2021新教材高中数学第9章统计 教学用书教案新人教A版必修第二册

第九章统计

9.1K机抽样

9.1.1简单随机抽样

素养目标•定方向

素养目标学法指导

1.了解简单随机抽样的含义及其解决问题的

过程.（数学抽象）1.要熟练掌握简单随机抽样的两种方法之间

2.掌握两种筒单随机抽样方法：抽签法和随的差异分析与优缺点判断.

机数法.（数学抽象）2.通过设计抽签法或随机数法完成抽样，体

3.会计算样本均值，了解样本与总体的关会抽样的必要性和重要性.

系.（数学抽象）

必备知识•探新知

知识点1普查与抽查

调查方式普查抽查

根据一定目的，从总体中抽取一部分

对每一个调查对象都进行.调查.的

定义_个体进行调查，并以此为依据对总体

方法，称为全面调查，又称普查

的情况作出估计和推断的调查方法

总体：在一个调查中，我们把.调查对样本:我们把从,总体一中抽取的那部

重一的全体称为总体.分个体称为样本.

相关概念

个体:组成总体的每一个调查对象称为样本量:样本中包含的.个体数一称为

个体样本量

知识点2简单随机抽样

1.简单随机抽样的概念

放回简单随机抽样不放回简单随机抽样

一般地，设一个总体含有MN为正整数）个个仪k,从中.逐个.抽取个个体作为样

本

如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内

各个个体被抽到的概率都」我们把未进入样本的各个个体，被抽到的概率都

这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简

单随机抽样

简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机

抽样获得的样本称为简单随机样本

2.抽签法：先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸

片(也可以使卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个一不透明一的盒里,充分

_搅拌一.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本，直

到抽足样本所需要的个体数.

3.随机数法

(1)定义：先把总体中的个体编号，用随机数根据产生与总体中个体数量，O―的整

数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除一重复的编号,直到抽足样本所需要

的个体数.

(2)产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数；②用信息技术生成随机数.

4.总体均值和样本均值

(1)总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为匕，打，…，YN，则

称Y=♦+匕；；•+1:/夕》.为总体均值,又称总体平均数.

——/=1

(2)总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有&个(AW7V)

个，不妨记为H，力，…，Yk,其中匕出现的频数/《=1,2,…，&),则总体均值还可以写

成加权平均数的形式?=_=斗工_.

-1=1

(3)如果从总体中抽取一个容量为〃的样本，它们的变量值分别为y”/，…，为，则称

…=柠”为样本均值,又称样本平均数.在简单随机抽样中，我们

——/=!

常用样本平均数7去估计总体平均数亍.

［知识解读］1.简单随机抽样有如下四个特征：

(1)它要求被抽取样本的总体的个数确定，且较少，个体之间差异不明显.

(2)它是从总体中逐个抽取.

(3)它是一种不放回抽取.

(4)它是一种等概率抽样.不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽到的概率都

相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽到的概率也相等，从而保证了这种抽样方法的

公平性.

2.抽签法与随机数法的异同点

①都属于简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限；

相同点

②都是从总体中逐个不放回地进行抽取

不同点①抽签法比随机数法操作简单；

②随机数法更适用于总体中个体数较多的时候，而抽签法适用于总体中个体

数较少的情况，所以当总体中的个体数较多时，应当选用随机数法，可以节

约大量的人力和制作号签的成本

关键能力•攻重难

题型探究

题型一简单随机抽样的概念理解

■典例1(1)关于简单随机抽样的特点有以下几种说法，其中不正确的是(D)

A.要求总体中的个体数有限

B.从总体中逐个抽取

C.这是一种不放回抽样

D.每个个体被抽到的机会不一样，与先后顺序有关

(2)下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是(C)

A.某学校有学生1320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个

容量为300的样本

B.为了准备省政协会议，某政协委员计划从1135个村庄中抽取50个进行收入调查

C.从全班30名学生中，任意选取5名进行家访

D.为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5000人中抽取200人进行统计

I解析［(1)简单随机抽样，除具有A,B,C三个特点外，还具有等可能性，每个个体

被抽取的机会相等，与先后顺序无关.

(2)A中不同年级的学生身体发育情况差别较大，B,D的总体容量较大，C的总体容量

较小，适宜用简单随机抽样.

