初中数学竞方程部分强化练习8

初中数学竞方程部分强化练习8

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.八年级二班的同学参加社区公益活动——收集废旧电池，其中，甲组同学平均每人

收集17个，乙组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个.若这三个小

组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有学生（）人.

A.12B.13C.14D.15

2.方程4/-40[幻+51=0的实数解的个数是（）.

A.1B.2C.3D.4

3.已知实数。，b满足〃3-3/+54=1,及一3廿+5b=5,则a+6=（）

A.2B.3C.4D.5

4.把三个连续的正整数“，6,c按任意次序（次序不同视为不同组）填入

口/+口%+口=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数

项.使所得方程至少有一个整数根的。，b,c（）.

A.不存在B.有一组C.有两组D.多于两组

[(X-1)3+I999(X-1)=-I,皿

5.设覆丫均为实数且■,,则x+y=().

(y-l)3+1999(^-l)=l,

A.1B.-1C.2D.-2

\]x2-7

6.要使分式2-|尤-3|有意义,则x的取值范围是（）

Jx-4

A.x>4B.且xw5C.X>4月.XW5D.4<X<5

7.含有绝对值的方程|2x-l|-国=2的不同实数解共有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.若4a—3b—6c=0,a+2b-7c=0(abc^0)则代数式的值等于

f2a2-b2-18c2

)

191

A.-13B.---C.-15D.—

22

■>

9.设二次函数），=/+2℃+^的图象的顶点为人，与x轴的交点为8,C.当AABC

为等边三角形时，其边长为（)

A.76B.272C.2GD.3亚

10.口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个.现从中任取10个球，

使得白球不少于2但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法

的种数是().

A.14B.16C.18D.20

二、填空题

|x+y|+|x|=4

【方程的解共有----------

12.设a,b,c,4为正整数，且则d—a等于.

13.方程/+V=208。-y)的所有正整数解组(x,y)为.

14.77X2+9X+13+V7%2-5x+13=lx-则"=•

15.某店将某种超级VCD按进价提高35%,然后打出“九折”酬宾并外送50元，结果

每台VCD仍获利208元，那么每台超级VCD的进价为.

16.满足方程|卜-2006|-1|+8卜2006的所有x的和为

三、解答题

17.已知实数x，y满足(2x+l)2+y2+(y-2x)2=g,求x+y的值.

18.甲、乙两个粮库原各存有整数袋的粮食，如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮

是甲库的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍.问甲库原来

最少存粮多少袋？

19.甲、乙两人分别从4、8两地同时相向匀速前进，第一次相遇在距4点4km处，

然后继续前进，甲到8地，乙到/地后都立即返回，第二次相遇在距5点2km处，求

/、8两地间的距离.

20.数码不同的两位数将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的

平方差是完全平方数.求所有这样的两位数.

21.已知a<0,640,c>0,且正一4ac=b-2ac，求。2-4ac的最小值.

22.如果一个四位自然数M的千位数字和百位数字相等，十位数字和个位数字之和为

8,我们称这样的数为“等合数”，例如：对于四位数5562,口5=5且6+2=8,口5562为

“等合数”，又如：对于四位数4432,口4=4但3+2邦,所以4432不是“等合数”

(1)判断6627、1135是否是“等合数”，并说明理由；

(2)已知M为一个“等合数”，且V能被9整除.将M的各个数位数字之和记为尸

(M),将M的个位数字与十位数字的差的绝对值记为。(M),并令G(M)=尸

(M)x。(A/),当G(W)是完全平方数(0除外)时，求出所有满足条件的M.

23.关于x的方程/+收+4—%=0有两个整数根，试求发的值.

24.今有浓度为5%,8%,9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g,60g,47g,现要配制成浓

度为7%的盐水100g.间甲盐水最多可用多少克?最少可用多少克？

25.设。，b,c,d为四个不同的实数，若”,6为方程/一105_114=0的根，

c,d为方程*2_10奴_1m=0的根，求a+6+c+d的值.

