微专题-构造函数法解选填压轴题

...wd......wd......wd...微专题：构造函数法解选填压轴题高考中要取得高分，关键在于选准选好的解题方法，才能省时省力又有效果。近几年各地高考数学试卷中，许多方面尤其涉及函数题目，采用构造函数法解答是一个不错的选择。所谓构造函数法是指通过一定方式，设计并构造一个与有待解答问题相关函数，并对其进展观察分析，借助函数本身性质如单调性或利用运算结果，解决原问题方法，简而言之就是构造函数解答问题。若何合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。几种导数的常见构造：1．对于，构造假设遇到，则可构2．对于，构造3．对于，构造4．对于[或]，构造5．对于，构造6．对于，构造一、构造函数法对比大小例1．函数的图象关于y轴对称,且当成立，，，,则的大小关系是()【解析】因为函数关于轴对称,所以函数为奇函数.因为,所以当时,,函数单调递减,当时,函数单调递减.因为,,,所以,所以,选D.变式:定义域为的奇函数的导函数为，当时，，假设，则以下关于的大小关系正确的选项是〔D〕例2．为上的可导函数，且，均有，则有A．，B．，C．，D．，【解析】构造函数则，因为均有并且，所以，故函数在R上单调递减，所以，即也就是，应选D．变式:函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，为自然对数的底数，则〔C〕例3．在数列中，．则数列中的最大项为()．A．B．C．D．不存在【解析】由，，，易得.猜测当时，是递减数列又由知，令，则当时，，则，即在内为单调递减函数，时，是递减数列，即是递减数列又，数列中的最大项为应选B．练习1．函数对任意的满足,则〔〕A．B.C.D.提示：构造函数，选D．二、构造函数法解恒成立问题例1．假设函数y=在R上可导且满足不等式恒成立，对任意正数、，假设，则必有〔〕A．B．C．D．【解析】由∴构造函数，则，从而在R上为增函数。∴即，应选C。例2．是定义在〔0，+∞〕上的非负可导函数，且满足≤0，对任意正数、，假设，则必有〔〕A．B．C．D．【解析】，，故在〔0，+∞〕上是减函数，由，有，即。应选A。变式1.设是上的可导函数，分别为的导函数，且满足，则当时，有〔C〕变式2.设函数时，有〔C〕 A． B．C．D．例3．设函数在R上的导函数为，且，下面不等式恒成立的是〔〕A．B．C．D．【解析】由，首先令得，排除B，D．令，则，①当时，有，所以函数单调递增，所以当时，，从而．②当时，有，所以函数单调递减，所以当时，，从而．综上．应选A．例4．如果，那么下面的不等式恒成立的是〔〕A．B．C．D．【解析】构造函数，易证在R上是奇函数且单调递增+==lg1=0即：又是增函数即。应选B．练习1.，则实数的关系是〔D〕A.B.C.D.【解析】构造函数，是增函数，又，，应选D．练习2.函数是R上的可导函数，当时，有,则函数的零点个数是(B)A.0B.1C.2D.3【解析】由，得，构造函数，则，∵当时，有,∴当时，即当时，，此时函数单调递增，此时，当时，，此时函数单调递减，此时，作出函数和函数的图象，〔直线只代表单调性和取值范围〕，由图象可知函数的零点个数为1个．应选B．三、构造函数法解不等式例1.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，，则f(x)＞2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)【解析】构造函数G(x)＝f(x)－2x－4，所以，由于对任意x∈R，，所以>0恒成立，所以G(x)＝f(x)－2x－4是R上的增函数，又由于G(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以G(x)＝f(x)－2x－4>0，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)，应选B.变式1.函数满足，且，则的解集为〔〕A.B.C.D.【解析】构造新函数, 则，，对任意，有，即函数在R上单调递减，所以的解集为，即的解集为，选D.变式2.定义在上的函数，其导函数满足，且，则关于的不等式的解集为变式3.函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，且，则的解集为变式4.函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为〔A〕B.C.D.例2设是定义在R上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集是解：因为当x＞0时，有恒成立，即[]′＜0恒成立，所以在内单调递减．因为，所以在〔0，2〕内恒有；在内恒有．又因为是定义在R上的奇函数，所以在内恒有；在内恒有．又不等式的解集，即不等式的解集．所以答案为∪〔0，2〕．变式1.定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为〔C〕AB.C.D.变式2.函数的定义域为R，，对任意x∈R，都有成立，则不等式的解集为〔C〕A.B.C.D.变式3.设是定义在上的函数，其导函数为，假设，,则不等式的解集为〔D〕A.B.C.D.变式4.函数是定义在上的偶函数,,且时,,则不等式的解集是__________〔提示：构造的为奇函数，〕例4设是上的可导函数，，，则不等式的解集为变式1．设分别是定义在上的奇函数、偶函数，当时，，，则不等式的解集为.变式2．上的函数满足，且，假设，则关于的不等式的解集为.变式3.设奇函数定义在上，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为_.〔提示：构造的为偶函数〕四、构造函数法求值例1．设是上的可导函数，且，，.则的值为.提示：由得，所以，即，设函数，则此时有，故，变式．的导函数为，当时，，且，假设存在，使，则的值为1.〔提示：构造〕例2．定义在上的函数满足，且，，假设有穷数列的前项和等于，则等于5.解：∵，∴，即函数单调递减，∴0＜a＜1．又，即∴解得或a=2〔舍去〕．∴，即，数列是首项为，公比的等比数列，∴，由，解得n=5。变式1．,都是定义在R上的函数，，，且〔，且〕。，假设数列的前项和大于62，则的最小值为〔A〕A8B7C6D5变式2．、都是定义在R上的函数，，，．在区间上随机取一个数，的值介于4到8之间的概率是〔〕 A． B． C． D． 解：由题意，，∴[]'＜0，∴函数在R上是减函数，∵，∴0＜a＜1∵．∴∴∵的值介于4到8，∴∴在区间上随机取一个数x，的值介于4到8之间的概率是，应选A．【模型总结】关系式为“加〞型〔1〕构造〔2〕构造〔3〕构造〔注意对的符号进展讨论〕关系式为“减〞型〔1〕构造〔2〕