初中数学组卷-分段函数及利用动点求最值问题

2014年05月29日357753742的初中数学组卷

选择题（共7小题）

1.如图，正方形ABCD的对角线AC上有点P,过P作PELAB于点E,PFJ_BC于点F,当点P在AC上运动

)

A周长改变，面B周长不变，面

.积改变.积不变

C周长改变，面D周长不变，面

.积不变.积改变

2.如图，已知正方形ABCD的边长为8cm,BE=2cm,P为对角线AC上的一个动点，则PB+PE的最小值是（）

A12B10C8A/2D8

3.（2009・临沂）矩形ABCD中，AD=8cm,AB=6cm.动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动,

动点F从点C同时出发沿边CD向点D以lcm/s的速度运动至点D停止.如图可得到矩形CFHE,设运动时间为x

（单位：s）,此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cn?）,则y与x之间的函数关系用图

象表示大致是下图中的（）

4.如图，矩形ABCD中，BC=4,AB=3,E为边AD上一点，DE=1,动点P、Q同时从点C出发，点P沿CB运

动到点B时停止，点Q沿折线CD-DE-EB运动到点B时停止，它们运动的速度都是1cm/秒.设P、Q同时出发

t秒时，aCPQ的面积为yen?.则y与t的函数关系图象大致是（）

5.（2012•怀柔区二模）如图，矩形ABCD的边AB=5cm,BC=4cm动点P从A点出发，在折线AD-DC-CB上

以lcm/s的速度向B点作匀速运动，则表示4ABP的面积S（cm）与运动时间t（s）之间的函数系的图象是（）

6.（2011•威海）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同

时动点N自A点出发沿折线AD-DC-CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止.设4AMN的面积

为y（cn?）.运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）

7.（2011•桃江县模拟）如图，矩形ABCD的边AB=5cm,BC=4cm,动点P从点A出发，在折线AD玲DCfCB上

以1cm/s的速度匀速运动（点P运动到B点时停止运动），那么4ABP的面积S（cm2）随时间t（s）变化的图象是

（）

—.填空题（共10小题）

8.（2011•金台区二模）如图所示，正方形ABCD的面积为12,Z\ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内,

在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为.

9.（2010•越秀区二模）如图，正方形ABCD的面积为18,ZXABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对

角线AC上有一动点P,则PD+PE的最小值为.

10.正方形ABCD的对角线AC上有一点E,AE=AB,则NABE=

11.如图，正方形ABCD的边长为4cm,E为CD上一点，CE=3cm,在AC上有一动点P,当P点在某处时，PE+PD

的值最小，最小值是_____________.

12.（2012•攀枝花）如图，正方形ABCD中，AB=4,E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的

最小值为.

13.如图，矩形ABCD中，BC=6,ZBAC=30°,E点为CD的中点.点P为对角线AC上的一动点.则①AC=

;②PD+PE的最小值等于

14.如图，若正方形ABCD的边长是4,BE=1,在AC上找一点P使PE+PB的值最小，则最小值为

15.如图所示，AABC为等边三角形，P是aABC内任一点，PD〃AB,PE〃BC,PF〃AC,若aABC的周长为

12,则PD+PE+PF=.

16.菱形ABCD中，ZBAD=60°,E为AB边上一点，且AE=3,BE=5,在对角线AC上找一点P,使PE+PB的值

最小，则最小值为.

17.如图，正方形ABCD的边长为7,点E、F分别在AB、BC上，A氐3,CF=1,P是对角线AC上的个动点，则

PE+PF的最小值是.

三.解答题(共13小题)

18.(2011•蜀山区二模)如图1所示，正方形ABCD的面积为12,Z\ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内,

BE交AC于F,点P是AC上任意一点，连接PD、PE.

(1)如图2,P]P2是AC上的两点，观察并比较PQ+P1E与P2D+P2E的大小(只须说明结论，不必说明理由)；

(2)若P3是AC上另外一点，且P3D+P3E比PiD+P|E与P2D+P正都小，你能确定P3的大致位置吗？

(3)在对角线AC上是否存在点P,使PD+PE的和最小？若不存在，请说明理由；若存在，请说出这个最小值，

并证明你的结论.

19.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC匕一动点(P与A、C不重合)，点E在射线BC上，PE=PB.

(1)求证：①PE=PD；②PEJ_PD；

(2)设AP=x,4PBE的面积为y.求出y关于x的函数关系式.

