，故G(x)>G(l)=□⑴-0(1)=0,

即□(%)>D(2-x)(l<x<2).

而2一汽1€(1,2),故口(2-％J>D[2-(2-/)]=□(%1)=□(小)，

又x2>1,/x)在(1,+QO)单调递减，故2-％1<%2，即第1+外>2；

由％1+%2>2知％2>2-玉>1>王；

由(1)知，f'{x}=x-xlnx-a,/、孙为函数/(%)的极值点，

当xe。％)时尸(%)<0,函数/1(%)单调递减,

当%6(%1，%2)时尸(%)>0,函数/(%)单调递增，

XG(%2,+8)时尸(久)<0,函数/(第)单调递减，

所以f(%2)>/(2-X1)，故/(%1)+/(%2)>/U1)+/(2-％1)，

令尸(%)=/(%)+/(2—%)(0<%<1).

F(%)=/(%)—/(2—%)=2(%—1)—x/nx+(2—%)Zn(2—%),

F"(x)=—①(2—x)—Inx,令F"(%)>0=>0<x<l,故当0VxV1时，

F'Q)单调递增,且产'(1)=0,所以尸'(%)V0,故F(%)单调递减，

由0<x<1,得F(x)>F(l)=2/⑴=I，

BP/(x)+f(2—%)>I，即f(向)+/(%2)>I-

4.(2022・湖南.雅礼中学二模)已知/'(x)=也万一久之-0<久1<到.

⑴求/(久)的最大值；

(2)求证：⑴存在无。«西,々)，使得-Oo)=等2户；

xl-x2

(ii)当存在毛«4尤2)，使得尸(&)=驾三丝时,+x2>2x0.

【答案】(1)—2；

⑵(i)证明见解析；(ii)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)利用导数判断函数的单调性，进而求最值；

(2)构造尸(久)=/(x)-也止3(尤-/)-，(%),进而可得F'(X2)<0<F'OI)，结合函数单调性及零点存在定理

%1一*2

即得；由题可知即证尸(弩)<f'Oo)="蓝爹",再利用导数解决双变量，构造函数g(t)=誓-]M，利用导数

判断函数的单调性即得.

(1)

法一：八无)—+(：+*),

7XX2X2

当0<%Vl时，/'(%)>单调递增；当久>1时，/'(%)V0/(%)单调递减.

•-f(%=/⑴=一2.

法二：/'(%)=§-2%+2,

由y=~.y=-2x,y=2在(。,+8)上均为减函数,

.•./0)在(0,+8)上单调递减，又「(i)=o,

.•.当。<%<1时，/0)>o,y(x)单调递增；当％>1时，/'(X)<o,y(x)单调递减.

⑵

过(的厅(/))，(不力(冷))的直线方程为V=号:等(X-%1)+/(%1),

令尸0)=f(x)-"弃(%-%1)-/(%!),则尸(久1)=F(%2)=0.

X1-X2

F'(x)=i-2x+4-

z

Xxxr-x2

易知P(%)在(0,+8)单调递减.

(i)当F'(%1)<0时，F(%)在(%1，%2)单调递减，则"%1)>F(X2),这与F(%1)=F(X2)=0矛盾，不符题意；同理可证,

当F’(%2)>。时不符题意•

尸’(%2)<0<尸(%i)，

故存在毛€(%,々)，使/'(不)=0,即/~(Xo)=:7

(ii)要证+x2>2x0,即证>>上,

由尸(x)在(0,+8)单调递减，即证/’(空)<「(曲)=陪詈，

Xi(22\.X1~x2

即证3-(x%)+<0，

1+2z-瓜…④为

x1+x2(x1+x2JX1-X2

即证跑3-^+>o,

l11n1，⑵斐z尸

xr+x2x2(x1+x2)x1x2

可证9(。=^^一1«20(*)，其中t=£w(O，D.

•••g(t)在(0,1)单调递减，

•,■g(t)>g(l)=0,(*)式得证,

故+x2>2x0.

5.(2022•安徽•合肥一六八中学模拟预测(理))已知函数f(x)=ex-e-x—ax(e为自然对数的底数)，其中a€R.

(1)试讨论函数〃久)的单调性；

(2)若g(x)=f(bix)有两个极值点/和冷，记过点2(%i，g(久J)，8(%2,9(%2))的直线的斜率为鼠同：是否存在。，使得

fc=2-a?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由

【答案】(1)答案不唯一，具体见解析；

(2)不存在；理由见解析.

