北师大版初中八年级数学上册专题小卷(16)过拐点作平行线探究角的关系课件

专题小卷（16）过拐点作平行线探究角的关系类型一铅笔模型1.(2024河南洛阳汝阳期末,10,★★☆)小明同学学习时善于自己动手操作,以加深对知识的理解

和掌握.在学习了相交线与平行线的知识后,他又探索起来:将含45°角的直角三角板按如图所示

的方式放置在直尺上,则∠1+∠2的度数为

()

A.270°

B.265°C.260°

D.240°A如图,过点E作EF∥AB,

∴∠2+∠4=180°,∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠1+∠3=180°,∵∠3+∠4=90°,∴∠1+∠2=360°-(∠3+∠4)=270°.2.(★★☆)如图,∠1=40°,∠2=140°,直线a∥直线b,则∠3的度数为

.

80°如图,作直线c∥直线a,则∠4=∠1=40°,∴∠5=∠2-∠4=140°-40°=100°.

∵直线a∥直线b,∴直线c∥直线b,∴∠5+∠3=180°,∴∠3=180°-100°=80°.3.(★★☆)如图,已知AB∥EF,若α=∠A+∠F,β=∠B+∠C+∠D+∠E,则α与β之间的数量关系为

.

β=3α如图,过点C作CG∥AB,过点D作DH∥EF.∵AB∥EF,∴AB∥CG∥DH∥EF,∴∠B+∠1=180°,∠2

+∠3=180°,∠4+∠E=180°,∴β=∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=∠B+∠1+∠2+∠3+∠4+∠E=180°×3=540°.∵AB∥EF,∴α=∠A+∠F=180°,∴β=3α.

4.(2024重庆北碚期末,16,★★★)如图,AB∥CD,点E是直线AB,CD之间一点.(1)如图①,求证:∠B+∠D+∠E=360°.(2)如图②,若∠B=120°,∠BED,∠CDE的平分线相交于点F,求∠DFE的度数.(3)如图③,若∠D=α,∠EBF=4∠ABF,∠BEF=4∠DEF,请直接写出∠BFE的度数(用含α的代数式

表示).

(1)证明:如图,过点E作EF∥AB,

∴∠B+∠BEF=180°,∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠D+∠DEF=180°,∴∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=180°+180°=360°,即∠B+∠BED+∠D=360°.(2)由(1)可知∠B+∠BED+∠CDE=360°.∵∠B=120°,∴∠BED+∠CDE=360°-120°=240°,∵∠BED,∠CDE的平分线相交于点F,∴∠DEF=

∠BED,∠EDF=

∠CDE,∴∠DEF+∠EDF=

∠BED+

∠CDE=

(∠BED+∠CDE)=

×240°=120°,∴∠DFE=180°-(∠DEF+∠EDF)=60°.(3)∠BFE=

α-108°.详解:∵∠EBF=4∠ABF,∠BEF=4∠DEF,∴∠FBE=

∠ABE,∠BEF=

∠BED,由(1)可知∠ABE+∠BED+∠D=360°,∴∠ABE+∠BED=360°-∠D=360°-α,∴∠FBE+∠BEF=

∠ABE+

∠BED=

(∠ABE+∠BED)=

(360°-α)=288°-

α,∵∠BFE+∠FBE+∠BEF=180°,∴∠BFE=180°-(∠FBE+∠BEF)=180°-

=180°-288°+

α=

α-108°.类型二猪蹄模型5.(2024福建泉州鲤城期末,10,★★☆)如图,AB∥CD,直线l分别交AB,CD于点E,F,且满足∠BEP=

∠BEF,∠DFP=

∠DFE,则∠P的度数为

()

A.

B.

C.