20.如图.点P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上的一个动点(P不与A,C重合)且PE=PB

(1)求证：PE±PD.

(2)设AP=x,四边形PECD的面积为y,求出y与x的关系式，并写出自变量的取值范围.

21.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一点(P与A、C不重合)，点E在射线BC上，且PE-PB.

(1)求证：PE=PD；

(2)PE1PD.

22.如图，正方形ABCD中，F是CB延长线上的一点，DF交AB于E,交对角线AC于P,如PE=2,EF=3.求

PD的长.

23.(2013•怀柔区二模)如图，四边形ABCD是正方形，4ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上

任意-,点，连结AM、CM.

(1)当M点在何处时，AM+CM的值最小；

(2)当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；

(3)当AM+BM+CM的最小值为娟+1时，求正方形的边长.

24.如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，一直角三角尺PQR的直角顶点P在对角线AC上移动，直角边PQ

经过点D,另一直角边与射线BC交于点E.

(1)试判断PE与PD的大小关系，并证明你的结论：

(2)连接PB,试证明：4PBE为等腰三角形；

(3)设AP=x,Z\PBE的面积为y,

①求出y关于x函数关系式；

②当点P落在AC的何处时，4PBE的面积最大，此时最大值是多少？

25.如图所示，P是正方形ABCD的边CD上任意一点，PE1BD于E,PF1AC于F,则PE+PF=1,求正方形ABCD

的面积.

26.(1997•河南)已知ABCD的对角线AC、BD相交于点0,AAOB是等边三角形，AB=4cm,求这个平行四边

形的面积.

27.如图，等边三角形ABC内有一点P,PE1AB,PF±AC,PD_LBC,垂足分别为E,F,D,且AH_LBC于H,

试用三角形面积公式证明：PE+PF+PD=AH.

28.【观察发现】

(1)如图1,若点A、B在直线1同侧，在直线1上找一点P,使AP+BP的值最小.

作法如下：作点B关于直线1的对称点B',连接AB',与直线1的交点就是所求的点P.

(2)如图2,在等边三角形ABC中，AB=4,点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P,使BP+PE的值最

小.

作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P,故BP+PE

的最小值为.

【实践运用】

如图3,菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点，若点P是BD上的动点，

则MP+PN的最小值是.

【拓展延伸】

(1)如图4,正方形ABCD的边长为5,/DAC的平分线交DC于点E.若点P,Q分别是AD和AE上的动点，

则DQ+PQ的最小值是；

(2)如图5,在四边形ABCD的对角线BD上找一点P,使NAPB=NCPB.保留画图痕迹，并简要写出画法.

29.(2010・宿迁二模)如图甲，在正方形ABCD中，AB=6cm,点P、Q从A点沿边AB、BC、CD运动，点M从

A点沿边AD、DC、CB运动，点P、Q的速度分别为lcm/s,3cm/s,点M的速度2cm/s.若它们同时出发，当点

M与点Q相遇时，所有点都停止运动.设运动的时间为ts,Z\PQM的面积为Sen?,则S关于t的函数图象如图乙

所示.结合图形，完成以下各题：

(1)当t为何值时，点M与点Q相遇？

(2)填空：a=；b=；c=.

(3)当2Vt43时，求S与t的函数关系式；

(4)在整个运动过程中，△PQM能否为直角三角形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由.

备用图

30.(2013♦无锡)如图1,菱形ABCD中，NA=60。，点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运

动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t(s).4APQ的面枳

S(cm2)与t(s)之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出.

(1)求点Q运动的速度；

(2)求图2中线段FG的函数关系式；

(3)问：是否存在这样的3使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在,求出这样的t的值；

若不存在，请说明理由.

2014年05月29日357753742的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共7小题）

1.如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点P,过P作PELAB于点E,PFLBC于点F,当点P在AC上运动

时，矩形BFPE的（）

BFC

A周长改变，面B周长不变，面

.积改变.积不变

C周长改变，面D周长不变，面

.积不变.积改变

考点：正方形的性

质.

分析：根据正方形

的对角线的

性质易证

△APE、

△CPF为等

腰直角三角

形，得

EP=AE,

PF二FC,所以

矩形BFPE的

周长等于正

方形周长的

一半，是不变

的；但面积

=BF・FP=BF・

FC,其值随F

点的变化而

变化.

