人教A版（2019）选择性必修第二册5.1导数的概念及其意义

人教A版(2019)选择性必修第二册5.1导数的概念及其意

义

一、单选题

1.已知曲线/(x)=(x+a)，在点(-lj(-l))处的切线与直线2x+y-l=0垂直，则实

数〃的值为（）

A.}B.^+1C.-jD-f

2.若_f（2）=2,则lim/⑵寸—）=（）

202Ax

A.-4B.4

C.-1D.1

3.函数f（x）=、在（1J（1））处的切线斜率为（）

A.—1B.1C.0D.-

e

）

A.0＜r（2）＜r（3）＜/（3）-/（2）

B.0</(2)</(3)-/(2)</(3)

C.0<r(3)</(3)-/(2)<r(2)

D.0</(3)-/(2)</,(2)</,(3)

5.已知函数的图象如下所示，/(x)为/(x)的导函数，根据图象判断下列叙述

正确的是()

A.尸（西）＜/'（%）B.r（xj>r（w）

，

c./(.«))</(x2)<0D./㈤>/'(w)>0

3

6.点A是曲线y=1/-lnx上任意一点，则点4到直线y=2x-l的最小距离为

()

A.@B.正C.巫D.y[5

1055

7.函数y=2x(lnx+l)在x=l处的切线方程为()

A.y=4x+2B.y=2x-4C.y=4x-2D.y=2x+4

8.已知M为抛物线C52=4y上一点，C在点M处的切线/]:y=；x+a交C的准线

于点P,过点P向C再作另一条切线小则4的方程为()

A.y=--|x--B.y=-；x+2C.y=-2x+4D.y=-2x-4

9.若直线y=jx+8是函数/(x)的一条切线，则函数f(x)不可能是()

A.〃x)=：B./(x)=x4

C./(x)=sinxD.f(x)=ev

10.已知函数/。)=%111@+四*,g(x)=-x2+x,当xe(0,+°o)时，f(x)Ng(x)恒成

x

立，则实数。的取值范围是()

A.B.C.[1,-K>O)D.[e,+<»)

11.对于以下四个函数：①丫;壬②y=f；③y=V；@y=-.在区间口,2]上函数

X

的平均变化率最大的是()

A.①B.②C.③D.@

12.已知函数/(x)=x-g,则该函数在x=l处的切线斜率为()

A.0B.1C.2D.3

二、填空题

13.已知直线y=2x+b是曲线y=lnx+3的一条切线，则b=.

14.已知函数7W在户I处的导数为1,则lim""x)-/a)=______.

*5)x

15.已知直线y=x+8是曲线y=e、+3的一条切线，贝1%=.

16.若直线y=2x+a是函数/(x)=x+lnx的图象在某点处的切线，则实数

a=.

三、解答题

17.已知函数/。)=/+”，点A(0,0)在曲线y=f(x)上.

(1)求函数y=/W的解析式；

(2)求曲线y=/(x)在点(T-1)处的切线方程；

(3)求曲线y=f(x)过点E(2,0)的切线方程.

18.已知函数_/(力=上詈.

(1)求“X)在x=l处的切线方程；

k

(2)当x±e时，不等式〃力2M恒成立，求实数上的取值范围；

(3)求证：2X7X…xW_2)>e2"T(〃N2且MN").

19.已知/(x)=xlnx,求函数y=〃x)的图象在x=e处的切线方程.

20.试求过点"(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.

21.已知函数/(刈=-2/+*^^(力=02*-2/一°.

⑴求曲线”X)在处的切线方程；

⑵若不等式g(x"/(x)在(0,+8)恒成立，求”的范围.

参考答案:

1.D

求出函数的导数和在T处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为-1可得答案.

【详解】

y'(x)=e*+(x+4)e*=(l+x+a)e",

/(-1)=3—1)"',切线的斜率为k=/(-1)=a/,

因为切线与直线2x+y-1=0垂直，所以a/(—2)=7,

解得“=会

故选：D.

