人大微积分课件9-1重积分

第九章重积分本章将介绍重积分的概念和应用，并探讨其在多变量微积分中的重要性。重积分是对多维空间上的函数进行积分运算，可以用来计算区域、体积、质量和其它物理量。ppbypptppt9.1双重积分定义双重积分是指在一个平面区域上对一个二元函数进行积分，其结果表示函数在该区域上的“平均值”。计算我们可以通过将区域分割成小矩形，并计算每个矩形上的函数值之和来近似计算双重积分。应用双重积分在物理学、工程学和经济学中有着广泛的应用，例如计算物体的质量、面积、体积等。9.1.1双重积分的概念1定义双重积分是对一个二元函数在平面区域上的积分。2几何意义双重积分的值表示函数在积分区域上的体积。3计算双重积分可以通过两次一元积分来计算。双重积分是多变量微积分的重要概念，它可以用来计算曲面下的体积、区域的面积等。双重积分的定义基于对平面区域的划分，将该区域分割成许多小矩形，并计算每个矩形上的函数值之和。9.1.2计算双重积分的步骤11.确定积分区域确定函数积分所在的平面区域。22.选择积分次序决定先对哪个变量进行积分。33.计算积分将双重积分转化为两次一元积分。44.评估积分求解积分结果，得到最终的数值。5双重积分计算步骤可以概括为确定积分区域、选择积分次序、计算积分和评估积分。首先，需要明确函数积分所在的平面区域，然后选择先对哪个变量进行积分。接下来，将双重积分转化为两次一元积分，最后求解积分结果，得到最终的数值。9.1.3变量替换法1目的通过引入新的变量，简化双重积分的计算过程，将复杂的积分区域转化为更简单的形式。2步骤首先，确定新的变量及其与原变量的关系。其次，将原积分区域和被积函数用新变量表示。3应用例如，可以将椭圆区域转化为圆形区域，将双重积分转化为极坐标下的积分。9.1.4极坐标下的双重积分1定义将平面直角坐标系转换为极坐标系，将积分区域和被积函数用极坐标表示。2雅可比行列式引入雅可比行列式，将双重积分转化为极坐标下的积分。3积分计算根据极坐标下的积分公式，进行积分计算。极坐标下的双重积分简化了积分区域，特别是对于圆形或扇形区域的积分，可以简化计算过程。9.1.5应用举例计算面积双重积分可以用来计算平面区域的面积。例如，我们可以使用双重积分计算一个圆形的面积。计算体积双重积分可以用来计算三维空间中曲面下的体积。例如，我们可以使用双重积分计算一个圆锥的体积。计算质量双重积分可以用来计算一个物体的质量。例如，我们可以使用双重积分计算一个薄板的质量。9.2三重积分1定义三重积分是对一个三元函数在空间区域上的积分。2几何意义三重积分的值表示函数在积分区域上的体积。3计算三重积分可以通过三次一元积分来计算。三重积分是多变量微积分中重要的概念，用来计算三维空间中的体积、质量等物理量。三重积分的定义基于对空间区域的划分，将该区域分割成许多小立方体，并计算每个立方体上的函数值之和。9.2.1三重积分的概念1定义三重积分是指在一个空间区域上对一个三元函数进行积分。2几何意义三重积分的值表示函数在积分区域上的体积。3计算三重积分可以通过三次一元积分来计算。9.2.2计算三重积分的步骤11.确定积分区域明确函数积分所在的区域。22.选择积分次序决定先对哪个变量进行积分。33.计算积分将三重积分转化为三次一元积分。44.评估积分求解积分结果，得到最终的数值。9.2.3变量替换法1目的简化三重积分计算。2步骤引入新的变量，改变积分区域和被积函数。3应用球坐标系下的三重积分。变量替换法可以将复杂的积分区域转化为简单的形式，简化三重积分的计算。9.2.4球坐标下的三重积分定义球坐标系是描述三维空间中点位置的一种坐标系统，使用半径、方位角和仰角来确定点的位置。