2022-2023学年江苏省江浦某中学（文昌校区）秦淮中学玄武某中学高二年级上册10月学情调研数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省江浦高级中学〔文昌校区〕、秦淮中学、

玄武高级中学高二上学期10月学情调研数学试题

一、单项选择题

22

1.双曲线之一方=1(a>0,6>0)的实轴长为4,离心率为石，那么双曲线的标

准方程为0

AV

A.—B.

4I64

Cx-1

D.

236

【答案】A

【分析】利用待定系数法即可求解.

22

【详解】因为双曲线斗=1(<2>0,^>0)的实轴长为4,所以a=2,

a

由离心率为右，可得£=逐，c=2右,

a

所以人=>lc2-a2=720-4=4,

那么双曲线的标准方程为土一L=1.

416

应选：A

2.圆d+V-Zznx-K机+2）丫+4裙+4m+1=0（加工0）的圆心在直线x+y-7=0上，那

么该圆的面积为0

A.4万B.2兀C.%D.—

2

【答案】A

【分析】配方得出圆心坐标，代入直线方程求得参数，"值，然后可得圆半径、面积.

【详解】圆的方程可化为（*-〃?）2+6-2/-1）2=＞（加田0）,其圆心为（加,2m+1）.依题

意得，机+2m+1-7=0,解得机=2,•,•圆的半径为2,面积为4万，

应选：A.

3.假设平面内两条平行线4：x+（a-l）y+2=0,3“x+2y+l=0间的距离为竽，

那么实数。=0

A.-2B.-2或1C.-1D.-1或2

【答案】C

【分析】根据平行关系得出。=2或。=-1,再由距离公式得出。=-1满足条件.

【详解】V////,,.-.a(a-1)=2,解得4=2或。=一1

当a=2时/12T3五,当a=—i时〃=乜毅=土叵

"FF65

应选：C

4.直线『sina+y+2=0的倾斜角的取值范围是().

A.[0,Q)

—s冗、「3%、

B.[0,-]u[—,万)

44

c.[0A71]

4

D.[0,字3弓,TV)

【答案】B

【解析】求出直线斜率的范围，由斜率与倾斜角的关系确定倾斜角的范围.

【详解】I,直线斜率J=—sina,又—IVsinaVl,—1<A：<1,

设直线倾斜角为(9,二l-4tan641,而。d。，球,

故倾斜角的取值范围是[0，勺5当，乃)，

44

应选：B.

5.设点P为椭圆C:；+E=l(a>2)上一点，片，工分别为C的左、右焦点，且

a4

4PK=60。，那么△尸7工的面积为()

A.473B.C.递D.空

33

【答案】C

【分析】结合余弦定理、椭圆的定义求得|尸制JPEI，从而求得APK鸟的面积.

【详解】设图|=S,四|=

根据椭圆的定义以及余弦定理得

s+t=2a

(2c)2=4c2=4(a2-4)=52+t2-25fcos60°，

整理得以若,即附H*若，

所以6的面积为gx争Sin6()o=华.

应选：C

6.直线2x-y+m=0与圆0：/+丁=4相交于A,B两点，那么“根=而”是

ttOAOB=Of，的0

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

2x-y+m=0

【分析】设联立化为5尤2+4nvc+m2-4=0,由

x2+y2=4

3•丽=0可得内々+乂卜2=0,根据韦达定理解出团，进而可得结果.

.、.、\2x—y+m=0

【详解】设,联立唾+),2_4，化为5/+4g+川-4=0,

A=16m2-20（W2-4）>0,解得病<20,

4mni2-4

<¥]+%>=---------,X|X0=-------------

因为函•诙=0，所以%々+乂%=。，

...（2%+m）（2x2+机）+玉X2=0,

5%方+2/n(x1+x^+nr=0,

4+2n?x(一普)+,〃2=0,解得"？=±9,符合机2<20,

那么“机=布”是"方.而=0"的充分不必要条件，

应选：A.

7.设耳鸟分别是椭圆G和双曲线G的公共焦点，P是它们的一个公共点，且

\PFt\<\PF2\,线段P"的垂直平分线经过点心，假设C1和C?的离心率分别为e”那

么2•+'的值为().

q%

35

A.3B.2C.-D.一

22

【答案】B

【分析】根据题意设出椭圆的长轴长以及双曲线的实轴长，再根据椭圆和双曲线的定义

11

得到q,%,c的关系，由此可求解出一+一的值.

e\e2

【详解】设椭圆的长轴长为2%,双曲线的实轴长为2七，焦距长为2c,

因为归制<归周，所以「在双曲线的左支上，如以下图所示(不妨设尸在第二象限)，

因为线段尸耳的垂直平分线经过点在2,所以|「引=归周=2c,

所以尸石=2q-2c=2c-2°2,所以q+%=2c,

所以一=幺+幺=山=%=2,

e2cccc

应选：B.

