专题02 函数及其性质（讲练）（解析版）-2024年中考数学复习

专题02函数及其性质目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知识建构考点一平面直角坐标系与函数【真题研析·规律探寻】题型01由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围题型02平面直角坐标系中面积问题题型03求平移后点的坐标题型04求旋转后点的坐标题型05求关于坐标轴对称后点的坐标题型06求自变量的取值范题型07函数图象的识别题型08画函数图象题型09动点问题的函数图象【核心提炼·查漏补缺】【好题必刷·强化落实】考点二一次函数、反比例函数、二次函数的性质【真题研析·规律探寻】题型01正比例函数的图象与性质题型02求一次函数解析式题型03一次函数的图象与性质题型04一次函数与方程、不等式题型05求反比例函数解析式题型06反比例函数的性质题型07反比例函数k的几何意义题型08反比例函数与一次函数综合题型09反比例函数与几何综合题型10求二次函数的解析式题型11二次函数的图象与性质题型12二次函数的图象与各系数符号题型13二次函数与一次函数、反比例函数综合判断题型14求二次函数最值题型15二次函数的平移问题【核心提炼·查漏补缺】【好题必刷·强化落实】

考点要求命题预测平面直角坐标系与函数该专题内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考查，分值为10分左右.预计2024年各地中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大．一次函数、反比例函数、二次函数的性质一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，其中，图象的性质经常以选择、填空题形式出现，而简单应用题型的考察较为灵活，单独考察一次函数的题目占比并不是很多，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合.反比例函数在中考数学中主要考察其图象与性质，常和一次函数的图象结合考察，题型以选择题为主;另外，在填空题中，对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐增大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意.另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系.在中考中，二次函数的出题形式不固定，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高.而考察的内容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等.考点一平面直角坐标系与函数题型01由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围点P(x，y)的位置在象限内第一象限x＞0，y＞0第二象限x＜0，y＞0第三象限x＜0，y＜0第四象限x＞0，y＜0坐标轴上x轴y=0

y轴x=0

原点x=y=0

在角平分线上第一、三象限x=y第二、四象限x=-y在平行坐标轴的直线上平行x轴所有点的

纵

坐标相等平行y轴所有点的

横

坐标相等1．（2023·山东日照·统考中考真题）若点Mm+3,m-1【答案】-3<m【分析】根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负进行求解即可.【详解】解：∵点Mm∴m+3>0解得-3<故答案为：-3<【点睛】本题主要考查了根据点所在的象限求参数，解一元一次不等式组，熟知第四象限内点的符号特点是解题的关键.2．（2023·广东湛江·统考二模）已知点P(-12，2a+6)在x【答案】-【分析】本题考查了x轴上的点的坐标特征，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出a即可．【详解】解：∵P(-12，∴2a解得a=-3故答案为：-33．（2023·四川巴中·统考中考真题）已知a为正整数，点P(4,2-a)在第一象限中，则【答案】1【分析】根据点在第一象限，则2-a>0，根据a为正整数，则【详解】∵点P(4,2-∴2-a∴a<2∵a为正整数，∴a>0∴0<a∴a=1故答案为：1【点睛】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握点的坐标的性质．题型02平面直角坐标系中面积问题关于平面直角坐标系中面积问题，常见的4种类型：1）直接利用面积公式求面积.（特征：当三角形的一边在x轴或y轴上时，常用这种方法.）【方法技巧】在求几何图形面积时，线段的长度往往通过计算某些点横坐标之差的绝对值，或纵坐标之差的绝对值去实现.(横坐标相减时最好用右边的数减左边的数，纵坐标相减时用上边的数减下边的数，这样所得结果就是边或高的长度，就不用绝对值符号了).2）已知三角形面积求点的坐标.【方法技巧】已知面积求点的坐标时，应先画出图形，再看图形的面积跟哪些线段有关系，当用坐标表示线段长度时，应取坐标的绝对值.3）利用补形法求面积.（当所求图形的边都不在x轴或y轴上时，一般用该方法.）【出题类型】求网格中的多边形面积.4）利用割补法求面积.（特征：将不规则图形分割为规则图形计算面积，可根据题的特点灵活选择解法.）【出题类型】与二次函数有关的面积问题.【方法技巧】用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.1．（2023·广西柳州·统考三模）如图，已知△ABC的顶点分别为A(-2,2)，B(-4,5)

(1)作出△ABC关于x轴对称的图形△(2)点P在x轴上运动，当AP+CP的值最小时，求出点(3)求△ABC【答案】(1)见解析(2)P(3)5.5【分析】（1）分别作三个顶点的关于x轴的对称点，再依次连接即可；（2）先确定点P，再根据待定系数法求出直线CA1的关系式，然后令（3）根据矩形的面积-3个三角形的面积，即可求出答案．【详解】（1）如图所示．