解答：解：VABCD

是正方形，

ZEAP=45°

,ZFCP=45°.

VPEIAB于

点E,PF±BC

于点F,

，EP=AE,

PF=FC.

二矩形BFPE

的周长

=AB+BC=2A

B,为定值不

变；

面积

=BF*FP=BF*

FC,其值随F

点的变化而

变化.

故选D.

点评：此题考查正

方形的性

质.解决动态

问题的方法

是化"动"为

"静

2.如图，已知正方形ABCD的边长为8cm,BE=2cm,P为对角线AC上的一个动点，则PB+PE的最小值是（）

C8V2D8

考点:轴对称-最短

路线问题；正

方形的性质.

分析:由于点B与

点D关于AC

对称，所以如

果连接DE,

交AC于点P

那PE+PB的

值最小.在

RtACDE中，

由勾股定理

先计算出CE

的长度，即为

PE+PB的最

小值.

解答:解：连接DE

交AC于点P,

连接BD.

•.•点B与点D

关于AC对

称，

ADE的长即

为PE+PB的

最小值，

*.*AB=8cm,

BE=2cm,

ACE=8-

2=6(cm),

在RtACDE

中，

PE+PB=DE=

7DC2-EC2

=V82+62=1

0(cm),

点评:本题考查了

轴对称-最

短路线问题

和正方形的

性质，根据两

点之间线段

最短，确定点

P的位置是解

题关键.

3.（2009•临沂）矩形ABCD中，AD=8cm,AB=6cm.动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动，

动点F从点C同时出发沿边CD向点D以Icm/s的速度运动至点D停止.如图可得到矩形CFHE,设运动时间为x

（单位：s）,此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cn?）,则y与x之间的函数关系用图

象表示大致是下图中的（）

D

H

BEC

考点:动点问题的

函数图象.

专题:压轴题；动点

型.

分析:重点考查学

生的阅读理

解能力、分析

研究能力.在

解答时要注

意先总结出

函数的解析

式，由解析式

结合其取值

范围判断，不

要只靠感觉.

解答:解：此题在读

懂题意的基

础上，分两种

情况讨论：当

x<4时，y=6x8

-(xx2x)=

-2X2+48,此

时函数的图

象为抛物线

的一部分，它

的最上点抛

物线的顶点

(0,48),最

下点为(4,

16)；当4V

x《6时，点E

停留在B点

处，故y=48

-xx8=-

8x+48,此时

函数的图象

为直线y=-

8x+48的一部

分，它的最上

点可以为(4,

16）,它的最

下点为（6,

0）.

结合四个选

项的图象知

选A项.

故选A.

点评：本题考查了

二次函数及

其图象，一次

函数及其图

象的知识.

4.如图，矩形ABCD中，BC=4,AB=3,E为边AD上一点，DE=1,动点P、Q同时从点C出发，点P沿CB运

动到点B时停止，点Q沿折线CD-DE-EB运动到点B时停止，它们运动的速度都是1cm/秒.设P、Q同时出发

t秒时，aCPQ的面积为yen?.则y与t的函数关系图象大致是（）

A,-----------JD

考点:动点问题的

函数图象.

分分类讨论：①

当0务3,即

点P在线段

BC上，点Q

在线段CD

±;②当3V

t<4,即点P

在线段BC

上，点Q在线

段DE上时；

③当4V

区4+3&,即

点P在线段

BC上，点Q

在线段BEH

时.这三种情

况下的函数

图象，根据函

数图象的性

质进行判断.

解答：解：在矩形

ABCD中，

BC=4,

AB=CD=3.

则在直角

△ABE中，根

据勾股定理

得到

BE=

7AB2+AE2

=V32+32=3

正

①当0<t<3,

即点P在线段

BC上，点Q

在线段CD上

时,

此时，该函数

图象是开口

向上的抛物

线在第一象

限的部分.故

D错误；

②当3<t<4,

即点P在线段

BC上，点Q

在线段DE±

时，

y」BCxCD=

2

—tx3=-?t,该

22

函数图象是y

随x增大而增

大的直线的

一部分.故A

错误；

③当4V

区4+3&,即

点P在线段

BC上，点Q

在线段BE上

时,

y=_^BCx

6-®6

2

-V2t,该函

数图象是直

线的一部

分.故C错

误；

综上所述，B

正确.

故选B.