【解析】

【分析】

(D求出函数f(x)的导数f'(x),分aW2和a>2分别讨论尸(x)值的符号作答.

(2)根据给定条件，求出斜率也在k=2—a成立时可得=1,分析整理并构造函数，利用函数探讨单调性

X1-X2

质即可推理作答.

(1)

函数/'(x)-ex—e^x—ax定义域为R,求导得/'(x)-ex+e^x—a,而e*+e^x>2,

则当aW2时尸(x)N0,即/(x)在R上为增函数，

当a>2时，由尸(x)>0,得蜡+6-工一。>0,BP(ex)2-aex+1>0,解得二>曳我三或靖〈匕正I

22

则有X>仇伫区三或久<77三，由尸(x)<0,解得历匕三〈久〈机叱军三，

2222

所以/(X)在(仇上尹,仇竺手三)上递减，在18,仇匕苧三)和(伍二三,+00)上递增.

(2)

依题意，^(%)=%-1-aZnx,求导得g'(x)=1+*—?=玲姜匚,

9(%)有两个极值点，即，(幻=。在(0,+8)上有两个不等根%1和％2，则Q>2,且%1%2=1，

x-

因为9(%i)—g(%2)=(%i-2)+~一a(伍光1—Inx2)=2(xt—x2)a(仇%]—Inx2)f

则卜=322=2一口•竺汩些，若存在必使得k=2—a,则竺二些=1,

%]一%2%]—%2%]一％2

即仇工1—仇％2=—%2，不妨令。<玉<1<%2，亦即久2-----2仇％2=°(%2>1)成立，

令九(t)=t―^—2lnt,z>l,h'{t)=1+^—|=(1—|)2>0,因此□«)在(l,+oo)上递增，

Vt6(l,+8),h(t)>ft(l)=0,于是得当第2>1时，x~--2Inx=0不成立，

2X22

所以不存在。，使得k=2-a.

6.(2022•江苏泰州•模拟预测)已知函数/(无)=ex-ax2+-1,其中a,b为常数,e为自然对数底数,e=2.71828

⑴当a=0时，若函数f(x)>0,求实数6的取值范围；

(2)当6=2a时，若函数〃久)有两个极值点％2，现有如下三个命题：

x

①7%i+bx2>28；②2VH(X[+x2)>3%1右；③Jr1-1+J2~1>2;

请从①②③中任选一个进行证明.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

【答案】⑴{-1}

⑵证明见解析

【解析】

【分析】

(1)分b20,b<0讨论，当8<0时，求/'(x)的最小值，根据/(X)疝9可得；

(2)将问题转化为0(%)=/(久)有两个零点，先利用导数研究两个零点的范围，然后由e%=2a%!-2a,=2ax2-

2a,作商取对数得％2—血="(%2—1)-)。i—1)•若选①，令u(t)=t—Int,构造函数u(t)=it(t)—n(2-t),若

选②，构造函数v(t)=a(t)-aG)根据极值点偏移问题的方法可证；若选③，构造函数=-等(t>l),

由单调性可证.

(1)

当a=0时，/(%)=ex4-fox-1,/(x)=ex+b

当bNO时，因为/(—1)=(，—1)—b<0,所以此时不合题意；

当方<0时,当％<(—8,当(—b))时,((%)<0,/(%)单调递减，

当%e(山(一b),+8)时，/(%)>0,/(%)单调递增，

所以/(%)(仇(一力))仇(一㈤加九，

要/(%)>0,只需f(%)仇(一力)而打，

令g(%)=x—xInx—1,则g'(%)=—Inx,

当％E(0,1)时，“(%)>0,g(%)单调递增；

当％w(l,+8)时,g'(x)<0,g(%)单调递减，

所以g(%)<g(l)=0,则由g(-b)=-b+bln(-b)-1>0得一b=1,

所以b=一1,故实数。的取值范围为{一1}.