雅可比行列式球坐标系下的雅可比行列式为r²sinθ，它用于将三重积分从直角坐标系转换为球坐标系。积分计算球坐标系下的三重积分计算公式为：∫∫∫f(r,θ,φ)r²sinθdrdθdφ。9.2.5应用举例1计算体积三重积分可以计算三维空间中立体图形的体积。例如，我们可以使用三重积分计算一个球体的体积。2计算质量三重积分可以计算物体的质量。例如，我们可以使用三重积分计算一个不规则形状物体的质量。3计算重心三重积分可以计算物体的重心。例如，我们可以使用三重积分计算一个不均匀密度物体的重心。9.3曲面积分1定义曲面积分是指对一个向量函数沿着曲面进行积分。2类型曲面积分分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。3计算曲面积分可以通过参数方程和面积分来计算。曲面积分是多变量微积分中的重要概念，它可以用来计算流体穿过曲面的流量、曲面上的力等等。曲面积分的计算需要将曲面进行参数化，并使用面积分来进行计算。9.3.1曲面积分的概念定义曲面积分是指对一个向量函数沿着曲面进行积分。类型曲面积分分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。计算曲面积分可以通过参数方程和面积分来计算。9.3.2计算曲面积分的步骤11.参数化曲面将曲面表示为参数方程，方便计算积分。22.计算曲面法向量利用参数方程求出曲面法向量，用于确定积分方向。33.计算面积分将曲面积分转化为面积分，进行计算。9.3.3格林公式1定义将曲线积分与二重积分建立联系2内容封闭曲线积分等于其内部区域上的二重积分3应用计算曲线积分、面积等9.3.4斯托克斯公式1定义将曲面积分与曲线积分建立联系2内容曲面边界上的曲线积分等于曲面上旋度的曲面积分3应用计算曲线积分、曲面积分等斯托克斯公式是多变量微积分中的重要定理，它可以将曲面积分转化为曲线积分，反之亦然。该公式在物理学和工程学中有广泛的应用，例如计算流体动力学中的涡度、电磁学中的电磁场等。9.3.5应用举例计算流体流量曲面积分可计算流体穿过曲面的流量。例如，我们可以使用曲面积分计算河流穿过桥梁的流量。计算曲面上的力曲面积分可计算作用于曲面上的力。例如，我们可以使用曲面积分计算作用于飞机机翼上的空气动力。计算电磁场曲面积分可计算电磁场在曲面上的强度。例如，我们可以使用曲面积分计算电磁波穿过天线的强度。9.4高斯公式1定义将曲面积分与三重积分建立联系2内容封闭曲面的曲面积分等于其内部区域上的三重积分3应用计算流体流量、电场强度等9.4.1高斯公式的概念1定义高斯公式也称为散度定理，它建立了封闭曲面的曲面积分与其内部区域上的三重积分之间的关系。2内容高斯公式指出，封闭曲面的曲面积分等于其内部区域上的散度的三重积分。3重要性高斯公式是多变量微积分中的重要定理，它在物理学、工程学和数学中有广泛的应用。9.4.2高斯公式的应用计算流体流量高斯公式可以计算流体穿过封闭曲面的流量，例如计算流体从容器中流出的速度。计算电场强度高斯公式可以计算电场穿过封闭曲面的强度，例如计算带电球体周围的电场强度。计算磁场强度高斯公式可以计算磁场穿过封闭曲面的强度，例如计算电流环周围的磁场强度。9.4.3应用举例1计算电场强度高斯公式可用于计算带电球体周围的电场强度。2计算磁场强度高斯公式可用于计算电流环周围的磁场强度。3计算流体流量高斯公式可用于计算流体从容器中流出的速度。9.5本章小结1重积分概念双重积分、三重积分、曲面积分2计算方法直角坐标、极坐标、球坐标3重要公式格林公式、斯托克斯公式、高斯公式本章介绍了多变量微积分中重要的概念：重积分。学习了双重积分、三重积分和曲面积分的定义、计