参考答案:

1.A

【解析】

【分析】

【详解】

解选4理由：设甲、乙、丙三个小组的学生人数分别为X,乃2.由题意得

17x+20y+21z=233.

因233=17x+20y+21z>17x+17y+17z,则

23312

x+y+z<-----=113O—.

1717

又233=17x+20y+21z<2b+21y+21z,则

233一2

x+y+z>-----=11——

2121

212

于是，11—<x+y+z<13—.

2117

由于x,y,z均为正整数，则

x+y+z=12或x+y+z=13.

(□)当x+y+z=13时，由方程组

x+y+z=13,

消去X,得3y+4z=12,此方程无正整数解.

17x+20y+21z=233

(□)当x+y+z=12时，由方程组

fx+y+z=12,

CO1”。消去z,得©+y=19,此方程有正整数解.

[17x+20y+21z=233

故x+y+z=12,即三个小组共有学生12人.

(x+y+z=12,

实际上，由于X,“Z均为正整数，并结合方程组(可解得

[4X4-y=1i9n,

(x,y,z)=(3,7,2),(4,3,5).

2.D

【解析】

【分析】

【详解】

令=贝ijx=，〃+c,04a41,

答案第1页，共12页

代入原方程得4(6+。)2-40m+51=0,

即4a2+8/na+(4m2—40m+51)=0.

解出a得：。=-2>»±〃0〃-51

2

注意至[]04avl,及40〃2—5120,有

0<-(-2m+V40W-5I)<1,?①

«

/n>—.?②

40

由口，04-2m+,40，〃-51<2,即2m<J4O〃]-51<2+2m.

510

因加>一,4〃广9<40m-51<4++4nr,

40

317

故得4机2—40帆+5100=—4加<一,□

22

4m2-32根+55>0=>加<°或〃?>口.□

22

综合口口，白3加<5=，或11?17

2222

注意到冽为整数,知加=2,6,7,8.

c弧/V189「o

代入可得相应的四个a值,a=-2+--,-6+-——,-7+-——,-8+-——.

2222

则V189^297269

可得原方程有四个实数解:x

\==F—，W=---,x4=---•

3.A

【解析】

【分析】

【详解】

有已知条件可得m-iy+2(a-l)=-2,(b-l)3+2S-l)=2,两式相加得

(a-l)3+2(«-l)+(/7-l),+2(fe-l)=0,

因式分解得(“+b-2)[(a-l)2—(a-I)3-l)+S-l)2+2]=0.

因为

r-->2

(加1)j.l)(J)+(J)2+2=[(f1S叫+泮3一1)2+2>0,

所以a+6-2=0,因此a+b=2.

答案第2页，共12页

4.C

【解析】

【分析】

【详解】

设三个连续的正整数分别为n,n+\(〃为大于1的整数).当一次项系数是〃-1或

〃时，4均小于零，方程无实数根；当一次项系数是“+11时，

A=(n+1)2-4〃("-1)=-3(〃-I)2+4.

因为〃为大于1的整数，所以，要使△*(),〃只能取2.

当〃=2时，方程x2+3x+2=0,2f+3x+l=0均有整数根，故满足要求的(a,b,c)只有

两组：(1,3,2)、(2,3,1).

5.C

【解析】

【分析】

【详解】

解设“=x-l,u=y-l,则

“3+1999"=-1①

/+1999E②

①+②得“3+/+1999(〃+丫)=0,

即(〃+-MV+V2+1999)=0.

S»2-MV+V2+1999=1(M-V)2+^(M2+V2+1999)>0,所以〃+丫=0,即x-l+y-l=O,

故x+y=2.因此选C.