2.C

利用导数的定义直接求解

【详解】

因为/'(2)=2,所以lim以空妾土空1^/(2+Ar)-/(2)

-rllln------------------------=-1r(2)=-i

'7-2Ax2©t。Ax

故选：c

3.C

求出f(x)在x=l处导数值即可.

【详解】

〃x)=j,，r(x)=詈，.•.r(i)=o,积切线斜率为o.

故选：C.

4.C

根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.

答案第1页，共12页

【详解】

如图所示，根据导数的几何意义，可得r（2）表示切线4斜率勺>0,

r。）表示切线4斜率&3>o,

又由平均变化率的定义，可得理二警=〃3）-/（2）,表示割线4的斜率&2,

结合图象，可得。<&<&<占,即0</'⑶<〃3）—/⑵</'⑵.

利用导数的几何意义，结合函数图象，即可判断/（西）与/'（々）、/（王）与，（%）,及其与0

的大小关系.

【详解】

/

由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率，结合图象知：r（xl）>/（x2）>o,而

/（x1）<O</（x2）,

故选：B.

6.A

动点A在曲线y=-mx,则找出曲线上某点的斜率与直线y=2x7的斜率相等的点为

距离最小的点，利用导数的几何意义即可

【详解】

答案第2页，共12页

3

不妨设/(x)=；x2-lnx,定义域为：(0,+e)

对f(x)求导可得：/(x)=3x-J

令/'(x)=2

解得：x=l(其中x=-；舍去)

当x=I时，y=|,则此时该点(iB)到直线y=2x-l的距离为最小

2---1

根据点到直线的距离公式可得：,2

d=~jr~

解得：d=且

10

故选：A

7.C

先求出导函数，代入x=l可得切线斜率，再求出切点，进而可得切线方程.

【详解】

解：由已知y'=2(lnx+l)+2x-一=21nx+4,

x

则y'k=4,

又x=l时，y=2,

则切线方程为y=4x-2.

故选：C.

本题考查利用导数求切线方程，是基础题.

8.D

先根据C在点M处的切线4：y=(x+“，求出。的值，再求得点然后再求过

点P抛物线的切线方程.

【详解】

答案第3页，共12页

设材（X。,九），由题意知，y=则/=：x,

4乙

C在点M处的切线4:y=；x+a,所以y'L%=3%=g

所以为=1,则

将代入（：y=gx+4的方程可得〃=_；,即4：y=；x-；

抛物线C:/=4），的准线方程为：y=-\

则Pf'T）,设4与曲线0的切点为N（%,%），

2

1%+1

则寸=734=一手，解得x0=-4或％=1（舍去），

%-卜2%，，+2

则N（-4,4）,所以4的方程为L21.

故选：D

本题考查利用导数求曲线在某点和过某点的切线方程，属于中档题.

9.A

逐个利用导数的儿何意义分析判断，先对函数求导，然后使ra）=g,若方程有解，则

直线y=；x+8可能是曲线的切线，否则不是,

【详解】

解：对于A,由“力=一得/（力=-1令广（力=一5=3无解，故A正确;

对于B,由“x)=/得:(力=4/，令r(x)=4/=g,解得x=；,故B错误；

对于C,由〃x)=sinx得广(x)=cosx,令/'(x)=cosx=g,有解，故C错误；

对于D,由〃x)=e"得r(x)=e，，令r(x)=e'=g,解得x=—ln2,故D错误.

故选：A

10.B

答案第4页，共12页

经过恒等变形，原问题变成当xe(O,«»)时，lnq+丝•+x-120恒成立，构造函数，利用

XX

导数的性质进行求解即可.