（2）根据对称性可知AP=∴AP+根据两点之间线段最短，可知连接CA1，与x轴相交于点P，点

设直线CA1的函数解析式为：把C(-5,1)，A(-2,-2)代入得：解得：k=-1∴直线CA1的函数解析式为：把y=0代入得：-x-∴P(-4,0)（3）S△【点睛】本题主要考查了作轴对称图形，求线段和最小，求三角形的面积等，根据线段的性质确定点P的位置是解题的关键．2．（2023·陕西铜川·统考三模）如图，抛物线y=ax2+3x+ca≠0与x轴交于点A-2,0和点B，与y轴交于点C0,8，顶点为D(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式；(2)求四边形ABDC的面积；(3)P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC=【答案】(1)y(2)70(3)点P的坐标为2,12或P【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式，然后令y=0，求得B点的坐标，进而求得BC（2）设抛物线的对称轴l与x轴交于点H，根据解析式得出顶点D的坐标为(3,252)（3）依题意得出S△PBC=35S△ABC=24，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+3∴4解得a=-∴抛物线的解析式为y=-令y=0，得-解得x1=-2，∴点B的坐标为（8设直线BC的解析式为y=把点B(8，0)，C得6k解得k=-1∴直线BC的解析式为y=-（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H，∵抛物线的解析式为y=-∴顶点D的坐标为(3,25∴S=1=1=70；（3）∵S△∴S如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点设点P(∵点F在直线BC上，∴F∴PF∴S∴1解得t1=2，∴点P的坐标为2,12或P6,8【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．如图在平面直角坐标系中，已知Aa，0，Bb，0，M-(1)求△ABM(2)在x轴上求一点P，使得△AMP的面积与△(3)在y轴上存在使△BMP的面积与△ABM的面积相等的P点，请直接写出点【答案】(1)S△(2)P-(3)点P的坐标为0，49【分析】（1）先根据非负性的性质求出a、b的值，再根据三角形面积公式求解即可；（2）设点Pp（3）设BM交y轴于点D，设P(0，q)，D0，d，先利用面积法求出d【详解】（1）解：∵a+1+b-3∴a+1=0，b∴a=-1，b∴A-1，∴S△（2）解：设点Pp由题意得S△∴p=3或p当p=3时，△AMP与∴点P-（3）解：如图②，设BM交y轴于点D，设P(0，q∵S△∴d=-∴D0∵S△∴12∴12解得q=49∴点P的坐标为0，49【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，绝对值方程，非负数的性质，解题的关在于能够熟练掌握非负数的性质，求出a、b的值．4.【知识呈现】当三角形的三边都不与坐标轴平行时，对于三角形的面积因不易求出底边和高的长度，所以不能直接利用三角形的面积公式来求，但可以将不规则图形运用补法或割法转化成规则的图形（如长方形，梯形），再运用和、差关系进行求解．【问题解答】在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A-1,3，B

(1)如图1，分别以点A，B，C向坐标轴作垂线构造长方形BDEF，求△ABC(2)在图1中过点A作AG∥y轴交BC于点G，如图①求AG的长；②猜想：△ABC的面积S与DE·AG【答案】(1)8(2)①3.2

②S【分析】（1）根据S△（2）①根据S△ABC=S△ABG+【详解】（1）S△（2）①根据题意可得S△解得AG=3.2②因为S△ABC=S△ABC=故答案为：S=【点睛】本题主要考查平面直角坐标系与几何图形，能采用补法和割法求图形面积是解题的关键．5．对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法：如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点A，C作水平线的铅垂线l1，l2，l1，l2之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B，D作水平线l3，l4，【结论提炼】容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S=【结论应用】为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．已知：如图3，点A-5,2，B5,0，C0,5，则△ABC的水平宽为10，铅垂高为______【再探新知】三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索：（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A-4,2，B1,5，C4,1，D-2,-4四个点，得到四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是______；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是______，由此发现：用“S=12dh”这一方法对求图4（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A-5,2，B1,5，C4,2，D-2,-3四个点，得到了四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是______，用其它的方法进行计算得到面积的大小是______，由此发现：用“S=12dh”这一方法对求图5（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A-4,2，B1,5，C5,1，D-1,-5四个点，得到了四边形ABCD．通过计算发现：用“S=12dh”这一方法对求图6【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“S=12dh”来求面积．那么，可以用“【答案】结论应用：4，20；再探新知：（1）36，37.5，不合适；（2）36，36，合适；（3）合适；归纳总结：一条对角线等于水平宽或铅垂高．【分析】结论应用：直接代入公式即可；再探新知：（1）求出水平宽，铅垂高，代入公式求出面积，再利用矩形面积减去周围四个三角形面积可得答案；（2）（3）与（1）同理；归纳总结：当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S=12dh”【详解】解：结论应用：由图形知，铅垂高为4，S△ABC=12×10×4=20故答案为：4，20；再探新知：（1）∵四边形ABCD的水平宽为8，铅垂高为9，∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为：8×9-12×2×6−12×3×5−12×6×5−∴用“S=12dh”这一方法对求图4故答案为：36，37.5，不合适；（2）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为8，∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为：8×9-12×3×5−12×6×5−12×3×6−∴用“S=12dh”这一方法对求图4故答案为：36，36，合适；（3）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为10，∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小45，利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为：10×9-12×5×7−12×4×6−12×5×3−∴用“S=12dh”这一方法对求图4故答案为：合适；归纳总结：当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S=12dh”故答案为：一条对角线等于水平宽或铅垂高．【点睛】本题主要考查了图形的面积，坐标与图形，割补法求不规则图形的面积等知识，由特殊到一般，采用类比的方法是解题的关键．题型03求平移后点的坐标变换方式具体变换过程变换后的坐标点P(x，y)平移变换向左平移a个单位（x-a，y）向右平移a个单位(x+a，y)向上平移a个单位(x，y+a)向下平移a个单位(x，y-a)简单记为“点的平移右加左减，上加下减”1．（2022·广东·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将点1,1向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（

）A．3,1 B．-1,1 C．1,3 D．【答案】A【分析】把点1,1的横坐标加2，纵坐标不变，得到3,1，就是平移后的对应点的坐标．【详解】解：点1,1向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为3,1．故选：A．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移．掌握平移的规律是解答本题的关键．2．（2022·海南·统考中考真题）如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC

A．(7,2) B．(7,5) C．(5,6) D．(6,5)【答案】D【分析】先过点C做出x轴垂线段CE，根据相似三角形找出点C的坐标，再根据平移的性质计算出对应D点的坐标．【详解】

如图过点C作x轴垂线，垂足为点E，∵∠∴∠ABO∵∠CBE∴∠ABO在ΔABO和Δ{∠ABO∴ΔABO∴ABBC=则BE=2AO=6∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∵点A坐标为(0，3)，∴点D坐标为(6，5)，选项D符合题意，故答案选D【点睛】本题考查了图象的平移、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质找出图象左右、上下平移的距离是解题的关键．3．（2021·浙江丽水·统考中考真题）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是(−1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（

）A．将B向左平移4.5个单位 B．将C向左平移4个单位C．将D向左平移5.5个单位 D．将C向左平移3.5个单位【答案】C【分析】直接利用利用关于y轴对称点的性质得出答案．【详解】解：∵点A(−1，b)关于y轴对称点为B(1，b)，C(2，b)关于y轴对称点为(-2，b)，需要将点D(3.5，b)向左平移3.5+2=5.5个单位，故选：C．【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．4．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是．【答案】（1，3）【分析】根据点A和点A1【详解】解：∵顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），又-3+5=2,4+1=5∴平移ΔABC至ΔA1B1C1的规律为：将∵B（﹣4，2）∴B1的坐标是（-4+5，2+1），即（1，3故答案为：（1，3）【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正确找出平移规律是解答本题的关键．题型04求旋转后点的坐标点P(x，y)具体变换过程变换后的坐标旋转变换绕原点顺时针旋转90°（y，-x）绕原点顺时针旋转180°(-x，-y)绕原点逆时针旋转90°（-y，x）绕原点逆时针旋转180°(-x，-y)1．（2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝27，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（