(2)

当b=2a时，f(x)=ex—ax2+2ax-1,/(%)=ex-2ax+2a,

令3(%)=/'(%)=ex—2ax+2a,贝1］“(%)=ex—2a,

因为函数f(%)有两个极值点%i，犯，所以9(%)=1(%)=靖一2a%+2a有两个零点，

若则g'(%)>0,9(%)单调递增，不可能有两个零点，所以。>0,

令"(%)=ex-2a=0得％=ln2a,

当％G(—co,In2a)时,(p'(x)<0,@(%)单调递减；

当XW(近2a,+8)时，(p\x)>0,*(%)单调递增;

所以9(%)(仇2a)In2min,

因为9(久)有两个零点，所以4a-2a仇2aV0,则a〉｝〉，

2

设石<%，因为0(1)=e>0,w(2)=e—2a<0,贝"1<<2<x2f

X2

因为@(久1)=0(%2)=0，所以e'i=2a%i—2a,e=2ax2—2a,

则詈=取对数得%2-=①(%2-1)一上(%1-1)，

令％i—1=tlf&-1=力2，则12—=lnt2—Intr,即12—lnt2=tr—In^^O<t1<1<t2)

①令〃«)=力一①t,贝!J〃(h)=〃(力2)，因为〃'(。=1一%所以a⑴=t一伍亡在(0,1)上单调递减，在(1,+co)上单调递

增，

令u(t)=u(t)—u(2—t)=2t—Int+ln(2—t)—2(0<t<2),

则u'(t)=若当<o,u(t)在(0,2)上单调递减，

因为0<ti<1,所以>v(l)=0,即〃Qi)—u(2—0)>0,

亦即〃(力2)=〃Qi)>u(2-tj,

因为12>1，2-t>1,=t-伍t在(l,+8)上单调递增，所以以>2-力i，

则％2—1>2—(%1—1),整理得第1+%2>4,

所以2a%i+7X2>7/+7%2>28,故①成立

②令〃(t)=t—Int,则〃(ti)=〃(力2),

因为优⑴=所以〃⑴=［一》［在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

令u(t)=u(t)-a(3)=t—，一2①如贝！=~r~20，u(t)在(0,+8)上单调递增，

又u(l)=0,所以当te(0,1)时，v(t)<v(l)=0,即〃(t)v〃G),

因为七2>1，2—力1>1,〃(。=力一①t在(1,+8)上单调递增，所以七2<(，

1

所以％2-1V—7，即%1%2V%1+汽2，

xi-

所以％1%2<+%2Vl~e2(xl+%2)<+%2)，

即3%I%2<2VH（/+第2），故②成立.

③令久i—l=％2-1=12，贝弃2—="力2—仇“=2仇J程

令F(t)=bit—答仕>1)，则F'Q)=Mg>0,

.*.F(t)=Int-笔也在(1,+8)上单调递增，则尸⑴=Int-左3>F(l)=0,

.t>22,则切―ti=2)户>2挛6=4•簪驾

t+i21户+i怎+花

两边约去伤-风后化简整理得风+花>2,即信=I+1I>2,

故③成立.

7.(2022.北京.北师大二附中三模)已知函数/'(%)=e*(l+minx),其中m>0,/'(x)为/'(%)的导函数.

⑴当巾=1,求/(久)在点(14(1))处的切线方程；

(2)设函数八O)=华，且□(%)>:恒成立.

x

e2

①求m的取值范围；

②设函数/'(X)的零点为与，/'(X)的极小值点为%1，求证：x0>x1.

【解析】

【分析】

(1)利用导数的几何意义即可求解.

(2)①先对函数/(x)=e*(l+小"》)求导，得到/■'(%)=e*(1+：+znfrix),推出h(x)==1+?+mhix,求

导，得到"(x)=g^(x>0),解对应不等式，得到h(x)单调性，求出其最小值，再根据□(£)2|恒成立，即可得出

结果；

②先设9(K)=尸(x)=e苫(1+2+小伉%)，求导得g'(x)=e*(1+子—蓑+m上％)

设H(x)=l+W-菱+m伉x(x>0),对其求导，判定单调性，从而得到函数g(x)单调性，得到冷是函数9(x)的极小

值点，得到冷=xi>再由①得爪=|时，h(x)>|,推出所以小比久+?>m,得到g(x)>。(勺)>0,得到函数/(x)在

区间(0,+oo)上单调递增，再由题意，即可得出结论成立.

(1)

m=1时，/(%)=ex(l+Inx),/z(x)=ex(^1+Inx+习,/'⑴=2e,/(l)=e,所以函数在久-1处的切线方程

y-e=2e(x-l),即y=2ex—e.

(2)

①由题设知，/'(x)=e*(1+?+zn7x)(x>0),

h(x)==1+^-+minx,□(%)=皿；0(%>0),

由/i'(x)>0,得x>1,所以函数L(x)在区间(1,口)上是增函数;

由今(%)>0,得OV%V1,所以函数□(%)在区间(0,1)上是减函数.