8.G：(x-ly+(y+l)2=l，圆C?:(x—4)?+(y-5)2=9,点"，N分别是圆C一圆C?上

的动点，尸为x轴上的动点，那么|尸的最大值是()

A.7B.36+4C.9D.2石+2

【答案】C

【分析】先利用圆的方程求出圆心坐标和半径，利用对称性和三点共线求最值的方法即

可得出结果.

【详解】解：由题意可知，圆G的圆心G(LT)，半径为1，

圆G的圆心G(4,5),半径为3,

要使得归取最大值，需|PN|的值最大，的值最小.

其中|取|的最大值为归6|+3,|「间的最小值为|PG|T

那么忙川-|户闸的最大值为(|PG|+3)-(|P£|-I)=|PC2|-|PG|+4

点G(4,5)关于X轴的对称点C；(4,-5),

|PC2|-|PGI=卜。；|一|「。4|cc[==5，

所以|PN|-|PM|的最大值为5+4=9.

应选：C.

二、多项选择题

9.加为4,〃为8或-8,那么以下对曲线C：E+^=1描述正确的选项是0

mn

A.曲线C可表示为焦点在y轴的椭圆B.曲线C可表示焦距是4的双曲线

C.曲线C可表示为离心率是正的椭圆D.曲线C可表示渐近线方程是y=±疯

2

的双曲线

【答案】ACD

【分析】利用椭圆、双曲线的定义及标准方程即可判断.

【详解】由题意得，当机=4,〃=8时，方程片+£=1表示焦点在y轴的椭圆，

84

所以A选项正确;

当加=4,〃=-8时，方程兰-丫=1表示焦点在1轴的双曲线，

48

此时。2=4,/?~=8,那么c?=/+//=12,c=2^/3f那么焦距2c=4\Q,

所以B选项错误；

当帆=4,〃=8时，方程二十《=1表示焦点在y轴的椭圆，

84

止匕时。2=8,〃2=4,那么《2=々2一力2=4,c=2,

那么离心率为e=—=—,

a2y/22

所以C选项正确；

当机=4,〃=-8时，方程《-£=1表示焦点在x轴的双曲线，

48

此时小=4,从=8,卦么a=2,b=2五,

那么。2=〃2+/=12,C=2G，那么渐近线方程为y=±2》，

a

即y=土夜x,

所以D选项正确；

应选:ACD.

10.以下结论错误的选项是（）

A.直线（3+〃?）尢+4丫-3+3/«=0（m£/?）恒过定点（-3,-3）

B.直线J5x+y+l=0的倾斜角为150。

C.圆/+丁=4上有且仅有3个点到直线/：x-y+&=0的距离都等于1

D.与圆（x-2）?+y2=2相切，且在x轴、y轴上的截距相等的直线有两条

【答案】ABD

【分析】人.将（3+机）＞¥+4?-3+3”7=。（，〃€/?）化为祖（》+3）+3*+4）＞—3=0（，"€7?）,得

[%+3=0

到。，°c即可求出结果判断；B.将直线的方程转化为斜截式得到斜率即可求出

倾斜角；C.求出圆心到直线的距离，进而分别判断优弧及劣弧上存在点的个数即可得

出结论；D.分截距不为0,和截距为0两种情况，结合圆心到直线的距离等于半径即可

求出结果.

【详解】A.因为（3+m）x+4y—3+3/77=O（meR）,即m（x+3）+3x+4y-3=0（机eA）,

Ix+3=0\x=—3/、/、

那么ir+4y_3=0,解得［）,=3，所以直线（3+m）x+4y—3+3a=O（，weR）恒过定点

（-3,3）,故A错误；

B.因为6x+y+1=0,即y=-&x-l,设直线"v+y+l=0的倾斜角为a,那么

12.=-行，因为£40,180°）,那么£=120。，所以直线7^+），+1=0的倾斜角为120。,

故B错误；

C.圆Y+y2=4的圆心为（0,0）,半径为2,那么圆心到直线x-y+&=0的距离为

|o-o+切L-

一产」=1，所以劣弧上到直线x-y+3=0的距离等于I的点有1个，而优弧上

V2

到直线x-y+a=0的距离等于1的点有2个，所以圆/+丁=4上有且仅有3个点到直

线/：x-），+Vi=0的距离都等于1,故C正确:

D.因为圆（》-2）2+9=2的圆心为（2,0）,半径为正,

|2+0-a|

当截距不为。，故设切线方程为土+上=1,即x+y-a=0,所以=yfl,解得a=0

aa

（舍）或a=4,即x+y-4=0；当截距为0时，故设切线方程为>=依，即fcr-y=0,

所以号粤=&,解得*=±1,即y=±x,那么与圆（x-2y+/=2相切，且在x轴、y

轴上的截距相等的直线有三条，故D错误；

应选：ABD.