6.C

【解析】

【分析】

【详解】

X2-7>0\x&-百熊2出

依题意得卡-3|二2=.xwl且%工5,=x>4且XH5.故选C.

x>4x>4

7.B

答案第3页，共12页

【解析】

【分析】

【详解】

解若则原方程化为2x-l-x=2,解出x=3；若0<x<g,则原方程化为

-（2x-l）-x=2,

解出x=-；这与0<x<；矛盾，方程无解；当xWO时，原方程化为-（2x-l）+x=2,解出

x=­l.

综上知原方程有两个实数解：x=3或x=-1.故选8.

8.A

【解析】

略

9.C

【解析】

【分析】

【详解】

由题设知.设川与⑼，C（9,0）,二次函数的图象的对称轴与x轴的交点为

D,

22

则BC=|x,-x2\=+七）2=卜a-4x-^-=\ha.

又AD=BBC,则~=叵后,解得/=6或/=（）（舍去）.

222

所以，AABC的边长BC=>/万=26.

10.B

【解析】

【分析】

【详解】

设取出的球中白球、红球、黑球的个数分别为x,y,z,则x+y+z=10,24x48,

答案第4页，共12页

24y45,0<z<3,按z=0,1,2,3依次枚举可得(x,y,z)等于(5,5,0),(6,4,0),

(7,3,0),(8,2,0)；(4,5,1),(5,4,1),(6,3,1),(7,2,1)；(3,5,2),(4,4,2),(5,3,2),

(6,2,2)；(2,5,3),(3,4,3),(4,3,3),(5,2,3)共16组解.故选8.

11.4

【解析】

【分析】

【详解】

....fW4-V=4

设x+y=〃，X=v,贝叶，

1[2w+3v=9

[x+y=±3

解得〃=3»=1,于是J

x=±l

所以(苍£=(1,2}(1,7),(一1,4)或(-1,-2),共4组.故应填4.

12.601

【解析】

【分析】

【详解】

理由:因为心""，所以4=0=闫•

因为a,b,c,d为正整数，所以可设。=m6,。=〃2,其中m,n为正整数，则

-"=17,

即有(〃一加3)(/?+m)=1xl7.

n-w3=l,

V.n-m3<n+m\则，…

n+m3=17,

[n=9,

解得

[m=92.

因此6=27,4=93,AKff0rf-/?=93-27=729-128=601.

13.(48,32),(160,32)

【解析】

【分析】

答案第5页，共12页

【详解】

因为208是4的倍数，偶数的平方被4除余0,奇数的平方被4除余1,所以，x,y都是

偶数.

设x=2a,y=2。，贝I]

“2+62=104(“-/；).

同上可知，。，6都是偶数.

设a=2c,6=2〃，贝lj

c2+J2=52(c-rf).

所以，c,d都是偶数.

设c=2s,d=2r,则

s2+12=26(.y-0.

于是，(s—13>+(f+13)2至2x132,其中，s,f都是偶数.

所以，(5-13)2=2xl32-(r+13)2<2xl32-152<112.

由此，卜-13可能为1,3,5,7,9,进而。+13)2为337,329,313,289,257,故只能

是(f+13)2=289.因此，,一i3|=7.

于是，(5,0=(6,4),(20,4).

所以，(x,y)=(48,32),(160,32).

12

14.—

7

【解析】

【分析】

【详解】

因J7Y+9X+13+>/7x2-5x+13=7x，

(7X2+9X+13)-(7X2-5X+13)=14X,

故②+①得V7X2+9x+13-J7f-5x+13=2-

故①+③得2j7x2+9x+13=7x+2,两边平方后化简得21/-8x-48=0，

答案第6页，共12页

412

即(3x+4)(7x-12)=0,二x=-§或x=亍.

12

经检验知，只有是原方程的根.

15.1200元

【解析】

【分析】

【详解】

解设每台超级VCD的进价为x元.