故九(%)在％=1处取得最小值，且口(1)=1+TH.

由于h(%)>|恒成立，所以1+mN£得m>|,

所以m的取值范围为|,+oo)；

②设g(%)=r(%)=e%(1+?+mInx^,则g(%)=?%。+?一黄+771•

设“(%)=1+誓一要+血仇久(久〉0),

2m2mmm(x2-2x+2)

则“'(%)=------------------>0,

X2X3X

故函数H(x)在区间(0,+00)上单调递增，由⑴知，m>|,

所以H(l)=m+l>0,H(j)=l-mZn2<l-Zn2V2<0,

故存在使得H(X2)=O，

所以,当0<支<打时，”(%)<0，g'(%)v0,函数g(%)单调递减;

当%>次时，H(%)>0,g'M>0,函数g(%)单调递增.

所以%2是函数9(%)的极小值点•因此%2=即为1e

由①可知，当血=：时，/l(x)>即1+五+三仇%>9,整理得仇工+工之1,

所以mInx+^>m.

因此9(%)>g(%i)=(1+：+m上％J>eX1(l+m)>0,即/'(%)>0.

所以函数f(%)在区间(0,+8)上单调递增.

由于H(打)=0,即1+等—^+mlnx1=0,

,,m2m

即ana1+THLTlX]=-----,

X1X11

所以/'(%])=e(l+mInxt)=me<0=f(x0).

又函数f(x)在区间(0,+8)上单调递增，所以殉>X1.

8.(2022•河南•模拟预测(文))已知函数/1(%)=ax-Inx的最小值为1.

(1)求实数a的值；

(2)过点M(l,zn)(7n<1)作f(x)图象的两条切线MA,MB,A(,),次打,先)是两个切点，证明:>

X1yix1x2l-

【答案】(l)a=1

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)定义域为(0,+8),函数f(x)有最小值，必然不单调，易求出极小值即最小值，代入可答案.

(2)利用切线方程，消去M得至拄1/2的等式关系套一己=lnx2一mX1，将打久2>1变形得到后花(专一己)>2一2=

仇藁，令j|j=t构造函数，得证.

(1)

f'(x)=a—3

当aSO时，f\x)<0,/(%)在(0,+8)单调递减，不合题意；

当a>0时，在(0,$上，/(%)<0,在(3，+8)上，f\x)>0.

/(X)在(0,工)单调递减，在(L+8)单调递增，

aa

故/'(x)的最小值为/(}-1-/ni=1=a=1；

⑵

1_y±-m_x-lnx-^-m

证明：k=/((xi)=1r—2+—=—lnx—m(*),

AMx1

%!xt-lx±-li

同理，-2d——=-Inx2-

两式相减得^----=lnx2—Inx19不妨设石<%2，

X1X2

要证比1%2>L只须证VX62>L即Wl%2s।吟'

BPiiE>'”资，令^^=t(t>1),即证t—：一2171t>0,

设h(t)=t-2Znt(t>1),□'«)=i+合一：=(1一｝)2>0恒成立,

故以。为增函数，口0>口(1)=0,故原式得证.

9.(2022・浙江・赫威斯育才高中模拟预测)已知a6R,函数/(久)=x伉2x-尤+£+2.

(1)当a=0时，求/(久)的单调区间和极值；

(2)若/(久)有两个不同的极值点X〉%2(%1<%2)-

(i)求实数a的取值范围；

(ii)证明：lnX1+2lnx2<-l-3ln2(e=2.71828……为自然对数的底数).

【答案】(1)递减区间为［。1)，递增区间为G，+8),极小值为永无极大值

⑵⑴(一专,0)；(ii)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)求出了(%)解析式，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的极值；

(2)⑴由尸(%)=2%2芸支一。,构造函数g(x)=2/"2%-a(%>0),将问题转化函数g(%)有个不同的零点%1、%2,利用

导数分类讨论函数当a20、-；<a<0、-《<a<0时的单调性，结合极值点的定义即可得出结果;

4e4e

(ii)由⑴，利用换元法可得1+2)}t<—2,令爪=户>1,整理可得上加>*2,

1-t22m+2

利用放缩法和导数证明/(巾)=Inm—:工在(L讨)上恒成立即可.