）A．（4，2）或（﹣4，2） B．（23，﹣4）或（﹣23，4）C．（﹣23，2）或（23，﹣2） D．（2，﹣23）或（﹣2，23）【答案】C【分析】先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标．【详解】过点A作AC⊥OB于点在Rt△AOC中，AC2在Rt△ABC中，AC2∴OA∵OA＝4，OB＝6，AB＝27，∴OC=2∴AC=2∴点A的坐标是2,23根据题意画出图形旋转后的位置，如图，∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为23将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为-2故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）．2．（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图，将△ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（4，0） B．（2，﹣2） C．（4，﹣1） D．（2，﹣3）【答案】C【分析】根据平移和旋转的性质，将△ABC先向右平移1个单位，再绕P点顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，即可得点B的对应点B'【详解】作出旋转后的图形如下：∴B'点的坐标为（4，﹣1），故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形变换−旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．3．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，将△ABC先向右平移3个单位，再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C'A．(2,0) B．(-2,-3) C．(-1,-3) D．(-3,-1)【答案】C【分析】先画出平移后的图形，再利用旋转的性质画出旋转后的图形即可求解．【详解】解：先画出△ABC平移后的△DEF，再利用旋转得到△A'B'C'，由图像可知A'（-1，-3），故选：C．【点睛】本题考查了图形的平移和旋转，解题关键是掌握绕原点旋转的图形的坐标特点，即对应点的横纵坐标都互为相反数．4．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A-1,1，B-4,0，C-2,2．将△(1)请写出A1、B1、C1三点的坐标：A1_________，B(2)求点B旋转到点B1【答案】(1)（1，1）；（0，4）；（2，2）(2)2π【分析】（1）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，点A1，B1，C1的坐标即为点A，B，C绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的点，由此可得出结果．（2）由图知点B旋转到点B1的弧长所对的圆心角是90º，OB=4【详解】（1）解：将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，点A1，B1，C1的坐标即为点A，B，C绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的点，所以A1（1，1）；B1（0，4）；C1（2，2）（2）解：由图知点B旋转到点B1的弧长所对的圆心角是90度，OB=4，∴点B旋转到点B1的弧长=90180【点睛】本题主要考查点的旋转变换和弧长公式，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和弧长公式．题型05求关于坐标轴对称后点的坐标点P(x，y)具体变换过程变换后的坐标对称变换关于x轴对称(x，-y)关于y轴对称(-x，y)关于原点对称(-x，-y)简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变”关于x=m对称(2m-x，y)关于y=n对称(x，2n-y)1．（2022·江苏常州·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称．已知点A1(1,2)，则点A．(-2,1) B．(-2,-1) C．(-1,2) D．(-1,-2)【答案】D【分析】直接利用关于x，y轴对称点的性质分别得出A，A2【详解】解：∵点A1的坐标为（1，2），点A与点A1关于∴点A的坐标为（1，-2），∵点A与点A2关于y∴点A2的坐标是（-1，﹣2故选：D．【点睛】此题主要考查了关于x，y轴对称点的坐标，正确掌握关于坐标轴对称点的性质是解题关键．2．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，两个灯笼的位置A,B的坐标分别是-3,3,1,2，将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于原点O对称 D．关于直线y=【答案】B【分析】先根据平移方式求出B'3，【详解】解：∵将B1,2向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B∴B'∵A-∴点A,B'故选B．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和轴对称，正确根据平移方式求出B'3．（2022·广西贵港·中考真题）若点A(a,-1)与点B(2,b)关于A．-1 B．-3 C．1 D【答案】A【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可．【详解】∵点A(a,-1)与点B∴a=-2，b=-1，∴a-b=-1，故选A．【点睛】本题考查了关于y轴对称的点坐标的关系，代数式求值，解题的关键在于明确关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数．题型06求自变量的取值范函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．注意：实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义.1．（2020·湖北黄石·中考真题）函数y=1x-3A．x≥2，且x≠3 B．x≥2 C．x≠3 D【答案】A【分析】根据分式与二次根式的性质即可求解．【详解】依题意可得x-3≠0，x-2≥0解得x≥2，且故选A．【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质．2．（2022·湖北恩施·统考中考真题）函数y=x+1x-A．x≠3 B．C．x≥-1且x≠3 D【答案】C【分析】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：∵x+1∴x+1≥0,解得x≥-1且x故选C．【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键．3．（2022·湖南娄底·统考中考真题）函数y=1x-1【答案】x【分析】由1x-1【详解】解：由1x{x-1≥0x解得：x>1.故答案为：x【点睛】本题考查的是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键．题型07函数图象的识别1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知点M-4,aA．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】点M-4,a-2,N-2,a,P2,【详解】解：∵N-∴得N、P关于y轴对称，∴选项A、C错误，∵M-∴当x<0时，y随x∴选项D错误，选项B正确．故选：B．【点睛】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．2．（2022·青海·统考中考真题）2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看.最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶.在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：汽车行驶的路程y与行驶的时间t之间的关系进行判断即可．【详解】解：由题意可得函数图像分为三段：第一段由左向右呈下降趋势，第二段与x轴平行，第三段由左向右呈下降趋势，且比第一段更陡，故选项B符合，随着时间的增多，汽车离剧场的距离越来越近，即离x轴越来越近，排除A、C、D；故选：B．【点睛】此题主要考查了函数图象，解题的关键是根据函数图象的性质分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．3．（2023·山东滨州·统考中考真题）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH>7时溶液呈碱性，当pH<7时溶液呈酸性．若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据题意，NaOH溶液呈碱性，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，pH的值则接近7，据此即可求解．【详解】解：∵NaOH溶液呈碱性，则pH>7，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，pH的值则接近7故选：B．【点睛】本题考查了函数的图象，数形结合是解题的关键．4．（2023·四川·统考中考真题）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽，再从函数的图象上看，选出答案．【详解】解：从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽．则注入的水量v随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢，那么从函数的图象上看，C对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合；A、B对应的图象中间没有变化，只有D符合条件．故选：D．【点睛】本题主要考查函数的定义及函数的图象的关系，抓住变量之间的变化关系是解题的关键．题型08画函数图象【解题技巧】此类题型考查利用列表法画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．1．（2022·山东临沂·统考中考真题）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．(1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0<y(2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点О右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x……0.250.5124……y…………【答案】(1)y=4x(2)y=【分析】（1）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂解答即可；（2）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求出解析式，然后根据列表、描点、连线的步骤解答．【详解】（1）解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，∴重物×OA=秤砣×OB．∵OA=2cm，重物的质量为xkg，OB的长为ycm，秤砣为0.5∴2x=0.5y，∴y=4∵4>0，∴y随x的增大而增大，∵当y=0时，x=0；当y=48时，x=12，∴0<x（2）解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，∴秤砣×OA=重物×OB．∵OA=2cm，重物的质量为xkg，OB的长为ycm，秤砣为0.5∴2×0.5=xy，∴y=当x=0.25时，y=当x=0.5时，y=当x=1时，y=当x=2时，y=当x=4时，y=填表如下：x……0.250.5124……y……42111……画图如下：【点睛】本题考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，以及列表、描点、连线画函数图象的方法，求出函数解析式是解答本题的关键．2．（2023·四川达州·统考中考真题）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL=2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R…1a346…I…432.42b…

(1)a=_______，b=_______(2)【探究】根据以上实验，构建出函数y=12x①在平面直角坐标系中画出对应函数y=

②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是_________．(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，12x+2【答案】(1)2，1.5(2)①见解析；②函数值y逐渐减小(3)x≥2或【分析】（1）根据解析式求解即可；（2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；（3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论．【详解】（1）解：由题意，I=当I=3时，由3=12a当R=6时，b故答案为：2，1.5；（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数y=

②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y逐渐减小，故答案为：函数值y逐渐减小；（3）解：当x=2时，y=-32×2+6=3∴函数y=12x+2x≥0与函数在同一平面直角坐标系中画出函数y=-