11.平面上一点加（5,0）,假设直线上存在点P使1PMi=4,那么称该直线为“切割型直

线”，以下直线中是“切割型直线"的是0

4

A.y=x+lB.y=2C.y=-xD.y=2x+\

【答案】BC

【分析】所给直线上的点到定点〃距离能否取4,可通过求各直线上的点到点M的最

小距离，即点〃到直线的距离来分析，分别求出定点/到各选项的直线的距离，判断

是否小于或等于4,即可得出答案.

【详解】所给直线上的点到定点用距离能否取4,可通过求各直线上的点到点M的最

小距离，即点〃到直线的距离来分析.

A.因为“=碧=30>4,故直线上不存在点到M距离等于4,不是“切割型直线"；

B.因为d=2<4,所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M距离等于4,是

“切割型直线"；

20

C.因为"==4,直线上存在一点，使之到点M距离等于4,是“切割型直线”

1111石4

D.因为d==---->4,故直线上不存在点到〃距离等于4,不是“切割型直线”.

V55

应选：BC.

12.设有一组圆G：（x—&y+（y-A）2=4（ZeR）,以下命题正确的选项是（）

A.不管后如何变化，圆心CR始终在一条直线上

B.存在圆G经过点（3,0）

C.存在定直线始终与圆G相切

D.假设圆C上总存在两点到原点的距离为1,那么<-孚4卜隹平）

【答案】ACD

【分析】对于A,考查圆心C、的横纵坐标关系即可判断;

对于B,把X=3,y=o代入圆G方程，由关于k的方程根的情况作出判断;

对于C,判断圆心c*到直线x-y±2&=0距离与半径的关系即可;

对于D,圆C,与以原点为圆心的单位圆相交即可判断作答.

【详解】解:根据题意,圆G：（x-Q2+（y-Q2=4/eR）,其圆心为（乂幻,半径为2,

依次分析选项：

对于A,圆心为（女,幻，其圆心在直线y=x上，A正确;

对于B,圆G：（x3+（i）2=4,

将（3,0）代入圆的方程可得（3—幻2+（0-%尸=4,

化简得2&2_6〃+5=0,A=36-40=-4<0,方程无解，

所以不存在圆G经过点（3,0）,B错误；

对于C,存在直线》=丫±2五<',即x-y+20=0或x-y-2忘=0,

圆心伏，幻至IJ直线x-y+2&=0或x-y-2&=0的距离d=¥=2,

夜

这两条直线始终与圆C,相切，C正确,

对于D,假设圆C,上总存在两点到原点的距离为1,

问题转化为圆/+V=1与圆C«有两个交点，

圆心距为\Jk2+k2=V2网,

那么有1＜上|乂＜3,

解可得：一逑＜么＜_也或也＜%＜逑，D正确.

2222

应选：ACD.

三、填空题

13.过A（l,4）且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有条.

【答案】3

【分析】根据题意可得有三种情况.

【详解】解析：一条是截距为0,一条是截距相等（不为0）,一条是截距互为相反数（不

为0）,共3条.

故答案为：3.

22

14.双曲线二-探=1（。＞0,〃＞0）的左、右焦点分别为B,F2,点P在双曲线的右支上,

orb-

且|P£|二4|Pg|,那么双曲线的离心率e的最大值为.

【答案】|

p用8«

-3一

用

【分析】结合条件与双曲线的定义可得＜网再利用余弦定理得到

P

-3

22

cos9=1IZ7t//7—,Or=-17--Qe2,求出cos。的范围，即可求出结果.

8a288

的

用

尸-

|P耳|=4|叫3

用

【详解】设6=。,由，得＜丝由余弦定理得

\PF\-\PF\=2a产

t2-3

22

cos0=―^――=———ef因为。£（。,可，所以cosO£[—1,1）,Bp—1＜———e＜1,

8888

又e＞l,所以l＜eg,所以离心率e的最大值为:

故答案为：g.

15.设《，鸟分别是椭圆+£=的左、右焦点，离心率为;，M是椭圆

上一点且加入与X轴垂直，那么直线例G的斜率为.