(1)

当a=0时,/(%)=xln2x-x+2(%>0),则尸(%)=①2久，

11

故当0<无<一时，/(%)<0,当%时,/(%)>0,

22

故〃X)的递减区间为,递增区间为C，+00),

极小值为了©)=1，无极大值；

(2)

⑴因为尸(x)="2x-三=2小叱I(X>0),

令9(%)=2/仇2%-a(%>0)，问题可转化函数g(%)有个不同的零点%1、

又g'(%)=4%①2%+2%=2x(2仇2%+1),令。(％)=0=>%=泰，

故函数久久)在(0,4)上递减，在(壶,+oo)上递增，

故以久)(矗)之讥’故一日一。即空一总

当a20时，在%€(0,嘉)时，函数g(x)W2/"2久<0,不符题意，

当一a<a<。时,则9((^)>0，9(击)<°，9©=一。>0,

即当一专<”°时,存在久】6(0,嘉)，*2«泰，+8),

使得/(%)在(0/1)上递增，在(%1，%2)上递减，在(%2,+00)上递增，

故了(%)有两个不同的极值点%1、％2的a的取值范围为(-^，°)；

(ii)因为久1E(。，^^)，%2E(壶,+8),且好上2/=%2仇2&，

令三=,«〉1),则仇2/=匕与，仇2%2=/白，

玉1i-t2i-t2

又仇x1+2Inx2<一刍一3仇2=仇2+2仇2%2<--<=>、+2)：九七〈一£,

1z21z21-t22

令m=t2(m>1),即只要证明8+2)比爪>e(m>1),即仇zn>史上12,

、'm-l、m+2

令F(7n)=Inm——粤—,

\Jm2+4m+l

22

i6m(m+4m+11—3(m—11(2m+4)，2、4R2,、4

贝|JF\m)=—_____、)\)''_112(7n2+m+l)_m4-4m3+6m2-4m+l_(m-l)4

m+4/72+1)m(?n2+4m4-l)2m(m2+4m+l')2m(m2+4m+l)2

故尸(爪)在(1,口)上递增，且尸(1)=0,所以尸(附>0,即伍小>急杀

从而1九THe(m—l)>3(m2-1')e(m-l)(m-l)[(3-e)?n24-(9-4e)/n+6-e]

m+2m2+4m+lm+2(m2+4m4-l)(?n4-2)

又因为二次函数y=(3-e)m2+(9-4e)m+6-e的判别式4=12e2-36e+9<3[4x2.722-12x2.72+3]<0,

即(3—e)m2+(9—4e)m+6—e>0,即仇?V

所以(zn+2)dm>?在(l,+oo)上恒成立，故仇%1+2InX2<-3/n2.

10.(2022・陕西・汉台中学模拟预测(理))已知函数+£+b(a,bER).

⑴求函数/(%)的极值；

X2

⑵若函数f(%)的最小值为0,%1，%2(石<%2)为函数。(%)=/(%)-1的两个零点，证明：e-elnxr>2.

【答案】(1)极小值为上a+b+1,无极大值

⑵证明见解析

【解析】

【分析】

(1)首先求函数的导数尸(%)=詈，分aW0和a>0两种情况讨论函数的单调性，再求函数的极值；

(2)首先由函数的最小值，确定仇a+b+l=0,再结合零点存在性定理确定?<%iV|,ea<x2<4a,可得e%2一

eln>eea.eIn],再通过构造函数求函数的最小值.

(1)

•・"(％)="x+£+b(冗>0),・•・/'(%)=：—委=詈，

若时，则尸(£)>0恒成立，

・・・/(%)在(0,+8)上单调递增，故/(%)没有极值；

若a>0,则当％£(0,a)时，尸(汽)<0,/(%)单调递减，

当%w3,+8)时,尸(%)>o,/(%)单调递增，

•••/(%)有极小值，极小值为f(a)=Zna+h+1,无极大值.

(2)

证明：由(1)可知，当Q>0时，/(无)有最小值，/(%)mE=上。+力+1，

由函数/(%)的最小值为0,得上a+b+l=O,

由题知g(%)=/(%)—|=Znx4-

g(B)=/n^+2+6-1=|—Zn2<0,g(?)=/na—l+e+b—|=e—1>0,

・•.；a<7Xi</-a,

1111115

g(ea)=l+Zna+-4-6—-="--<0,g(4a)=ln4+lna+-+b--=ln4-->0,

X2ea

・•・ea<x2<4a,•<-e-eIn>e-eln^(a>0),

ex

令h(x)=e-ejnp则□'(%)=e(e=_J,

令p(%)=eex-p则p(%)在(0,+8)上单调递增,

又P(D=0，「•在(°彳)上，P(%)<。，"(%)V0，□(£)单调递减，

在(3,+8)上，p(x)>0,/l'(%)>0,□(%)单调递增，

八⑺G)ee；elnfeeln^eelnemin,

・•・e%2—eInxr>2得证.