由图知，当x≥2或x=0时，即当x≥0时，12x+2≥-3故答案为：x≥2或x【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键．3．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，M为AB边上一动点，BN⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距离为y小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．(1)列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：x/cm00.511.51.822.533.544.55y/cm43.963.793.47a2.992.401.791.230.740.330请你通过计算，补全表格：a=______(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点x,y，并画出函数y关于(3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：______．(4)解决问题：当BN=2AM时，AM的长度大约是【答案】(1)3.2(2)答案见解析(3)y随x的增大而减小(4)1.67【分析】（1）先求出AB边上的高，进而求出AM'，判断出点M与M'重合，即可得出答案；（2）先描点，再连线，即可画出图像；（3）根据图像直接得出结论；（4）利用表格和图像估算出AM的长度．【详解】（1）解：如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AC＝5，过点C作CM'⊥AB于M，∴S△ABC＝12AC•BC＝12AB•CM∴CM'＝125在Rt△ACM'中，根据勾股定理得，AM'＝AC当a＝1.8时，点M与点M'重合，∴CM⊥AB，∵BN⊥CM，∴点M，N重合，∴a＝BN＝BM＝AB﹣AM＝3.2，故答案为：3.2；（2）解：如图所示，（3）解：由图像知，y随x的增大而减小，故答案为：y随x的增大而减小；（4）解：如图，直线OD的解析式为y=2借助表格和图像得，当BN＝2AM时，AM的长度大约是1.67cm，故答案为：1.67．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积，函数图像的画法，画出函数图像是解本题的关键．4．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y=(1)绘制函数图象①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝．x……﹣5﹣4﹣3﹣2﹣112345……y……﹣3.8﹣2.5﹣1155a﹣1﹣2.5﹣3.8……②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；(2)探究函数性质，请写出函数y＝6|x|-|x|的一条性质：(3)运用函数图象及性质①写出方程6|x|-|x|＝5的解②写出不等式6|x|-|x|≤1的解集【答案】(1)①1；②见解析，③见解析(2)y=6|(3)①x=1或x=-1；②x【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描点，连线即可；（2）观察函数图象，可得函数性质；（3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案．【详解】（1）①列表：当x=2时，a=故答案为：1；②描点，③连线如下：（2）观察函数图象可得：y=6|故答案为：y=6|（3）①观察函数图象可得：当y=5时，x=1或x=-1，6|x|-|x|=5故答案为：x=1或x=-1，②观察函数图象可得，当x≤-2或x≥2时，y≤1，∴6|x|-|x|≤1故答案为：x≤-2或x≥2．【点睛】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．题型09动点问题的函数图象类型一动点与函数图象判断的解题策略方法一：趋势判断法.根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势；方法二：解析式计算法.根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断；方法三：定点求值法.结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除；方法四：范围排除法.根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除．类型二动点与函数图象计算的解题策略一看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等；二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况；三结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值；四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解．1．（2023·河北·统考中考真题）如图是一种轨道示意图，其中ADC和ABC均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且AM=CN．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M→A→D→C→N和N→

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为AM+CN+2R，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿A→D→C和【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，设圆的半径为R，∴两个机器人最初的距离是AM+∵两个人机器人速度相同，∴分别同时到达点A，C，∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；当两个机器人分别沿A→D→C和当机器人分别沿C→N和A→故选：D．【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键．2．（2022·甘肃武威·统考中考真题）如图1，在菱形ABCD中，∠A=60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与xA．3 B．23 C．33 D【答案】B【分析】根据图1和图2判定三角形ABD为等边三角形，它的面积为33【详解】解：在菱形ABCD中，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，设AB=a，由图2可知，△ABD的面积为33∴△ABD的面积=解得：a=23(负值已舍故选B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．3．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（

A．1552 B．427 C．17 D【答案】C【分析】根据图象可知t=0时，点P与点A重合，得到AB=15，进而求出点P从点A运动到点B所需的时间，进而得到点P从点B运动到点C的时间，求出BC的长，再利用勾股定理求出【详解】解：由图象可知：t=0时，点P与点A∴AB=15∴点P从点A运动到点B所需的时间为15÷2=7.5s∴点P从点B运动到点C的时间为11.5-7.5=4s∴BC=2×4=8在Rt△ABC中：故选C．【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出AB,BC4．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB=DE=2,DG=3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABCA．B．C．D．【答案】B【分析】根据平移过程，可分三种情况，当0≤x<1时，当1≤x<3时，当3≤x【详解】过点C作CM⊥AB于N，DG=3在等腰Rt△ABC中，∴CN①当0≤x<1时，如图，∴PQ∴y∴0≤x<1，y随②当1≤x∴y∴当1≤x<3时，y是一个定值为③当3≤x≤4时，如图，∴PQ∴y当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0，结合ABCD选项的图象，故选：B．【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键．5．（2021·山东聊城·统考中考真题）如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】依次分析当0≤x≤3、3<x【详解】解：如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F，∵已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，∴DE=CF=4，∵点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，∴PQ∥DE∥CF，∵AD=5，∴AE=∴当0≤x≤3时，P点在AE之间，此时，AP=∵APAE∴PQ=∴S△因此，当0≤x≤3时，其对应的图像为y=23∵CD＝3，∴EF=CD=3，∴当3<x≤6时，P点位于EF上，此时，Q点位于DC上，其位置如图中的P1Q1，则因此当3<x≤6时，对应图像为∵∠ABC＝45°，∴BF=CF=4，∴AB=3+3+4=10，∴当6<x≤10时，P点位于FB上，其位置如图中的P2Q2，此时，P2B=10-同理可得，Q2P2=P2B=10-x，S△因此当6<x≤10时，对应图像为y=-故选：B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的推论、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积公式、二次函数的图像等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能分情况讨论等，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．6．（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【详解】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，

根据相似比可知：EFBC即EF6解得：EF=2（3-x），则△DEF的面积y=12×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-32)2+故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为(32，94故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键．一、点的坐标特征及变化1）点的坐标特征点P(x，y)的位置在象限内第一象限x＞0，y＞0第二象限x＜0，y＞0第三象限x＜0，y＜0第四象限x＞0，y＜0坐标轴上x轴y=0