点评:本题考查了

动点问题的

函数图象：先

根据几何性

质得到与动

点有关的两

变量之间的

函数关系，然

后利用函数

解析式和函

数性质画出

其函数图象，

注意自变量

的取值范围.

5.(2012•怀柔区二模)如图，矩形ABCD的边AB=5cm,BC=4cm动点P从A点出发，在折线AD-DC-CBL

以lcm/s的速度向B点作匀速运动，则表示4ABP的面积S(cm)与运动时间t(s)之间的函数系的图象是()

考点：函数的图象；

三角形的面

积；矩形的性

质.

专题:动点型.

分析:注意分析y随

x的变化而变

化的趋势，而

不一定要通

过求解析式

来解决.

解答:解：动点P从

A点出发到D

的过程中，S

随t的增大而

增大；

动点P从D点

出发到C的

过程中，S的

值不变；

动点P从C点

出发到B的

过程中，S随

t的增大而减

小.

又因为

AD=BC,所

以从A点出

发到D的时

间和从C点

出发到B的

时间相同，

△ABP的面

积S最大

^lxADxDC=

2

10,

从A至UD至IJC

到B的时间

为：4+5+4)

4-1=13秒.

故选A.

点评:本题考查了

动点问题的

函数图象，解

决本题应首

先看清横轴

和纵轴表示

的量.要求能

根据函数图

象的性质和

图象上的数

据分析得出

函数的类型

和所需要的

条件，结合实

际意义得到

正确的结论.

6.（2011•威海）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同

时动点N自A点出发沿折线AD-DC-CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止.设4AMN的面积

为y（cm2）.运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）

考点：动点问题的

函数图象.

专题：压轴题；动点

型.

分析：当点N在AD

上时，易得

SAAMN的关

系式；当点N

在CD上时，

高不变，但底

边在增大，所

以SAAMN的

面积关系式

为一个一次

函数；当N在

BC上时，表

75HlSAAMN

的关系式，根

据开口方向

判断出相应

的图象即可.

解答：解：当点N在

AD上时、即

0<x<1,

SAAMN=~XX

2

X3X=-5X2>

2

点N在CD上

时,即14x42,

SAAMN=-~XX

2

x3W,y随x

2

的增大而增

大，所以排除

A、D；

当N在BC上

时,即2sxs3,

SAAMN=~X^

2

x(9-3x)=

--?x2+-^x,

22

开口方向向

下.

故选B

点评:考查动点问

题的函数图

象问题；根据

自变量不同

的取值范围

得到相应的

函数关系式

是解决本题

的关键.

7.(2011•桃江县模拟)如图，矩形ABCD的边AB=5cm,BC=4cm,动点P从点A出发，在折线ADfDCfCB上

以lcm/s的速度匀速运动(点P运动到B点时停止运动)，那么4ABP的面积S(cm2)随时间t(s)变化的图象是

考点：动点问题的

函数图象.

分析:根据P从点A

出发在折线

ADfDC玲C

B上匀速运动

时，先得出

△ABP的面

积S随时间I

的变化是如

何变化的，再

结合图象即

可得出答案.

解答:解：动点P从

A点出发到D

的过程中，S

随t的增大而

增大；

动点P从D点

出发到C的

过程中，S的

值不变；

动点P从C点

出发到B的

过程中，S随

t的增大而减

小.

又因为

AD=BC,所

以从A点出

发到D的时

间和从C点

出发到B的

时间相同，

△ABP的面

积S最大

」xADxDC=

2

10,

从A到D到C

到B的时间

为：4+5+4)

+1=13秒.

故选A.

点评：本题考查了

动点问题的

函数图象，解

决本题应首

先看清横轴

和纵轴及示

的量.要求能

根据函数图

象的性质和

图象上的数

据分析得出

函数的类型

和所需要的

条件，结合实

际意义得到

正确的结论.

—.填空题（共10小题）

8.（2011•金台区二模）如图所示，正方形ABCD的面积为12,Z\ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内,

在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为二盗

考占,轴对称■•最短路线问题；正方形的性质.

专题:计算题；压轴题.

分析:由于点B与D关于AC对称，所以连接BD,与AC的交点即为F点.此时PD+PE=BE

最小，而BE是等边4ABE的边，BE=AB,由正方形ABCD的面积为12,可求出

AB的长，从而得出结果.

解答:解：连接BD,与AC交于点F.

•.•点B与D关于AC对称，

；.PD=PB,

；.PD+PE=PB+PE=BE最小.