【答案】±34

【分析】由可得各点坐标，利用两点间斜率公式，结合离心率可得解.

【详解】由可设K(-C,O),r(c,o),片=从+。2

因为M是椭圆上一点且M心与X轴垂直,

令X=＜：,那么y=土生,那么

a

3

故答案为：±二.

4

16.假设实数x,y(xw2)满足r+y2-2x-2y+l=0,那么二的取值范围为_______.

x-2

【答案】1，+8)

【分析】条件方程化为(x-iy+(y-1)2=1,即为圆心为(1,1),半径为1的圆，y为

x—2

(x,y)与(2,4)连线的斜率，由数形结合，求出直线与圆相切的斜率，即可求解

【详解】由题得，(x-l)2+(y-l)2-l,即为圆心为(1/)，半径为1的圆，

要为(乂〉)与(2,4)连线的斜率，记为上如下图，

x—2

•••xx2,.•.斜率存在，设过(2,4)的直线为y=无(二一2)+4=h一々-2一+4=0,

\k-\-\-2k+4\4

那么当直线与圆相切时，有=1,解得后=：,

\lk2+\

由图易得人在直线与圆的两切线斜率之间，故g,+8

故答案为：*+8)

四、解答题

17.直线4：kx-2y-2k+4=0,直线-k2x+4y-4k2-S=0.

(1)假设直线4在两坐标轴上的截距相等，求直线乙的方程;

(2)假设〃《，求直线4的方程.

【答案】⑴x-y=O或x+y-4=0；⑵x+y-6=0.

【解析】(1)分直线4过原点和直线4不过原点两种情况讨论，分别求解即可.

（2）假设〃〃2,那么&X4=-2*G解得k=0或女=-2,再验证从而得出答案.

【详解】（1）①假设直线4过原点，那么人在坐标轴的截距都为0,显然满足题意，

此时那么一24+4=0,解得左=2,

②假设直线4不过原点，那么斜率为g=-l,解得％=-2.

因此所求直线4的方程为x-y=o或x+y-4=0

（2）①假设“〃2,那么&x4=-2*/2解得％=0或%=2

当％=0时，直线4：-2y+4=0,直线替4y-8=0,两直线重合，不满足“七,故舍

去；

当&=-2时，直线（：x+y-4=0,直线4：x+y-6=0,满足题意；

因此所求直线4：x+y-6=0

【点睛】易错点睛：此题考查直线的截距概念和根据两直线的位置关系求参数，在解决

这类问题时，直线/在两坐标轴上的截距相等（或互为相反数）时，要注意直线过原点

时也满足条件，这是在解题中容易漏掉的情况，在由直线平行求参数时，求出参数时要

代回检验，对重合的情况要舍去，这个也是容易出错的地方，要注意，属于中档题.

18.双曲线E：5-£=1（〃>0力>0）的两条渐近线所成的锐角为60。且点（2,3）是E上

一点.

（1）求双曲线E的标准方程；

（2）假设过点尸（1,1）的直线/与E交于A,B两点，点P能否为线段A8的中点？并说

明理由.

【答案】（1）f一£=［；（2）点尸不能为线段AB的中点，理由见解析.

3

【分析】（1）由渐近线夹角求得一个斜率2,再代入点的坐标，然后可解得。为得双曲

a

线方程；

（2）设直线方程为y=%（x-1）+1（斜率不存在时另说明），与双曲线方程联立，消元

后应用韦达定理，结合中点坐标公式求得3然后难验证直线与双曲线是否相交即可得.

【详解】解：（1）由题意知，双曲线的渐近线的倾斜角为30。或60。，即2或G.

a3

%2y2

当2时，E的标准方程为下一了■=1代入（2,3）,无解.

a3—

当2=退时，后的标准方程为鸟-工=1,代入(2,3),解得/=1.

aa23a2'7

故E的标准方程为--£=1.

3

(2)P不能是线段AB的中点

设交点A(X1,y),8®,%)，

当直线/的斜率不存在时，直线与双曲线只有一个交点，不符合题意.

当直线/的斜率存在时，设直线方程为y=%(x-1)+1,联立方程组

y=左(工-1)+1

,2y2,整理得(3-r)/-2女(1一女)》一(1-%)2-3=01.土石)，

X-----=1

3

那么Zk=4&2(—)2+4(3-阴[(—)2+3]>0,由/+&=网=1=2得1=3,

3—K

将人=3代入判别式△=4/(1_&)2+4(3-/)[(|_疗+3]<(),

所以满足题意的直线也不存在.

所以点尸不能为线段A3的中点.