y轴x=0

原点x=y=0

在角平分线上第一、三象限x=y第二、四象限x=-y在平行坐标轴的直线上平行x轴所有点的

纵

坐标相等平行y轴所有点的

横

坐标相等2）点的坐标变化变换方式具体变换过程变换后的坐标点P(x，y)平移变换向左平移a个单位（x-a，y）向右平移a个单位(x+a，y)向上平移a个单位(x，y+a)向下平移a个单位(x，y-a)简单记为“点的平移右加左减，上加下减”对称变换关于x轴对称(x，-y)关于y轴对称(-x，y)关于原点对称(-x，-y)简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变”关于x=m对称(2m-x，y)关于y=n对称(x，2n-y)旋转变换绕原点顺时针旋转90°（y，-x）绕原点顺时针旋转180°(-x，-y)绕原点逆时针旋转90°（-y，x）绕原点逆时针旋转180°(-x，-y)3）点到坐标轴的距离在平面直角坐标系中，已知点P(a,b)，则1）点P到x轴的距离为b；2）点P到y轴的距离为a；3）点P到原点O的距离为P＝a24）坐标系内点与点之间的距离点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）：MN若AB∥x轴，则A(xA若AB∥y轴，则A(x,二、函数的知识函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围.确定函数取值范围的方法：1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数；2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零；3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零；4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零；5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义.函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在.2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解.函数的三种表示法及其优缺点解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法.列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法.图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法.优点缺点解析法准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示列表法自变量和与它对应的函数值数据一目了然所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性图像法形象的把自变量和函数值的关系表示出来图像中只能得到近似的数量关系1．（2023·江苏盐城·景山中学校考模拟预测）函数y=-A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【答案】A【分析】根据二次根式有意义的条件和函数的解析式可得x>0，y<0【详解】解：由函数y=-1x-x所以函数y=-故选：A．【点睛】本题考查了函数的图象，正确求得x>0，y<02．（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，则点B的对应点B'

A．-4,1 B．-1,2 C．4,-1 D【答案】D【分析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．【详解】解：如图，将线段AB先向右平移5个单位，得到点B2,1，连接OB，将OB绕原点顺时针旋转90°则B'对应坐标为1,-2

故选：D．【点睛】本题考查了图形的平移与旋转，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键．3．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）平面直角坐标系中，点A-3,2，B1,4，Cx,y，若A．2,1,2 B．6,-3,4 C．4,【答案】A【分析】由AC∥x轴，A-3,2，根据坐标的定义可求得y值，根据线段BC最小，确定BC⊥AC，垂足为点【详解】解：如图，∵AC∴C点的纵坐标为与A点的纵坐标相同，即y=2∵当BC⊥AC时，线段BC最短，此时∴此时C点的横坐标与B点的横坐标相同，即x=1即C1,2，此时BC故选：A．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，熟记点到坐标轴的距离与这个点坐标的区别及点到直线垂线段最短是解题的关键．4．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）如图所示平面直角坐标系，Rt△OAB中，AO=2，∠A=90°，∠ABO=30°．

A．4,3 B．4+2,3 C【答案】C【分析】连接O'A并延长交y轴于E，连接BO【详解】解：连接O'A并延长交y轴于E，连接

∵AM=∴四边形AOBO∴EO'∥x∴AE⊥y∵AO=2∴∠AOB∴∠AOE∴AE=∵AO∴O'∴点O的对应点O'的坐标为5故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质、含30°的直角三角形．掌握相关结论是解题关键．5．（2023·河北石家庄·校联考二模）一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A处有一艘船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（）

A．向北偏西150°方向航行4海里 B．向南偏西120°方向航行3海里C．向北偏西60°方向航行4海里 D．向东偏北150°方向航行3海里【答案】C【分析】根据方向角的定义：以正南或正北为基准，到目标所在线形成的小于90°的角，进行判断即可．【详解】解：根据方向角的定义可知，搜救船的航行方案调整为向北偏西60°方向航行4海里，故选：C．【点睛】本题考查利用方向角确定位置．熟练掌握方向角的定义，是解题的关键．6．（2023·广东肇庆·统考三模）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变：④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】C【分析】本题主要考查函数的图象的应用，解题时要能熟练掌握并能学会读图分析是关键．依据题，分析图象变化前后的实际意义即可得答案．【详解】解：由图可知，点A的纵坐标的相反数表示成本，一次函数的比例系数表示票价．图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本，故①错误，②正确；图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变，故③正确，④错误．故选：C．7．（2023·广东东莞·校联考二模）如图，⊙O的半径为2，弦CD垂直直径AB于点E，且E是OA的中点，点P从点E出发（点P与点E不重合），沿E→D→B的路线运动，设AP=xA．B．C． D．【答案】C【分析】本题考查动点问题的函数图象，当点P在线段ED时，y=sin∠APC=AEPA=1x，推出当【详解】解：连接OD,∵弦CD垂直直径AB于点E，且E是OA的中点，OA=2∴AE=OE又AP=∴当点P在线段ED时，y=∴当1<x当点P在BD上时，∠APC是定值，y故选：C．8．（2023·安徽·模拟预测）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°,AB=2，正方形DEFG的边长为1，且AB与DE在同一条直线上，△ABC从点B与点D重合开始，沿直线DE向右平移，直至点A与点E完全重合时停止．设BD的长为x,△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，抛物线的解析式及其图像，分割法计算面积，分类思想，图像信息的获取与处理，利用分类思想，表示不同阶段的图形面积，再画出大致图像即可．【详解】解：①当0≤x≤1时，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°,∴∠∵设BD的长为x,∴y=②当1<x∵设BD的长为x,∴BE=BD-∵∠CAB∴y==-x③当2<x≤3时，根据题意，得AE=∴y=1∴．观察图像，知B项正确，故选：B．9．（2023·广东湛江·统考一模）已知点P-m,m-3，当m=-1时，点P在第象限，当点P【答案】四3【分析】本题主要考查了各象限内点的坐标符号特征以及坐标轴上的点的特征，解题的关键是熟记各象限内点的坐标符号．m=-1时，横坐标大于零，纵坐标小于零，即可得出答案，再根据x轴上的点的纵坐标为0，即可求解得m【详解】解：m=-1时，-m=1>0，m-3=-4<0当点P在x轴上时，由x轴上的点的纵坐标为0可得m-3=0，解得故答案为：四；3．10．（2023·四川眉山·校考三模）平面直角坐标系内有一点Mx,y，已知x，y满足4x+3+(5y-【答案】一【分析】根据4x+3+(5y【详解】∵4x∴x=-∴M-∴N3故点N在第一象限，故答案为：一．【点睛】本题考查了实数的非负性，关于y轴对称纵坐标不变，横坐标变相反数，熟练掌握对称点的确定是解题的关键．11．（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）中国象棋是一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化经典产物．如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点-1,-2，“马”位于点3,-2，则“兵”位于点【答案】-【分析】由“帅”位于点-1,-2，“马”位于点3,-2，可得每个小方格代表的长度为1，再根据“帅”到“兵”的移动方式即可确定“兵”【详解】解：∵“帅”位于点-1,-2，“马”位于点3,-2，“帅”与“马”相距4∴每个小方格代表的长度为1，“帅”与“马”在直线y=-2由图可知，“帅”向上移动3格，向左移动2格到达“兵”，∴“兵”位于点-1-2,-2+3上，即-故答案为：-3,1【点睛】本题考查实际问题中用坐标表示位置，解题的关键是通过已知点坐标得出每个小方格代表的长度．12．（2023·广西钦州·校考模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A0,1、B2,0、