11.(2022•全国•模拟预测)已知函数f(%)=%,%+a/一口.

⑴当a=-1时，求曲线y=在x=1处的切线方程；

(2)若/(久)存在两个极值点无】、%2,求实数a的取值范围，并证明：/(中)>0.

【答案】(l)x+y-1=0；

(2)-|<a<0,证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)先求出"1)=0,再根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而可得切线方程；

(2)将函数f(x)存在两个极值点转化为其导函数存在两个零点，构造函数，利用导数研究函数的单调性及最值，进而得

至ija的取值范围，由f(l)=0,可知要证/(型)>0,只要证空>1,只要证“2>-5—修，构造新函数，利用导

数研究新函数的单调性，进而可得结果.

(1)

当。=一1时，/(x)=xInx-x2+贝Uf(1)=0,

/'(%)=1+Inx—2x,=-1,

曲线y=/(%)在％=1处的切线方程为y=-(%-1),即％+y-1=0.

(2)

由题意知/'(%)=1+①％+2ax,

令g(%)=1+Inx+2ax,%>0,

・・,/0)存在两个极值点，・,.g(%)有两个零点，

易知g’(%)=:+2a=2a：1,

当aNO时，g\x)>0,gO)在(0,+8)上单调递增，g(x)至多有一个零点，不合题意.

1

当a<。时，由g'Qr)=0得％=,

若工€(0,一点)，则g'(%)>0,g(%)单调递增；

若%£(-/+8),则“(%)V0,g(%)单调递减.

要使9(%)有两个零点，需“一点)=①(——>。，解得一片a<0.

当一片a<0时，9©)=§<0,・,.g(%)在&一方)上存在唯一零点，记为%1.

•••/一(一/卜翳>。，•*>—a"康)=1+m/+;，

设1=一，贝此>2,令/i(t)=l+2伍t-23t>2,则□&)=|一2<0,

；./1(£)在(2,+8)上单调递减,<h(2)=2Zn2-3<0,即g0)<0,

.•.g(x)在(-点七)上存在唯一零点，记为立

则/(%),/'(%)随％的变化情况如下表：

X(久2,+°0)

(0,%i)%10,x2)%2

-0+0-

fix)极小值/极大值

...实数a的取值范围是(一|,0).

・・・g⑴=l+2a>0,-^>1,：^<X1<l<x2,

•.»⑴=0,.•./(/)<0</3)，

〈牛<冷，.•.要证/(詈)>o,只要证号>i,

只要证野〉一点，只要证到>-，/，

又一［一Xi>X1，.•.只要证g(%2)<9(-1—久1)，即证g(*i)<g-的)―

设尸(X)=g(x)—9(一，X)，0<x<

则/⑺=g(x)+*_『)=篝詈>0，

-I

上/元)在0<x<一直时单调递增，

AF(x)<?(—J=g(一/)-g(-(+£)=。,

••・g(%i)vg(-(一％J成立，即/(包产)>o得证.

12.(2022・山东威海•三模)已知函数/(%)=21nx-x+0.

(1)当a=3时，求f(%)的单调区间;

(2)若/(%)有两个极值点%1，%2，且玉<%2，从下面两个结论中选一个证明.

①2；

%2一%17a

+2仇2—2.

【答案】⑴/⑴的单增区间为&|);单减区间为(。，£[,||，+s]

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(D首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解；

(2)若选①，不等式转化为证明<,=焉,变形为证明"£<族f|=通过构造函数U(t)=

2Int->1,即可证明；

若选②，首先根据函数有两个极值点，证得1V&V2,/(%2)-|a=2/n%2-x2+^-|a,再变换为/(冷)一彳。=

•J%2JJ

2Znx2+|%i-y%2+2,通过构造函数，利用导数，即可证明.

⑴

—%2+2%—CL

fO=：T-姜(%>0),

(2%-1)(2%-3)

4%2

令尸(x)>0,解得]<%<|；令尸(久)<0,解得0<x<；或x>|,

所以f(x)的单增区间为e，m；单减区间为

⑵

证明①：由题意知，小,外是9-2丁+“=0的两根，则产二