大学文科数学第二章

第二章微积分的直接基础——极限主讲人:陈建凯2024/7/14§1从阿基里斯追赶乌龟谈起

——数列极限割圆术

我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆面积的方法--割圆术，就是极限思想在几何上的应用。一、数列概念2024/7/14“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”播放——(魏晋)刘徽割圆术2024/7/14正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率的近似值为3.14162024/7/14数列的定义例如称为无穷数列,简称数列.

2024/7/14说明：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数2024/7/14

公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家芝诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：

如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍,也永远也追不上乌龟.芝诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米,…,

如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？

芝诺悖论—阿基里斯与乌龟2024/7/14

如果我们从级数的角度来分析这个问题,芝诺的这个悖论就会不攻自破.

2024/7/142024/7/14中国古代哲学家称悖论“饰人之心，易人之意，能胜人之口，不能服人之心”.科学家们通过悖论来提出问题.悖论是科学中基础理论缺陷的产物，是对科学理论体系的挑战，是对人类智力的挑战.研究悖论能使我们了解学科基础理论的缺陷，而解决悖论的最大意义是能帮我们解决学科基础理论的缺陷——修改或重建某些基础理论，从而使科学研究朝着健康的方向发展.这是一种客观的需要.2024/7/14Example Koch

雪花做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．2024/7/1412024/7/1422024/7/1432024/7/1442024/7/1452024/7/1462024/7/14第一次分叉：2024/7/14周长为面积为第次分叉：2024/7/14于是有雪花的面积存在极限（收敛）．结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．做一个雪花蛋糕会比较有趣，这样就可以宣称“我吃掉了一条无限长的曲线”了.

2024/7/14

这种奇怪的几何怪物的发现,向十九世纪的数学家提出了挑战，因为这种曲线打破了人们的直觉观念:连续曲线总能借助于铅笔的不间断移动画出来，局部曲线总是“光滑”的.但是Koch曲线提醒人们，在研究无穷过程时，直觉是一个很不可靠的向导，这种挑战迫使数学家们为其职业制定更高更严的标准，曲线的定义也需要加以修改，以适应类似这种“病态”的雪花怪物.Koch曲线是一条浪漫的分形曲线，它的周长为无限大，曲线上任两点之间的距离也是无限大，却包围着有限的面积.曲线在任何一点处都连续，但却处处“不可导”（每一点都是“尖点”）.还好我的浪漫没这么抽象

2024/7/14截杖问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”2024/7/14数列极限的定性描述Definition

如果n无限增大时，数列{an}的通项an无限接近于常数a，则称该数列以a为极限，记做或如果数列没有极限,就说数列是发散的.上例中，2024/7/14以0为极限的变量称为无穷小量.

如每一项均为常数的数列称为常数列.

常数列的极限仍是该常数.

如数列{1,1,1,…}为常数列，且绝对值无限变大的变量称为无穷大量，或称其收敛于∞，或－∞.

如2n,-2n均为无穷大量，且为n→∞时的无穷小量2024/7/14播放数列极限的定量描述2024/7/14问题:当n无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?通过上面演示实验的观察:2024/7/142024/7/14如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：定义总存在正数N,

不等式记为或2024/7/14几何解释:其中2024/7/14例6证2024/7/14例7证2024/7/14§2函数极限1、自变量在有限点处的极限2024/7/143.几何解释:说明：2024/7/14例1证例2证2024/7/14证得证。例32024/7/14单侧极限：左极限：右极限：2024/7/14解左右极限存在且相等,例42024/7/14左右极限存在但不相等,例12证2024/7/14播放2、自变量趋于无穷大时函数的极限2024/7/14通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”？2024/7/14例5证2024/7/14几何解释:2024/7/142024/7/14例7解例6解xy2024/7/14三、有极限的函数的基本性质性质1函数极限的唯一性性质2有极限函数的局部有界性2024/7/14性质4性质3有极限函数的局部保号性注意推论2定理2024/7/143.3 无穷小(量)定义以零为极限的函数(或数列)称为无穷小(量).例如,注:1.无穷小是变量,不能与很小的数混为一谈;3.零是唯一可以作为无穷小的数.2.称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势.2024/7/14无穷小和极限的关系:定理

变量u以A为极限的充分必要条件是：变量u可以表示为A与一个无穷小量的和。即lim

u=A

u=A+a

，其中a是无穷小

。定理表明：

极限概念可以用无穷小量概念来描述.无穷小量的性质：

1°

有限多个无穷小量之和仍是无穷小量；

定理2°

无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；

3°

有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。

2024/7/14例1解2024/7/14无穷大(量)定义

如果变量u在其变化过程中|u|无限增大，则称u为无穷大(量)，记作

精确定义：1.无穷大量是一个变量，不可与很大很大的数混为一谈；2.称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变化趋势。注:2024/7/14无穷大量与无穷小量的关系意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.例32024/7/14无穷小量阶的比较例如,

比值极限不同,反映了两者趋向于零的“快慢”程度不同.观察各极限2024/7/14定义：2024/7/14说明:

1、称一个变量为高阶或低阶无穷小，是没有意义的，只有在同一个变化过程中的两个无穷小比较时，才能说它们阶的高低或是否同阶.

2、类似可对型不定式进行阶的比较.2024/7/14例4证2024/7/14例5但是，不存在，2024/7/143.4极限的运算法则定理2024/7/14说明：1.有两层意思:(1)在lim

u和lim

v都存在的前提下，lim(u+v)也存在；(2)lim

(u+v)的数值等于lim

u+lim

v.2.lim

(u+v)存在,不能倒推出lim

u和lim

v都存在.3.若lim

u存在,而lim

v不存在,则lim

(u+v)必不存在.4.可推广到有限多项.反证:若lim

(u+v)存在,已知lim

u

存在,由定理知lim

v

存在,矛盾2024/7/14推论1推论2例12024/7/14例2解2024/7/14解例3消零因子法2024/7/14例4解一般,无穷小量分出法2024/7/14例5解2024/7/14共扼因子法，有理化法解解变量代换法

例6例72024/7/14两个重要极限2024/7/14解所以例2例32024/7/14例12024/7/14另一个重要的极限:

以e为底的对数称为自然对数，

可以证明，相应的函数极限有

或2024/7/14例5解2024/7/14例62024/7/14§3 极限应用的一个例子——连续函数1、函数的增量一、函数在一点处的连续2024/7/14

例1

证明函数y=x2在给定点x0处连续。

证

在x0处，函数的改变量为所以y=x2在给定点x0处连续。2、函数在一点处连续的定义2024/7/14下面给出函数连续的定义的另一种等价形式。2024/7/14例2证2024/7/14定理3.单侧连续2024/7/14例3解即不右连续也不左连续,xy-11O2024/7/14例4解2024/7/14二、连续函数2024/7/14三、连续函数的运算和初等函数的连续性定理1例如,1、连续函数的四则运算法则三角函数在其定义域内皆连续.2024/7/14定理2

严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.2、反函数的连续性2024/7/14定理33、复合函数的连续性极限运算与函数运算可以交换2024/7/144、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★★均在其定义域内连续.2024/7/14所有基本初等函数在其定义域内都是连续的.一切初等函数在其定义域内都是连续的.也就是说，对初等函数来说，连续区间即为其定义域。2024/7/14

利用函数的连续性可以计算一些极限.

初等函数求极限的方法：代入法.例6例7解解2024/7/14定理1(有界性与最大值最小值定理)

在闭区间上连续的函数在该区间上有界