【详解】

由/(x)>g(x)=>x\n—+aex>-x2+xnxln—+a/+x2-x>0,

xx

当X£(0,+8)时，上式可变形为:In^+Q+x-lNO,问题转化为:

XX

当X€(0,+oo)时，姑4+贮+X-120恒成立,

XX

设/?(x)=ln@+竺-+无-1,xe(0,+oo),

XX

，1aex(x-1)+x)

h(x)=——十——\~~+\=2

XX厂

因为xe(0,+oo),->O,所以aw(0,+oo),因此四工+彳>0,

X

所以当工£(0,1)时，所以vO,〃(x)单调递减,

当X€(l,+oo)时，"(x)>o,/?(x)单调增，故〃(x)2n=力⑴=Ina+ae,要想

当xe(0,+oo)时，ln@+竺-+X-120恒成立，只需〃(x)mi„=lna+aeNO,

XX

设F(a)=\na+ae>0,ae(0,+oo),

z/、1e〃+l

F(a)=—+e=----,

aa

当ae(0,+oo)时，尸(a)>0,所以函数F⑷单调递增，而F(』)=0,

e

显然当。£[L+8),尸(。)=1114+。6之。成立，

e

故选：B

关键点睛：通过数学运算把问题转化为当xe(0,+8)时，皿幺+贮+x-1N0恒成立，利用

XX

构造函数法，结合导数的性质是解题的关键.

11.C

分析求出四个函数的平均变化率，然后比较即可.

答案第5页，共12页

【详解】

嗯=言7②於言=3,嗯=言=7,④去/=一

故选：C.

12.C

利用导数的定义求解.

【详解】

因为〃1+1)-〃1)=(1+堤)-£-(1

.[1AAx

=Ax+1------=Zk¥+-----,

1+Ax1+Ar

所以斜率％=lim"f⑴,

ASOAX

=lim|1+—|=1+1=2.

1+AxJ

故选：C

13.2-ln2.

由切线斜率求得切点坐标，然后可求得匕值.

【详解】

对y=lnx+3,/=—,由），=，=2,得工=，时，y=ln，+3=3-ln2,

xx22

所以3-ln2=2x；+〃，Z?=2-ln2.

故答案为：2-ln2.

14.1

利用导数与极限的关系可以直接得到结论.

【详解】

y(xo+ax)--(xo)

由导数的定义小。）=蚂

△X

所以川卜岫川+笑寸明

答案第6页，共12页

即可⑴—吧川+1一/⑴、

故答案为：1

本题考查导数的定义及应用，属于基础题.

15.4

设切点为国,*+3),根据导数的几何意义可求斜率&=f'(%)=1,即可求出与,代入切线

方程即可求解.

【详解】

设/(x)=e、+3,切点为(x(),e*+3),

因为f'(x)=e'，

所以*=1,解得/=0,

所以%=e°+3=4,

故切点为(0,4),又切点在切线y=x+b上，

故6=4.

故答案为：4

本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于容易题.

16.-1

利用/(力=2求得切点坐标，代入切线方程，从而求得

【详解】

令/(力=1+：=2,解得x=l,所以切点为(1,1),

将(U)代入切线y=2x+a得l=2+a,a=-l.

故答案为：-1

答案第7页，共12页

17.(1)/(x)=x3；(2)3x-y+2=0；(3)y=0或27x-y-54=0.

(1)根据函数过点AQO),代入即可求解；

(2)首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而利于点斜式求出切线方程；

(3)设切点坐标为(如其)，切线的斜率为左=/'(x0)=3x；,表示出切线方程，再利用点

E(2,0)在切线上，解出质,从而得到切线方程；

【详解】

解：(1)当x=0时，/(0)=«=0,所以=

(2)f(x)=3x2,所以点(TT)处的切线的斜率为氏=/'(-1)=3,所以切线方程为：

y+1=3(尤+1),Bp3x-y+2=O；

(3)设切点坐标为(与,£),切线的斜率为％=/'(%)=3x；,所以切线方程为：

y—£=3x：(x—闻)，将点£(2,0)代入切线方程得：

-X：=3焉(2-玉)),贝1]2入；(玉>-3)=0,解得与=。或尤0=3,所以切线方程为："0或

27x—y—54=0

18.(1)y=l；(2)jt<4；(3)证明见解析.