［归纳提升I可用简单随机抽样抽取样本的依据

(1)总体中的个体之间无明显差异；

(2)总体中个体数N有限；

(3)抽取的样本个体数〃小于总体中的个体数N;

(4)逐个不放回地抽取；

(5)每个个体被抽到的可能性均为齐

【对点练习】❶下列5个抽样中，简单随机抽样的个数是(B)

①从无数个个体中抽取50个个体作为样本；

②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；

③一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签;

④箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任

意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里.

A.0B.1

C.2D.3

I解析］根据简单随机抽样的特点逐个判断.①不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要

求被抽取的样本总体的个数是有限的.②不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽

取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.③是简单随机抽

样.因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的

抽样.④不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样.综上，只有③是简单随机抽样.

题型二抽签法的应用

»■■典例2从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴.

［解析］第一步，将20架钢琴编号，号码是1,2,…，20.

第二步，将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签.

第三步，将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀.

第四步，从盒中不放回地逐个抽取5个号签，使与号签上编号相同的钢琴进入样本.

［归纳提升］1.一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：

一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显.

2.应用抽签法时应注意以下几点：

(1)编号时，如果已有编号可不必重新编号；

(2)号签要求大小、形状完全相同；

(3)号签要均匀搅拌；

(4)根据实际需要采用有放回或无放回抽取.

【对点练习】❷为迎接2022年北京冬奥会，奥委会现从报名的某高校30名志愿者中

选取6人组成奥运志愿小组，请用抽签法设计抽样方案.

［解析］(1)将30名志愿者编号，号码分别是1,2,…，30.

(2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签.

(3)将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀.

(4)从盒中不放回地逐个抽取6个号签，使与号签上编号相同的志愿者进入样本.

题型三随机数法及综合应用

■典例3某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是

否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验.

(1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？

(2)如果用随机试验生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号.

162,277,943,949,545,354,821,737,932,354,873,520,964,384,263,491,648,642,175,331,572,4

55,068,877,047,447,672,172,065,025,834,216,337,663,013,785,916,955,567,199,810,507,175,128

,673,580,667.

(3)质监局对该公司生产的袋装牛奶检验的质量指标有两个：一是每袋牛奶的质量满足

500±5g,二是10袋质量的平均数，500g,同时满足这两个指标，才认为公司生产的牛奶为

合格，否则为不合格.经过检测得到10袋袋装牛奶的质量(单位：g)为：

502,500,499,497,503,499,501,500,498,499.

计算这个样本的平均数，并按照以上标准判断牛奶质量是否合格.

［解析］(1)第一步，将500袋牛奶编号为001,002,…，500；

第二步，用随机数工具产生1〜500范围内的随机数；

第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的袋装牛奶进入样本;

第四步，重复上述过程，直到产生的不同编号等于样本所需要的数量.

(2)应抽取的袋装牛奶的编号为：162,277,354,384,263,491,175,331,455,068.

⑶y=

502+500+499+497+503+499+501+500+498+499

=499.8<500,所以该公司的牛

10

奶质量不合格.

［归纳提升］用样本平均数估计总体平均数的步骤

(1)求样本平均数y;

如果从总体中抽取一个容量为〃的样本，它们的变量值分别为力，yz,乃，…，y”,

则称7J为样本均值.

(2)用样本平均数7去估计总体平均数歹，即歹七歹.

【对点练习】❸(1)总体由编号为01,02,…，19,20的20个个体组成，利用下面的随

机数表选取5个个体，选取方法：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一

次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(D)

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07

C.02D.01

(2)对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位:

m/s)的数据如下：

甲273830373531

乙352940343036

分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数并判断选谁参加比赛比较

合适？

［解析］(1)从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开

始向右读，第一个数为65,不符合条件，第二个数为72,不符合条件，第三个数为08,符

合条件，以下符合条件的数字依次为02,14,07,01,故第5个数为01.故选D.

-27+38+30+37+35+31

(2)y甲=7—33.

-35+29+40+34+30+36

"=6=

因为y单乙，故选乙参加比赛较合适.

易错警示

对简单随机抽样的等可能性理解不透致误

■典例4在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（C）

A.与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大

B.与第儿次抽样有关，第一次抽到的可能性最小

C.与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等

D.与第几次抽样无关，与样本量也无关

I错解IB

［错因分析］简单随机抽样在每一次抽取时被抽到的可能性相等，都是但是要将每

个个体被抽到的可能性与第〃次被抽到的可能性区分开来，避免出错.