D.不确定B如图,过点P作PG∥AB,

∴∠BEP=∠EPG=

∠BEF,∵AB∥CD,∴CD∥PG,∴∠DFP=∠FPG=

∠DFE,∵AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°,∴∠EPF=∠EPG+∠FPG=

∠BEF+

∠DFE=

(∠BEF+∠DFE)=

.6.一题多解

(★★★)【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现:如图①所示

的几何图形,很像小猪的猪蹄,于是大家就把这个图形称为“猪蹄模型”,“猪蹄模型”中蕴含着

角的数量关系.(1)如图①,AB∥CD,M是AB、CD之间的一点,连接BM,DM,则有∠B+∠D=∠BMD.请你证明这个

结论.(2)【运用】如图②,AB∥CD,M、N是AB、CD之间的两点,且2∠M=3∠N,请你利用(1)中“猪蹄

模型”的结论,找出∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系,并说明理由.(3)【延伸】如图③,AB∥CD,点E、F分别在AB、CD上,EN、FG分别平分∠BEM和∠CFM,且EN

∥MG.如果∠EMF=α,那么∠MGF等于多少?(用含α的代数式表示,请直接写出结论,无需证明)

(1)证明:证法一:如图,过M作MN∥AB.

∵AB∥CD,∴AB∥MN∥CD,∴∠B=∠BMN,∠D=∠DMN,∴∠B+∠D=∠BMN+∠DMN=∠BMD.证法二:如图,延长BM,交CD于点F,

∵AB∥CD,∴∠B=∠BFD,∵∠BMD=∠D+∠BFD,∴∠BMD=∠B+∠D.(2)∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系为

∠M=∠B-∠C.理由如下:如图,过点N作NE∥AB,

由“猪蹄模型”可知∠M=∠B+∠1,∴∠1=∠M-∠B,∵NE∥AB,AB∥CD,∴NE∥CD,∴∠C=∠2,∴∠1+∠2=∠M-∠B+∠C,即∠MNC=∠M-∠B+∠C,∵2∠M=3∠MNC,∴∠MNC=

∠M,∴

∠M=∠M-∠B+∠C,∴

∠M=∠B-∠C.(3)∠MGF=90°+

α.详解:∵EN、FG分别平分∠BEM和∠CFM,∴设∠MEN=∠BEN=x,∠CFG=∠MFG=y,由(1)中的结论得∠AEM+∠MFC=∠EMF,∴180°-2x+2y=α,∴x-y=90°-

α.∵MG∥EN,∴∠GMF+∠EMF+∠MEN=180°,∴∠GMF=180°-α-x,由三角形内角和定理得∠MGF=180°-∠GMF-∠GFM=180°-(180°-α-x)-y=α+x-y=α+

=90°+

α.类型三锯齿模型7.(2023山东淄博临淄期末,6,★★☆)如图,AB∥EF,∠C=90°,则α、β和γ的关系是

()

A.β=α+γ

B.α+β+γ=180°C.α+β-γ=90°

D.β+γ-α=180°C如图,延长DC交AB于G,延长CD交EF于H.在直角△BGC中,∠1=90°-α,在△EHD中,∠2=β-γ,∵AB∥EF,∴∠1=∠2,∴90°-α=β-γ,即α+β-γ=90°.

8.(2024河南南阳社旗期末,23,★★★)【课题学习】平行线的“等角转化”.如图①,已知点A是BC外一点,连接AB,AC.求∠BAC+∠B+∠C的度数.

解:过点A作ED∥BC,∴∠B=

,∠C=

,又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°.∴∠B+∠BAC+∠C=

.【问题解决】(1)阅读并补全上述推理过程.【解题反思】从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将∠BAC,∠B,∠

C“凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决.【方法运用】(2)如图②所示,已知AB∥CD,BE、CE交于点E,∠BEC=80°,在图②的情况下求∠B-∠C的度数.(3)如图③,若AB∥CD,点P在AB,CD外部,请直接写出∠B,∠D,∠BPD之间的关系.(1)补全推理过程如下:过点A作ED∥BC,∴∠B=∠EAB,∠C=∠DAC,又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°,∴∠B+∠BAC+∠C=180°.故答案为∠EAB;∠DAC;180°.(2)如图,过点E作EF∥AB,

∴∠B+∠BEF=180°,∴∠BEF=180°-∠B,∵AB∥CD,∴EF∥