(1)求出f(l),/'⑴，进而可得〃x)在x=I处的切线方程；

(2)上即心(x+e)0+hM)恒成立,设g(x)=(x+e)(l+ln”(xM，求得

gGLin，进而可得实数人的取值范围；

(3)由⑵构造不等式ln[(/-2)e]>3-2(占-占)，递推累加可得结论.

【详解】

(1)因为尸(力=手，/。)=0,"1)=1，

所以f(x)在x=l处的切线方程为y—1=OG—D,即y=L

(2)〃x)之一«—转化为k4("eXl+Mx)恒成立

x+ex

答案第8页，共12页

设g(x)=(x+e)(jmx)(xM，则8，(力=七等

XK

设/?(x)=x-elnx(x>e),h，(x)=――->0,

〃(%)在[&+℃)上单调递增,h{x)>h[e}=G,

所以g〈%)NO,g(%)在[e,+oo)上单调递增,g(x)Ng(e)=4,故k".

14-Inx4

(3)令k=4,由(2)知当xNe时，----->——恒成立,

xx+e

4x4P

有1+Inx2------,BPInx>3-------

x+ex+e

当〃之2时，令x=W-2)e>e,

4e

则有ln[(〃2-2)e]>3———=3--=3-2

(7e+e，广一1

LLL,

ln(14e)>3-2

35

ln(7e)>3-2

24

ln(2e)>3-2(^l--I,

将上述个不等式累加得:

.111

ln(2e)+ln(7e)+—bln[(1-2)e]>3(〃-1)-21T--------------

2n九+1

1-L

=3〃-6+2+>3n-6,

n/?+1

所以2ex7ex…x(/—2)e=2x7x…X("2-2)，T3-6

即2x7x・・・x(〃2-2)>e2A—5.

关键点点睛:

第(2)问的关键点是：由分离变量得及〈lit也土3恒成立，设

X

g(x)=(x+e),+lnx)(xM，求得g(x)n.“；

第(3)问的关键点是：构造不等式ln[(/-2)e]>3-2_L__L

n-\〃+1

19.2x-y-e=0.

答案第9页，共12页

直接根据导数的几何意义求解即可.

【详解】

解：Vf[x}=x\nx,

〃e)=e,r(x)=l+lnx,

"3=2,

,切线方程为y-e=2(x-e),即2x-y-e=0.

本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.

20.27》一4丫-23=0和），=1.

先利用导数的定义求y=d+l的导数，计算其在x=x0处的值即得斜率，再设切点

P（x°,£+1）,结合过两点的直线的斜率公式，得到关于马的关系式，解得切点即得切线方

程.

【详解】

解：因为包+=3x⑷尸+3xA+（W=3xAx+3d+（92,

ArArAx

则lim包=3*2,因此y=3/.

-Ax

设过点的直线与曲线y=d+i相切于点网为,片+1）,

根据导数的几何意义知，曲线在点尸处的切线的斜率为左=3%①，

过点M和点P的切线的斜率%1②,

由①-②得3x：=-J,解得％=0或x°=。，所以&=0或忆=乡，

/T24

77

因此过点且与曲线y=丁+1相切的直线有两条，方程分别为y-1=亍。-1）和

y=l,即27x_4y_23=0和y=l.

答案第10页，共12页

方法点睛：求曲线过点A(”,6)的切线的方程的一般步骤是：(1)设切点尸(%,/(%))；

(2)求出y=/(x)在x=x0处的导数:(不)，即y=.f(x)在点p(Xo，.f(x。))出的切线斜率;

(3)构建关系/(%))=也匕会，解得修；(4)由点斜式求得切线方程

xo-a

y-b=f\x0)-(x-a).

21.⑴y=4+3

(2)a<2

1—1—Inx—InY

(1)求导ra)=-4x+一丁」=-4元+—,进而得到广⑴，/(i),写出切线方程;

(2)将不等式g(x*/(x)在(0,+8)恒成立，转化为62'-匕1吧2.恒成立，令