湖南衡阳名校2025届高三一轮复习周练 7月第2周 数学试题（含解析）

2024年7月份第2周数学一、选择题1．已知集合，，则()A. B. C. D.2．如图四边形ABCD为平行四边形，，，若，则的值为()A. B. C. D.13．各种不同的进制在生活中随处可见,计算机使用的是二进制,数学运算一般使用的是十进制,任何进制数均可转换为十进制数,如八进制数转换为十进制数的算法为.若将八进制数转换为十进制数,则转换后的数的末位数字是()A.3 B.4 C.5 D.64．若点P是函数图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l倾斜角的取值范围是()A. B. C. D.5．已知双曲线,以双曲线C的右顶点A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,若,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.6．已知函数在区间上恰有一个最大值点与一个最小值点，则正实数的取值范围是()A. B. C. D.7．如图，在中，，，，D，E，F分别为三边中点，将，，分别沿，，向上折起，使A，B，C重合为点P，则三棱锥的外接球表面积为()A. B. C. D.8．若关于x的不等式有且只有一个整数解，则正实数a的取值范围是()A. B. C. D.9．已知所在平面内一点D满足，则的面积是的面积的()A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍10．已知集合,,则()A. B. C. D.11．已知函数，则的增区间为()A. B. C. D.12．下列四组函数中,不是同一个函数的一组是()A.与 B.与C.与 D.与13．已知，，，则()A. B. C. D.14．已知函数在有且仅有三个零点,则的取值范围是()A. B. C. D.15．在中，，，，则()A. B.4 C. D.16．已知是数列的前n项和，，，则()A. B.2 C. D.317．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语,指的是一段类似隧道形状的几何体,如图,羡除ABCDEF中,底面ABCD是正方形,平面ABCD,,其余棱长都为1,则这个几何体的外接球的体积为()A. B. C. D.18．在三棱锥中，,,两两垂直，,，则直线与平面所成角的正切值等于()A. B. C. D.二、多项选择题19．已知复数，满足，，则下列说法正确的是()A. B.C.的虚部为2 D.20．在平面直角坐标系中,F为抛物线的焦点,,过F的直线l与C在第一象限交于点A,则()A.Q到直线l距离的最大值为B.若O,Q到直线l的距离相等,则l的倾斜角为C.的最小值是D.当A在直线的上方时,面积的最大值为21．已知定义在R上的函数满足,,且,则()A.的最小正周期为4 B.C.函数是奇函数 D.22．已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()A.函数的解析式B.直线是函数图象的一条对称轴C.在区间上单调递增D.不等式的解集为，三、填空题23．已知的展开式中二项式系数和为32，则展开式中的常数项为_________．24．已知圆与圆,则两圆的公共弦所在的直线方程为____________________.25．佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫的功效.经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量x（单位：克）与香囊功效y之间满足，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，则这6个香囊中草药甲含量的标准差为______克.26．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为__________.27．已知,是椭圆的左,右焦点,E上两点A,B满足,,则E的离心率为____________．四、解答题28．手中有5把钥匙，其中有3把能打开房门，每次随机选取一把试验，试验完后就分开放在一边.(1)求第二次才能打开房门的概率；(2)为了甄别出能打开房门的三把钥匙，需要试验X次，求X的分布列及数学期望.29．如图所示，在三棱锥中，，，.（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.30．已知函数.（1）若，求的极值；（2）讨论的单调性.