题意翻译

(每台)按进价提高35%每台(1+35%)/元

然后打出“九折”酬宾每台(1+35%),x,90%

并外送50元每台(1+35%)・190%-50元

结果每台VCD获利208元(l+35%)-x-90%-50-x=208

那么每台VCD进价为x=

整理，得前X=258,，X=1200.

即每台VCD的进价为1200元故填1200元.

16.4012

【解析】

【分析】

【详解】

解由|卜-2006卜1|+8卜2006得

||x-2006|-l|+8=2006,

即||x-2OO6|-l|=1998,

答案第7页，共12页

所以,一2006卜1=±1998,

即|x-2006|=1999或|x-2006|=-1997（舍去）.

由|x-2006|=1999得x—2006=±1999,

所以原方程有两个解：x,=2006+1999,x2=2006-1999,

所以％+々=2x2006=4012.故填4012.

17.二

3

【解析】

【分析】

【详解】

12

原方程可化为(3x+iy+3(y-x)2=0,所以x=y=-§,x+y=-].

18.153

【解析】

【分析】

【详解】

假设甲库原来存粮。袋，乙库原来存粮b袋，依题意得

2(。-90)=。+90.

假设乙库调c袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍，即

a+c=6(b—c).□

由口得b=2a—270.□

将口代入口，并整理得Ila-7c=1620,于是c=---=a-232+\\又°,c是

77

正整数，从而11"}2。21,即。2148；并且7整除4(“+1),又因4与7互质，所以7整

除a+1.经检验知。的最小值是153,所以甲库原来最少存粮153袋.

19.10km

【解析】

【分析】

【详解】

解：设48两地间的距离为xkm,根据题意得

答案第8页，共12页

x-4+2=2x4

解得x=10

答：A,8两地间的距离为10km.

20.65或56

【解析】

【分析】

【详解】

设原两位数为10x+y,由题意得|(10x+y)2-(10y+x)2|=&2,其中a是自然数.

则9乂11、*+)，)|*一切=%2,

x+y=ll,

故有

卜一乂=1,

x=6』x-5,

解得<或

y=5y=6.

因此所求的两位数是65或56.

21.4

【解析】

【分析】

【详解】

由已知得从一4nc=S-2ac)2,gpac(ac-b+l)-0.

又a<0,c>0,则acwO,BPac-b+]=O,故ac=b-1,

b2-4ac=b2-4(b-1)=b2-4b+4=(b-2)2.

因HO,则6-2《-2,即(b—2)2*(—2>=4,故从一4改的最小值为4.

22.(1)6627不是“等合数”，1135是“等合数”，理由见解析

(2)5580,5508,5535,5553

【解析】

【分析】

(1)根据“等合数”的定义判断，即可求解；

(2)设M的千位和百位数为m十位数为，，则个位数为81，其中。为0<姓9的整数,

答案第9页，共12页

b为0劭$8的整数，可得P(M)=2a+8,Q(M)=|8-力|,从而得到G(M)=

(2a+8)x|8-2^|,0<|8-2^|<8,再由M能被9整除.可得2a+8能被9整除，从而得到

。=5,再由G(/)是完全平方数(0除外)可得到|8-»|=8或2,即可求解.

(1)

解「6627不是“等合数”，1135是“等合数”，理由如下：

□6=6,但2+7?8,

□6627不是“等合数”，

□1=1且3+5=8,

口1135是“等合数”；

(2)

解：为一个“等合数”，

口可设M的千位和百位数为。，十位数为6,则个位数为8-6,其中。为0<H9的整数，b

为0</><8的整数，

P(M)=a+a+b+S-b=2a+S,Q(初)=|8-万一4=|8-明，

口G(M)=P(A/)xQ(A/)=(2«+8)x|8-26|,0<|8-2Z?|<8,

口M能被9整除.

口2。+8能被9整除，

当2a+8=9时，a=一,

2

当2。+8=18时，a=5,

19

当2a+8=27时，4/=—,

当2々+8=36时，4=14(不合题意，舍去)，