(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，并画出△ABC关于y(2)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4．求点P【答案】(1)见解析(2)P10，0或P6，0【分析】（1）确定点B2,0、C4,3关于y轴的对称点B1-2,0、C（2）由P为x轴上一点，S△ABP=【详解】（1）解：如图所示，确定点B2,0、C4,3关于y轴的对称点B1-2,0、C

（2）∵P为x轴上一点，A(0,1)∴OA=1，S∴BP=8∵B(2,0)∴P点的横坐标为：2+8=10或2-8=-6；．∴P(10,0)或P【点睛】本题考查轴对称，直角坐标系内三角形面积计算；直角坐标系内，由点坐标求线段长度是解题的关键．13．（2023·广东茂名·统考三模）已知函数y=y1+y2，其中y1=(4-a)xa2(1)解析式探究，根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为：(2)下表是y与x的几组对应值x112345678ym0--04n187表中表中m=，n(3)根据表中数据，在平面直角坐标系中，描点并画出该函数的图象；(4)结合画出的函数图象，解决问题：估计y1+y2=-x+5【答案】(1)y=(2)72；(3)详见解析(4)4.6【分析】本题考查了反比例函数的图象，函数和方程的关系，数形结合是解题的关键．（1）求得y1用待定系数法设y2=k2（2）把x=12和x=6分别代入（1）求得的解析式，即可求得（3）在平面直角坐标系中描点，用平滑曲线从左到右顺次连接各点，画出图象；（3）函数y=y1+y2和直线【详解】（1）∵y∴4-a≠0且解得a=0∴y设y2=k∵当x=2时，y∴-1=4解得k=1∴y故答案为：y=（2）把x=12代入y∴m把x=6代入y=4∴n故答案为72，5（3）根据表中数据，在平面直角坐标系中描点，画出图象．（4）观察图象，函数y=y1+y2和直线当x=4.5时，y=4当x=4.6时，y=4当x=4.7时，y=4∴估计y1+y2=-故答案为4.6．考点二一次函数、反比例函数、二次函数的性质题型01正比例函数的图象与性质图象特征正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）.一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（-bk，0增减性k>0k<0从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而减少图象b>0b=0b<0b>0b=0b<0经过象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四与y轴交点位置b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上1．（2021·湖南益阳·统考中考真题）正比例函数y=2x与反比例函数y=A．函数值y随x的增大而增大 B．图象在第一、三象限都有分布C．图象与坐标轴有交点 D．图象经过点2,1【答案】B【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象与性质逐项判断即可得．【详解】A、正比例函数y=2x，函数值y随x的增大而增大；反比例函数y=2xB、正比例函数y=2x的图象在第一、三象限都有分布，反比例函数C、正比例函数y=2x的图象与坐标轴的交点为原点，反比例函数D、正比例函数y=2x，当x=2时，y=4，即其图象经过点故选：B．【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数和反比例函数的图象与性质是解题关键．2．（2023·甘肃武威·统考中考真题）若直线y=kx（k是常数，k≠0）经过第一、第三象限，则kA．-2 B．-1 C．-1【答案】D【分析】通过经过的象限判断比例系数k的取值范围，进而得出答案．【详解】∵直线y=kx（k是常数，∴k>0∴k的值可为2，故选：D．【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键．3．（2021·四川成都模拟预测）在正比例函数y=kx中，y的值随着x值的增大而减小，则点P3,【答案】四【详解】解：∵正比例函数y=kx中，函数y的值随x值的增大而∴k<0，∴点P3,k在第故答案为：四．4．（2023·山东·统考中考真题）一个函数过点1,3，且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式．【答案】y=3【分析】根据题意及函数的性质可进行求解．【详解】解：由一个函数过点1,3，且y随x增大而增大，可知该函数可以为y=3故答案为y=3【点睛】本题主要考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．题型02求一次函数解析式确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法.用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组；3）解方程或方程组求出k，b的值；4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式.1．（2023·江苏苏州·统考中考真题）已知一次函数y=kx+b的图象经过点1,3和-【答案】-【分析】把点1,3和-1,2代入y=kx【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点∴k+b=3∴k2故答案为：-【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键．2．（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，直线y＝12x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b(1)求点A′的坐标；(2)确定直线A′B对应的函数表达式．【答案】(1)A′（2，0）(2)y＝﹣x+2【分析】（1）利用直线解析式求得点A坐标，利用关于y轴的对称点的坐标的特征解答即可；（2）利用待定系数法解答即可．【详解】（1）解：令y＝0，则12x+1＝0∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0）．∵点A关于y轴的对称点为A′，∴A′（2，0）．（2）解：设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b，∴2k解得：k=-1∴直线A′B对应的函数表达式为y＝﹣x+2．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质、一次函数图象上点的坐标的特征、待定系数法确定函数的解析式、关于y轴的对称点的坐标的特征等知识，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．3．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，点A2,m在直线y=2x-52

