苏科版初中八年级数学上册3-2勾股定理的逆定理课件

第3章勾股定理3.2勾股定理的逆定理基础过关全练知识点1勾股定理的逆定理1.下面几组数,不能作为直角三角形三边长度的是

()A.1.5,2,2.5

B.3,4,5C.6,8,12

D.30,40,50C解析

A.1.52+22=2.52,符合勾股定理的逆定理,能作为直角三

角形三边长度,不符合题意.B.32+42=52,符合勾股定理的逆定理,能作为直角三角形三边

长度,不符合题意.C.62+82≠122,不符合勾股定理的逆定理,不能作为直角三角

形三边长度,符合题意.D.302+402=502,符合勾股定理的逆定理,能作为直角三角形三

边长度,不符合题意.故选C.2.(教材变式·P85练习T2)△ABC的三边为a、b、c,且(a+b)(a-

b)=c2,则

()A.边a的对角是直角B.边b的对角是直角C.边c的对角是直角D.△ABC是钝角三角形A解析∵(a+b)(a-b)=c2,∴a2-b2=c2,∴a2=b2+c2.又∵a、b、c为△ABC的三边,∴该三角形为直角三角形,∠A=90°,∴边a的对角是直角.故选A.3.(2024江苏镇江润州期中)已知△ABC的三条边分别

为a、b、c,三个内角分别为∠A、∠B、∠C,则满足下列条

件的△ABC不是直角三角形的是

()A.a=6,b=8,c=10

B.a2-c2=b2C.∠A=2∠B=3∠C

D.∠A-∠B=∠CC解析

A.∵102=62+82,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,不

符合题意;B.∵a2-c2=b2,∴a2=b2+c2,∴△ABC是直角三角形,不符合题意;C.设∠A=x°,则∠B=

°,∠C=

°,则x+

+

=180,∴x=

,即∠A=

°,∴△ABC不是直角三角形,符合题意;D.∵∠A-∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=90°,∴△ABC

是直角三角形,不符合题意.故选C.4.(2024江苏淮安淮阴期中)已知△ABC的三边长分别是6

cm、8cm、10cm,则△ABC的面积是

.24cm2

解析∵62+82=102,∴△ABC是直角三角形.∴△ABC的面积

为

×6×8=24(cm2).故答案为24cm2.5.如图,在△ABC中,D为BC边上的点,已知AB=13,AD=12,AC=

15,BD=5,求△ACD的面积.

解析在△ABD中,AB=13,AD=12,BD=5,∴BD2+AD2=52+122=

169,AB2=132=169,∴BD2+AD2=AB2,∴△ABD是直角三角形,即

AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵AD=12,AC=15,∴CD2=AC2-AD2=1

52-122=81,∴CD=9,∴S△ACD=

CD·AD=

×9×12=54.6.(2024江苏盐城大丰期末)如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,

AC=12,AB=13,点D是Rt△ABC外一点,连接DC,DB,且CD=4,

BD=3.(1)求BC的长.(2)求证:△BCD是直角三角形.解析(1)在Rt△ABC中,∠BCA=90°,AC=12,AB=13,∴BC2=

AB2-AC2=132-122=25,∴BC=5.(2)证明:在△BCD中,CD=4,BD=3,BC=5,∴CD2+BD2=42+32=52=BC2,∴△BCD是直角三角形.7.(教材变式·P85练习T3)下列各组数中,是勾股数的一组是

()A.0.3,0.4,0.5

B.

,

,

C.32,42,52

D.8,15,17D知识点2勾股数解析∵0.3,0.4,0.5与

,

,

均不是正整数,∴这两组数不是勾股数,∴选项A、B不符合题意.∵92+162≠252,∴这组数不是勾股数,∴选项C不符合题意.∵82+152=172,∴这组数是勾股数,∴选项D符合题意.故选D.8.以3,4,5为边长的三角形是直角三角形,称3,4,5为勾股数组,

记为(3,4,5),类似地,还可得到下列勾股数组:(5,12,13),(7,24,2

5)等.(1)根据上述三组勾股数组的规律,写出第四组勾股数组.(2)用含n(n为正整数)的数学等式描述上述勾股数组的规律,

并证明.解析(1)根据题意可得第四组勾股数组为9,40,41.(2)根据题意可知,第n组勾股数组为(2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1).证明:∵(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2=4n4+8n3+8

n2+4n+1,(2n2+2n+1)2=4n4+4n3+2n2+4n3+4n2+2n+2n2+2n+1=4n4+8n3+8n2

+4n+1,∴(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)2,∴规律(2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1)成立.9.(2023山东济宁中考,9,★★☆)如图,在正方形网格中,每个

