2025年高考数学一轮知识点复习-第6课时-对数与对数函数-专项训练【含答案】

第6课时-对数与对数函数-专项训练一、单项选择题1．若xlog34＝1，则4x＋4－x的值为()A．103 C．4 D．12．已知lga＋lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝log1bABCD3．若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则()A．1a+1b＝1cC．1a+1b＝2c4．(2024·陕西师大附中模拟)已知a＝log23，b＝log34，c＝32A．c＜b＜a B．b＜c＜aC．c＜a＜b D．a＜c＜b5．推动小流域综合治理提质增效，推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一．某乡村落实该举措后因地制宜，发展旅游业，预计2023年平均每户将增加4000元收入，以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的，则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12000元的年份大约是()(参考数据：ln3≈1.10，ln10≈2.30，ln11≈2.40)A．2033年 B．2034年C．2035年 D．2036年6．已知f(x)＝log12(x2－ax＋a)的值域为R，且f(xA．[－2，0] B．−12，0C．[－2，0]∪[4，＋∞) D．[0，4]二、多项选择题7．已知函数f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则()A．f(x)的定义域是(－6，4)B．f(x)有最大值C．不等式f(x)＜4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)D．f(x)在[0，4]上单调递增8．已知函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是()A．函数f(x)的图象恒过定点(0，0)B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减C．函数f(x)在区间−1D．若对任意x∈[1，2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1，2]三、填空题9．若函数y＝f(x)与y＝5x互为反函数，则y＝f(x2－2x)的单调递减区间是________．10．函数f(x)＝log2x·log2(2x)四、解答题11．设f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.(1)求a，b的值；(2)当x∈[1，2]时，求f(x)的最大值．12．已知函数f(x)＝log212(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；(2)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．13．已知函数f(x)＝log2(2x＋1)＋ax是偶函数．(1)求a的值；(2)设g(x)＝f(x)＋x，h(x)＝x2－2x＋m，若对任意的x1∈[0，4]，存在x2∈[0，5]，使得g(x1)≥h(x2)，求m的取值范围．参考答案1．A[∵xlog34＝1，∴log34x＝1，∴4x＝3，∴4x＋4－x＝3＋3-1＝1032．B[∵lga＋lgb＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，∴ab＝1，∴a＝1b∴g(x)＝log1bx＝logax，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝log1bx互为反函数，∴函数f(x)＝ax与g(x)＝log1bx3．A[由已知2a＝3b＝6c＝k，得a＝log2k，b＝log3k，c＝log6k，所以1a＝logk2，1b＝logk3，1c所以1a+14．B[因为32＞23，则3＞232，故log23＞log2232＝32因为42＜33，则4＜332，故log34＜log333所以b＜c.则有b＜c＜a.故选B.]5．C[设经过n年之后，每年度平均每户收入增加y元，由题得y＝4000·(1＋10%)n>12000，即1.1n>3，则nln1.1>ln3，n>ln3ln1.1＝又n∈N*，则n＝12．所以所求年份大约是2035年．故选C.]6．B[因为函数f(x)＝log12(x2－ax＋a)的值域为R，所以x2－ax即方程x2－ax＋a＝0有实数解，得Δ＝a2－4a≥0，解得a≤0或a≥4.又函数f(x)＝log12(x2－ax＋a)在(－3，－1)上单调递增，所以函数y＝x2－ax＋a在(－3，－1)上单调递减，且x2－ax则a2≥−1，1+综上，实数a的取值范围为－12≤a≤0或a≥故选B.]7．AB[由题意可得x+6＞0，4−x＞f(x)＝log2(－x2－2x＋24)，因为y＝－x2－2x＋24在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，所以f(x)max＝f(－1)＝2log25，则B正确；因为f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，且f(－4)＝f(2)＝4，所以不等式f(x)＜4的解集是(－6，－4)∪(2，4)，则C错误；因为f(x)在(－1，4)上单调递减，所以D错误．故选AB.]8．ACD[当x＋1＝1，即x＝0时，f(x)＝0，即图象恒过定点(0，0)，故A正确；当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)，由复合函数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)单调递增，故B错误；当x∈−12，1时，x＋1∈12，2，所以f(x)＝|loga当x∈[1，2]时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)≥1恒成立，所以由函数f(x)在[1，2]上单调递增知loga2≥1，解得1<a≤2，故D正确．]9．(－∞，0)[因为y＝f(x)与y＝5x互为反函数，所以f(x)＝log5x，则f(x2－2x)＝log5(x2－2x)．设μ＝x2－2x，则f(μ)＝log5μ，由x2－2x＞0，解得x＜0或x＞2，因为f(μ)＝log5μ在其定义域上单调递增，又μ＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以y＝f(x2－2x)的单调递减区间是(－∞，0)．]10．－14[依题意得f(x)＝12log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝log2x+122－14≥－14，当且仅当log2x＝－1211．解：(1)因为f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212，所以log2a−b解得a＝4，b＝2.(2)由(1)得f(x)＝log2(4x－2x)，令t＝4x－2x，则t＝4x－2x＝2x−1因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4，所以94≤2x−因为y＝log2t在[2，12]上单调递增，所以ymax＝log212＝2＋log23，即函数f(x)的最大值为2＋log23.12．解：(1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0，所以log2(1＋a)＝0，所以a＝0.经检验，当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数．所以a＝0.(2)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log212由题意得log2(1＋a)－log212+则log2(1＋a)≥log2(4a＋2)．所以1+a≥4a+2，4a故实数a的取值范围是−113．解：(1)因为f(x)＝log2(2x＋1)＋ax是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即log2(2－x＋1)－ax＝log2(2x＋1)＋ax，log2(2x＋1)－log2(2－x＋1)＋2ax＝0，log2(2x＋1)－log212x+log2(2x＋1)－log21+2xlog22x+1log22x＋2ax＝0，x＋2ax＝0，(1＋2a)x＝0，所以1＋2a＝0，即a＝－12(2)g(x)＝log2(2x＋1)＋12因为对任意的x1