北师大版初中八年级数学上册专题小卷(2)勾股定理与最短路径问题课件

专题小卷（2）勾股定理与最短路径问题类型一圆柱体中的“最短路径”问题1.(2024四川成都天府新区期末,7,★☆☆)如图所示,一圆柱高8cm,底面半径为2cm,在圆柱下底

面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物,则它沿圆柱侧面爬行的最短

路程是(π取3)

()

A.6cm

B.10cmC.4

cm

D.4

cmB将此圆柱的侧面沿点B所在高线展开,如图,

∵圆柱的高为8cm,底面半径为2cm,∴AC=8cm,BC=

BB'=

×2×2π=6(cm),∴AB=

=10(cm).故它沿圆柱侧面爬行的最短路程为10cm.“最短路径问题”的解题步骤(1)根据题意把立体图形展开成平面图形;(2)根据“两点之间线段最短”确定两点之间的最短路

径;(3)构造直角三角形,运用勾股定理得到结果.方法解读2.(2024重庆大渡口期末,15,★☆☆)如图,圆柱的高为10cm,底面周长为8cm,在圆柱下底面A处有

一只蚂蚁,想吃到和它相对的侧面B处的食物,已知B处距上底面4cm,则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的

最短路程是

cm.

2

圆柱侧面展开图的一半如图,AB即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路径,∵底面周长为8cm,∴AC=

×8=4(cm),易知BC=10-4=6(cm),∴AB=

=

=2

(cm),∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是2

cm.3.(2024山东威海荣成期中,11,★★☆)如图,小红想用一条彩带缠绕易拉罐,从A点绕到正上方B点

正好四圈,已知易拉罐底面周长是12cm,高是20cm,那么所需彩带的最短长度是

.52cm由题图可知,彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处,将易拉罐侧面展开呈长方

形,则彩带的最短缠绕方式如图中虚线所示,∵彩带缠绕易拉罐4圈,∴每圈上升20÷4=5(cm),即AE=5cm,∵易拉罐底面周长是12cm,即AD=12cm,∴AJ=

=13(cm),∴所需彩带的最短长度是13×4=52(cm).4.(★★☆)葛藤为了争夺雨露阳光,常常绕着树干盘旋而上,它还有一手绝招,就是绕树盘旋上升

时,总是沿着最短路线盘旋前进,难道植物也懂数学吗?阅读信息,你能解决下列问题吗?(1)如图,如果树干的周长(即底面圆的周长)为30cm,从点A绕一圈到点B,葛藤升高40cm,则它爬

行的路程是多少cm?(2)如果树干的周长(即底面圆的周长)为40cm,绕一圈爬行50cm,则爬行一圈升高多少cm?如果

爬行10圈到达树顶,则树干高多少cm?

(1)如果树干的周长为30cm,绕一圈升高40cm,则葛藤爬行的路程为

=50(cm).(2)如果树干的周长为40cm,绕一圈爬行50cm,则爬行一圈升高

=30(cm),如果爬行10圈到达树顶,则树干高10×30=300(cm).类型二棱柱中的“最短路径”问题5.(2024陕西西安铁一中学期末,8,★☆☆)如图,长方体的长为20,宽为15,高为10,点B到点C的距离

是5,一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B,那么爬行的最短路程是()

A.5

B.20C.15

D.10

C①如图,把长方体的右面与前面展开在同一平面,连接AB,

根据勾股定理得AB=

=10

;②如图,把长方体的右面与上面展开在同一平面,连接AB,

根据勾股定理得AB=

=15

;③如图,把长方体的上面与后面展开在同一平面,连接AB,

根据勾股定理得AB=

=5

.∵15

<10

<5

,∴蚂蚁爬行的最短路程是15

.6.(2024陕西渭南临渭期末,12,★☆☆)如图所示的是一个底面为等边三角形的三棱镜,在三棱镜

的侧面上,从顶点A到顶点A'镶有一圈金属丝,已知此三棱镜的高为5cm,底面边长为4cm,则这圈

金属丝的长度至少为

.

13cm将三棱柱的侧面沿AA'展开,其展开图如图,

则AA'=

=13(cm).故这圈金属丝的长度至少为13cm.7.(2024山西太原期中,15,★★★)包装纸箱是我们生活中常见的物品.如图①,创意DIY小组的同

学将一个10cm×30cm×40cm的长方体纸箱裁去一部分(纸箱表面的粗虚线为裁剪线),得到如图

②所示的简易书架.若一只蜘蛛从该书架的顶点A出发,沿书架内壁爬行到顶点B处,则它爬行的

最短距离为

cm.

50如图,把书架侧面展开,连接AB,则蜘蛛爬行的最短距离为AB的长,

由图可知,OA=30+10=40(cm),OB=40-10=30(cm),在Rt△AOB中,AB=

=

=50(cm),∴蜘蛛爬行的最短距离为50cm.8.(2024河南周口川汇期末,19,★★☆)如图①,一只蚂蚁要从正方体的顶点A沿表面爬行到顶点G

(正方体悬空,底部也是可以爬行的),怎样爬行路线最短?如图②,正方形网格中已经画出一种最

短爬行路线及经过表面的示意图,请仿照这种方法在图③中再画出2条最短爬行路线示意图.

答案不唯一.如图所示:

9.(2024吉林大学附中期末,22,★★☆)(1)情境一:如图①,一只蚂蚁在一个长为100cm,宽为50cm

的长方形地毯上爬行,请在图①中画出蚂蚁从点A处到达点C处爬行的最短路径,依据是

.(2)情境二:如图②,在情境一中的地毯上放着一根正三棱柱的木块,它的侧棱平行且等于地毯的

宽AD,木块从正面看是一个边长为10cm的等边三角形,求这只蚂蚁从点A处出发,翻越木块后到

达点C处爬行的最短路程.

(1)如图1,连接AC,线段AC即为蚂蚁从点A处到达点C处爬行的最短路径,依据是两点之间线段最

短.

故答案为两点之间线段