19.圆C的圆心在直线2x-y-2=0上，且与直线/：3》+4丫-28=0相切于点尸(4,4).

(1)求圆C的方程；

(2)求过点Q(6,-15)与圆C相切的直线方程.

【答案】⑴(x-l)2+y2=25；(2)x=6或4x+3y+21=0.

【分析】(1)先得到过点2(4,4)且与直线/：3x+4y-28=0垂直的直线方程，与

2x-y-2=0联立求得圆心即可；

(2)假设过点。(6,-15)的直线斜率不存在，即直线是x=6判断，假设过点。(6,-15)的

直线斜率存在，设直线方程为y+15=Z(x-6),再根据直线与圆相切求解.

【详解】⑴过点尸(44)与直线/：3x+4y-28=0垂直的直线机的斜率为k=g,

4

所以直线〃?的方程为y-4=§(x-4),即4x-3y-4=0.

唱:二°解得c(®

所以r=J(4_l)2+(4-0)2=5.

故圆C的方程为：(x-l『+y2=25.

(2)①假设过点。(6,-15)的直线斜率不存在，即直线是x=6,与圆相切，符合题意;

②假设过点2(6-15)的直线斜率存在，设直线方程为y+\5=k(x-6),

即Ax-y-6左一15=0,

卜6J5|

假设直线与圆C相切,那么有=5,

7^2+i

解得％=-半4

4

此时直线的方程为-；x-y-7=0,即4x+3y+21=0.

综上，切线的方程为x=6或4x+3y+21=0.

20.直线4:(2+m)x+(l-2/n)y+4-3/M=0.

(1)求证：无论机为何实数，直线4恒过一定点M；

(2)假设直线4过点〃，且与x轴负半轴、y轴负半轴围成三角形面积最小，求直线4

的方程.

【答案】⑴证明见解析：⑵2x+y+4=0.

[x-2y-3=0

【分析】(1)解方程组c人八，可得定点M的坐标；

[2x+y+4=0

(2)设直线的方程为y+2=Mx+l),分析可得&<0,求出该直线与两坐标轴的交点

坐标，可得出三角形面积关于k的关系式，结合根本不等式可求得s的最小值，利用等

号成立可求得&的值，即可得出直线4的方程.

【详解】⑴证明：将直线4的方程化为〃z(x—2y-3)+2x+y+4=0,

[x-2y-3=0[x=-l,、

解方程组出+；，+4=0,解得]丫=_2,故直线"亘过定点”(T—2);

(2)由题意可知，直线4的斜率存在且不为零，

设直线4的方程为y+2=1),

2

令x=0,可得>="2,令y=o,可得》=■；■—1,

k

k-2<0

由可得,2,八，解得左<0,

[k

当且仅当左=-2时，等号成立，此时直线4的方程为y+2=-2(x+l),即2x+y+4=0.

21.圆C：(x-3)2+y2=i与直线胆：3x-y+6=0,动直线/过定点A(0,1).

(1)假设直线/与圆C相切，求直线/的方程；

(2)假设直线/与圆C相交于P、。两点，点M是PQ的中点，直线/与直线〃?相交于

点N.探索奇•丽是否为定值，假设是，求出该定值；假设不是，请说明理由.

【答案】⑴尸1或y=-%+l；⑵是，-5.

【分析】(1)由题意可得直线的斜率存在，所以设直线/的方程为、=3+1,然后利用

点到直线的距离公式可得£上空=1求出〃?的值，从而可求出切线方程，

V1+/M2

(2)设/的方程为)，="+1,M(初，加)，将直线方程与圆方程联立方程组消去y,解

方程可求出点M的坐标，再将两直线方程联立可求出点N的坐标，从而可表示出

AM-AN，化简可得结论

【详解】解：(1)1。当直线/的斜率不存在时，

/的方程为x=0,与圆C不相切；

2。当直线/的斜率存在时，

设直线/的方程为丫=尔+1,即如-y+l=0,

3m+1-3

yjl+m24

3

二直线/的方程为y=l或y=-：x+l；

(2)由题意可知直线/的斜率存在，

设/的方程为y=fcr+l,M(xo，y0),

y=fcv+l

由(x-3)2=1消去"DN-(6W9=。,

3-k3k+\

,,x()

3-k3攵+1)(3-k3k-k2

AM=

5

好h+i得广三

由

3x-y+6=0_62-3

，二k-3

,：.AN

15-5%5^(3-A)

AM-AN0+阴("3)+(]+公)("3)

丽心丽为定值.

22

22.平面直角坐标系xQy中，过椭圆M：三+当=1(a>b>0