参考答案1．答案：C解析：，，选C2．答案：D解析：选取，为基底，则，又，将以上两式比较系数可得.故选D.3．答案：A解析：因为是10的倍数,所以换算后这个数的末位数字即为的末位数字,由,末位数字为3,故选:A.4．答案：C解析：函数中，，即，设点，求导得，由，得，即，因此函数的图象在点P处的切线l斜率，显然直线l的倾斜角为钝角，所以直线l的倾斜角的取值范围是.故选：C5．答案：D解析：如图,取MN中点B,连接AB,则,且,则点到渐近线的距离为,,,结合可得,则,解得:（舍去）或,则.故选:D.6．答案：C解析：根据题意，当时，有，而函数在区间上恰有一个最大值点与一个最小值点，因此，可得.故选C.7．答案：C解析：由题意可知，，，，即三棱锥的对棱相等，先将该三棱锥补充成长方体，如图所示：设，，，则，，，所以，于是三棱锥的外接球直径为，半径为，所以该三棱锥外接球的表面积为：.故选：C.8．答案：A解析：原不等式可化简为，设，，由得，，令可得，时，，时，，易知函数在单调递减，在单调递增，且，作出的图象如下图所示，而函数恒过点，要使关于x的不等式有且只有一个整数解，则函数的图象应介于直线与直线之间（可以为直线），又，，，，，.故选：A.9．答案：A解析：设AB的中点为M，因为，所以，所以，所以点D是线段CM的五等分点且靠近点M，所以，所以的面积是的面积的5倍.故选A.10．答案：A解析：依题意,,,所以,.故选:A11．答案：A解析：函数定义域为R，令，又在R上单调递增，的增区间为，所以的增区间为.故选：A.12．答案：D解析：根据题意可知,选项ABC中的两组函数定义域,值域,对应关系完全相同,故他们表示的是同一个函数,而选项D中,的定义域为,而的定义域为,显然两函数定义域不同,所以表示的不是同一个函数.故选:D13．答案：D解析：.即.又因为函数在上的单调递增，所以，即.又因为函数是上的增函数，所以，即，故.故选：D.14．答案：B解析：因为,所以,因为函数在有且仅有三个零点,结合正弦函数的图象可知,解得,故选:B.15．答案：C解析：，，，所以，解得，，因为，所以，.故选：C.16．答案：D解析：，，，，，，…，所以数列是周期为4的摆动数列，，故.17．答案：B解析：连接AC,BD交于点M,取EF的中点O,则OM上平面ABCD,取BC的中点G,连接FG,作,垂足为H,如图所示由题意可知,,,所以,所以,,所以,又,所以,即这个几何体的外接球的球心为O,半径为1,所以这个几何体的外接球的体积为.18．答案：D解析：如图所示，取的中点为D，连接,，作交于E点，因为,，且，平面，所以平面，平面，所以，因为，点D为的中点，所以，因为，平面，所以平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，所以就是直线与平面所成角，因为,，所以.故选：D.19．答案：ABD解析：对于A，因为，，所以，A正确；对于B，，B正确；对于C，因为，所以，所以的虚部为0，C错误；对于D，因为，所以，又，所以，D正确.故选：ABD.20．答案：AD解析：对于A,当时,Q到直线l的距离取得最大值,且最大距离为,故正确;对于B,设l的方程为,若O,Q到直线l的距离相等,则,解得或,故B错误;由题意知,C的准线为直线,焦点,过点A,Q作C的准线的垂线,垂足分别为,,则（当且仅当,A,Q共线时取等号）,故的最小值是点Q到C的准线的距离,即为4,故C错误;对于D,当点A到直线的距离取得最大值时,的面积有最大值,此时抛物线C在A处的切线与直线平行.由得,令,解得,所以,A到直线的距离,所以面积的最大值为,故D正确.故选：AD.21．答案：AB解析：对于A,因为,所以,,所以,故的最小正周期为4,A正确;对于B,因为,令,则,所以,由A可知,,故B正确;对于C,因为,①令,则,所以,所以,②由①②,所以,即,故为奇函数,若函数是奇函数,则,所以,即,所以,所以的最小正周期为2,与选项A矛盾,故C错误;对于D,因为为奇函数,且,所以,又因为的最小正周期为4,所以,因为所以,,所以,,以此类推,所以,故D错误.故选：AB.22．答案：ABD解析：由图知函数的最小正周期，所以，所以.将点代入，得.所以，解得，又，所以，所以，故A正确；当时，，故B正确；当时，，故C错误；由，得，所以，，解得，，故D正确.故选ABD.23．答案：10解析：令，则当时，常数项为．故答案为：10.24．答案：解析：圆的圆心,半径,圆的圆心,半径,于是,即圆,相交,由消去二次项得,即,所以两圆的公共弦所在的直线方程为.故答案:25．答案：解析：设抽取的6个香囊中草药甲的含量分别为克，香囊功效分别为，，2，…，6.草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，即，，则，则这6个香囊中草药甲含量的方，所以这6个香囊中草药甲含量的标准差为克.故答案为：.26．答案：解析：建立坐标系如图所示.设，则，.设，则，由于异面直线所成角的范围为，所以，，令，，则，当时取等号.所以，当时，取得最大值.27．答案：解析：如图,因为,所以可设,,又,所以,由椭圆定义,,即,又,即B点为短轴端点,所以在中,,又在中,,解得或（舍去）.故答案为：.28．答案：（1）；（2）分布列见解析；解析：（1）总的基本事件数为，第二次才能打开包含的基本事件数为，由古典概型公式得所求事件的概率.（2）依题意X可取2，3，4，，29．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：因为，所以，同理可得，故，因为，平面，所以平面因为平面，故平面平面.（2）以C为坐标原点，，所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为则，，，，，所以，，.设为平面的法向量，则即令，得.设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.30．