小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方

形的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于

()CA.180°-α

B.180°-2αC.90°+α

D.90°+2α能力提升全练解析如图,过点B作BG∥CD,连接EG,

∵BG∥CD,∴∠ABG=∠CFB=α.∵BG2=12+42=17,BE2=12+42=17,EG2=32+52=34,∴BG2+BE2=EG2,∴△BEG是直角三角形,∴∠GBE=90°,∴∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+α.故选C.10.(新考向·新定义试题)(2021湖南常德中考,8,★★☆)阅读

理解:如果一个正整数m能表示为两个正整数a,b的平方和,即

m=a2+b2,那么称m为广义勾股数,则下面的四个结论:①7不是

广义勾股数;②13是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广

义勾股数;④两个广义勾股数的积是广义勾股数.其中正确的

是

()A.②④

B.①②④

C.①②

D.①④C解析①∵7不能表示为两个正整数的平方和,∴7不是广义勾股数,故①结论正确.②∵13=22+32,∴13是广义勾股数,故②结论正确.③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数,如5和10是广

义勾股数,但是它们的和不是广义勾股数,故③结论错误.④设m1=a2+b2,m2=c2+d2,则m1·m2=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+b2d2+2abcd)+(a2d2+b2c2-2abcd)=(ac+bd)2+(ad-bc)2.当ad=bc时,ad-bc=0,∴两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数,如2和2都是广义勾股数,2×2=4,4不是广义勾股数,故④结论

错误.∴正确的是①②.故选C.11.(2024江苏镇江丹徒期末,12,★☆☆)若三角形的边长分别

为5cm、12cm、13cm,则它的最长边上的中线为

cm.6.5解析∵52+122=132,∴此三角形是直角三角形,∴它的最长边上的中线为

×13=6.5(cm).故答案为6.5.12.(2023江苏南通中考,16,★☆☆)勾股数是指能成为直角三

角形三条边长的三个正整数,世界上第一次给出勾股数公式

的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a,b,c,其中

a,b均小于c,a=

m2-

,c=

m2+

,m是大于1的奇数,则b=

(用含m的式子表示).

m解析∵a,b,c是勾股数,其中a,b均小于c,a=

m2-

,c=

m2+

,∴b2=c2-a2=

-

=

m4+

+

m2-

=

m4+

+

m2-

m4-

+

m2=m2.∵m是大于1的奇数,∴b=m.故答案为m.13.(推理能力)如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,

PB,PC,以BP为一边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.(1)观察并猜想AP与CQ的数量关系,并证明你的结论.(2)若PB=8,PA=6,PC=10,求∠APB的度数.素养探究全练解析(1)AP=CQ.证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=60°,AB=CB,∴∠ABP+∠PBC=60°.又∵∠PBQ=60°=∠PBC+∠CBQ,∴∠ABP=∠CBQ.在△ABP和△CBQ中,

∴△ABP≌△CBQ(SAS),∴AP=CQ.(2)连接PQ,如图.

∵△ABP≌△CBQ,∴∠BQC=∠BPA.∵BP=BQ,∠PBQ=60°,∴△PBQ为等边三角形,∴PQ=PB=8,∠BQP=60°,在△PQC中,PQ=8,CQ=AP=6,PC=10,∴PQ2+CQ2=82+62=102=PC2,∴∠PQC=90°,∴∠BQC=90°+60°=150°,∴∠APB=∠BQC=150°.14.(推理能力)在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,如

图①,则有a2+b2=c2.当△ABC为锐角三角形时,小明猜想:a2+b

2>c2.理由:如图②,过点A作AD⊥CB于点D,设CD=x.在Rt△ADC中,AD2=b2-x2,在Rt△ADB中,AD2=c2-(a-x)2,∴b2-x2=c2-(a-x)2,∴a2+b2=c2+2ax,∵a>0,x>0,∴2ax>0,∴a2+b2>c2,∴当△ABC为锐角三角形时,a2+b2>c2.(1)请你猜想,当△ABC中∠C为钝角时,a2+b2与c2的大小关系,

不用证明.(2)在图③中,作BC边上的高.(3)证明你猜想的结论.

图①图②图③解析(1)当△ABC中∠C为