(1)求m的值和直线AB的函数表达式．(2)若点Pt,y1在线段AB上，点Qt【答案】(1)m=3(2)15【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线AB的函数解析式为y=（2）由（1）及题意易得y1=-34t【详解】（1）解：把点A2,m代入y=2设直线AB的函数表达式为y=kx+b，把点2k+b∴直线AB的函数表达式为y=-（2）解：∵点Pt,y1在线段AB上，点∴y1=-3∴y1∵k=-∴y1-y∴当t=0时，y1-【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．题型03一次函数的图象与性质一、在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-bk

，即直线y=kx+b与x轴交于(令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b)1）当-bk>0时，即k，b异号2）当-bk=03）当-bk<0，即k，b二、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系：1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合；2)当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行；3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）；4）当k1•k2=-1时，两直线垂直；5）当k1≠k2时，两直线相交.一次函数图象与正比例函数图象的关系一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到：当b>0时，向上平移b个单位长度；当b<0时，向下平移|b|个单位长度平移口诀：左加有减，上加下减一次函数图象确定方法因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可，1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(-bk，2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可.1．（2023·山东临沂·统考中考真题）对于某个一次函数y=kx+

A．k>0 B．kb<0 C．k+【答案】C【分析】首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，再确定一次函数y=【详解】解：∵一次函数y=∴k>0，b∴kb<0，故选项B∵一次函数y=kx+∴2k+b∴k+b=∵b=-2∴k=-12故选：C．【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负．2．（2022·安徽·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+a2A．B．C．D．【答案】D【分析】分为a>0和a【详解】解：当x=1时，两个函数的函数值：y=a+a2，即两个图像都过点当a>0时，a2>0，一次函数y=ax+a当a<0时，a2>0，一次函数y=ax+a2经过一、二、四象限，与故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质．理解和掌握它的性质是解题的关键．一次函数y=①当k>0，b>0时，函数②当k>0，b<0时，函数③当k<0，b>0时，函数④当k<0，b<0时，函数3．（2023·江苏无锡·统考中考真题）将函数y=2x+1的图像向下平移2A．y=2x-1 B．y=2x【答案】A【分析】根据题目条件函数y=2x+1的图像向下平移2个单位长度，则b【详解】解：∵函数y=2x+1∴y=2故答案为：A．【点睛】本题主要考查函数平移，根据题目信息判断是沿y轴移动还是沿x轴移动是解题的关键．4．（2021·江苏苏州·统考中考真题）已知点A2,m，B32,n在一次函数yA．m>n B．m=n C【答案】C【分析】根据一次函数的增减性加以判断即可．【详解】解：在一次函数y=2x+1中，∵k=2>0，∴y随x的增大而增大．∵2<94∴2<∴m<n．故选：C【点睛】本题考查了一次函数的性质、实数的大小比较等知识点，熟知一次函数的性质是解题的关键．5．（2022·内蒙古包头·中考真题）在一次函数y=-5ax+b(a≠0)中，y的值随xA．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【答案】B【分析】根据一次函数的性质求出a的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断A点所处的象限即可．【详解】∵在一次函数y=-5ax+b(∴-5a＞又∵ab>0∴b＜∴点A(故选：B【点睛】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．6．（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，一次函数y=x+2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段

A．6+2 B．32 C．2+【答案】A【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．【详解】解：∵一次函数y=x+2的图像与x轴、y轴分别交于点令x=0，则y=2，令y=0，则x=-2则A（-2，0），B（0，2则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB=22+过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，∴AC=AD2+C∵旋转，∴∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD=BC2-C又BD=AB+AD=2+x，∴2+x=3x，解得：x=3+1，∴AC=2x=2（3+1）=6+故选A．

【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．7．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，直线y=kx-2k+3（k为常数，k<0）与x，y轴分别交于点A

【答案】1【分析】根据一次函数解析式得出OA=2k【详解】解：y=∴当y=0时，x=-3k+2∴OA=-3k∴2OA故答案为：1．【点睛】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．8．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）已知(x1，y1)，A．若x1x2>0，则y1C．若x2x3>0，则y1【答案】D【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵直线y=−2x+3∴y随x增大而减小，当y=0时，x=1.5∵(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y=−2x+3上的三个点，且x1<x2<x3∴若x1x2>0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，故选项A不符合题意；若x1x3<0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不符合题意；若x2x3>0，则x2，x3同号，但不能确定y1y3的正负，故选项C不符合题意；若x2x3<0，则x2，x3异号，则x1，x2同时为负，故y1，y2同时为正，故y1y2>0，故选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．题型04一次函数与方程、不等式一、一次函数与一元一次方程思路：由于任何一