•••正方形ABCD的面积为12,

/.AB=273.

又「△ABE是等边三角形，

.•.BE=AB=2«.

故所求最小值为2依.

故答案为：2M.

点评:此题主要考查轴对称--最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题.

9.（2010•越秀区二模）如图，正方形ABCD的面积为18,ZiABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对

角线AC上有一动点P,则PD+PE的最小值为_3a_.

考-J占，'八.•轴对称-最短

路线问题；等

边三角形的

性质；正方形

的性质.

专题：计算题；压轴

题；探究型.

分析：先根据正方

形的面积求

出其边长，由

于4ABE是

等边三角形，

所以

BE=AB,由正

方形的性质

可知点B即

为点D关于

AC的对称

点，故BE即

为PD+PE的

最小值，由

△ABE的周

长即可得出

结论.

解答：解：•.•正方形

ABCD的面

积为18,

/.AB=.

3版,

1•△ABE是

等边三角形，

，AB=BE=3

&，

•••四边形

ABCD是正

方形，

.,.点B即为

点D关于AC

的对称点，

ABE即为

PD+PE的最

小值，

APD+PE的

最小值为：

点评：本题考查的

是轴对称-

最短路线问

题及正方形

的性质，由正

方形的性质

得出点B即

为点D关于

AC的对称点

是解答此题

的关键.

10.正方形ABCD的对角线AC上有一点E,AE=AB,则/ABE=.67.5°

考点:正方形的性

质；三角形内

角和定理；等

腰三角形的

性质.

专题:计算题.

分析:根据正方形

性质求出

/BAC=45。，

根据等腰三

角形性质求

出

ZABE=ZA

EB.^AABE

中，根据三角

形的内角和

定理求出即

可

解答:解：•••四边形

ABCD是正

方形，

/BAD=90

ZBAC=lz

2

BAD=45°,

VAE=AB,

ZABE=Z

AEB,

VZABE+Z

AEB+ZBAC

=180°,

Z./ABE」

2

(180°-45°)

=67.5°,

故答案为：

67.5°.

点评：本题考查了

等腰三角形

的性质，三角

形的内角和

定理，正方形

的性质的应

用，主要考查

学生运用性

质进行推理

的能力，题目

比较好，但难

度不大.

11.如图，正方形ABCD的边长为4cm,E为CD上一点，CE=3cm,在AC上有一动点P,当P点在某处时，PE+PD

的值最小，最小值是.5cm.

考点:轴对称-最短

路线问题：正

方形的性质.

专题:探究型.

分析:由于四边形

ABCD是正

方形，所以B、

D关于直线

AC对称，连

接BE,则BE

的长即为

PE+PD的最

小值，再在

RtABCE中

利用勾股定

理即可求出

BE的长..

解答：解：•••四边形

ABCD是正

方形，

；.B、D两点

关于直线AC

对称，

连接BE,则

BE的长即为

PE+PD的最

小值，

在RtABCE

中，

♦；BC=4cm,

CE=CD-

DE=4-

l=3cm,

ABE=

VBC2+CE2=

V42+32=5C

m.

故答案为:

点评：本题考查的

是轴对称-

最短路线问

题及正方形

的性质，熟知

两点之间线

段最短的知

识是解答此

题的关键.

12.（2012•攀枝花）如图，正方形ABCD中，AB=4,E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，贝I」PE+PB的

最小值为，遥一

考占.轴对称-最短

路线问题；正

方形的性质.

专题：压轴题；探究

型.

分析：由于点B与

点D关于AC

对称，所以如

果连接DE,

交AC于点P,

那PE+PB的

值最小.在

RtACDE中，

由勾股定理

先计算出DE

的长度，即为

PE+PB的最

小值.

解答：解：连接DE,

交AC于点P,

连接BD.

:点B与点D

关于AC对

称，

ADE的长即

为PE+PB的

最小值，

VAB=4,E

是BC的中

点，

，CE=2,

在RtACDE

中，

DE=

VCD^CE^

点评:本题考查了

轴对称-最

短路线问题

和正方形的

性质，根据两

点之间线段

最短，可确定

点P的位置.

13.如图，矩形ABCD中，BC=6,ZBAC=30°,E点为CD的中点.点P为对角线AC上的一动点.则①AC=12

②PD+PE的最小值等于9.

考点:矩形的性质；

含30度