［正解］由简单随机抽样的定义知简单随机抽样与第几次抽样无关，在每一次抽取时被

抽到的可能性相等，不能认为先抽可能性大，后抽可能性小.故C正确.

【对点练习】❹对于简单随机抽样，每个个体被抽到的机会（B）

A.不相等B.相等

C.不确定D.与抽样次序有关

9.1.2分层随机抽样

9.1.3获取数据的途径

素养目标•定方向

素养目标学法指导

1.了解分层随机抽样的特点和适用范围.（数

学抽象）1.对比简单随机抽样的特点，感受分层随机

2.了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样抽样中“层”的含义.

本量比例分配的方法.（数据分析）2.通过具体的案例，体会层次的差异性，并

3.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本感受“层"与“层”之间的异同以及比例分

均值.（数学运算）配的必要性.

4.知道获取数据的基本途径，包括：统计报3.在简单随机抽样的基础上，深化对分层随

表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽机抽样样本平均数的理解.

样、互联网等.（数据分析）

必备知识探新知

知识点1分层随机抽样

一般地，按_一个或多个一变量把总体划分成若干个一子总体一，每个个体.属于且仅

属于一一个子总体,在每个子总体中独立地进行一简单随机抽样一，再把所有子总体中抽取

的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样.

(1)每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，

那么称这种样本量的分配方式为_比例分配一.

(2)如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M,M两层抽取的样本量分别为〃?，

n,两层的样本平均数分别为最，亍，两层的总体平均数分别为又，亍，总体平均数为W,

样本平均数为1.

n,.一m-.n-

则吁一亦产与二产一.

W=-X+-Y

(3)在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数»估计.总体平均数京

知识点2获取数据的途径

获取数据的基本途径有通过调查获取数据、通过试验获取数据、通过观察获

取数据、通过查询获得数据等.

［知识解读］I.分层随机抽样的实施步骤

第一步，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子

总体；

第二步，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样；

第三步，把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本.

2.分层随机抽样适用于总体中个体之间差异较大的情形

3.在比例分配的分层抽样中需注意两点

一,样本量

(1)抽样比=总样本量.

(2)可以直接用样本平均数估计总体平均数.

4.分层随机抽样下总体平均数的估计

在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N,

抽取的样本量分别为〃?和”.我们用X”X2,…，表示第1层各个个体的变量值，用制，

X2，…，X,”表示第1层样本的各个个体的变量值；用Yi，匕，…，自表示第2层各个个体

的变量值，用乃，竺，…，力表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数

和样本平均数分别为

——X|+X；；H-----HXM__《v

X—M一耳消

—七+电-1------Hx,"1g

x=m=碎・

第2层的总体平均数和样本平均数分别为

-ri+b+-+Kv

Y~N—N牛，

yi+y2H-----H%

y='n=评

总体平均数和样本平均数分别为

MNtnn

力G+£Yi%+X.V/

i=\i=l_i=\/=l

W=M+N，w=m+n*

在比例分配的分层随机抽样中，

innm+n

M=N~M+N'

M—N—m—n—_一

M-\-NXM+N、m+nAm+n-VW'

因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数而估计总体平均数W.

关键能力攻重难

题型探究

题型一对分层随机抽样概念的理解

■典例1（1）某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干

部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人,

用下列哪种方法最合适（D）

A.抽签法B.随机数

C.简单随机抽样D.分层随机抽样

（2）分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每类抽取若干个个

体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取，必须进行（C）

A.每层等可能抽样

B.每层可以不等可能抽样

C.所有层按同一抽样比等可能抽样

D.所有层抽取的个体数量相同

I分析I是否适合用分层随机抽样，首先判断总体是否可以“分层”.

I解析I(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样.

(2)为了保证每个个体等可能的被抽取，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比

等可能抽取.

［归纳提升I1.使用分层抽样的前提

分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅

属于一个子总体，而层内个体间差异较小.

2.使用分层随机抽样应遵循的原则

(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不

重复、不遗漏的原则：

(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能抽取，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每

层样本量与每层个体数量的比等于抽样比.

【对点练习】❶下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是(B)

A.从10名同学中抽取3人参加座谈会

B.某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入

的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本

C.从1000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间

D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

I解析］A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所

含个体无差异但个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分

层随机抽样.

题型二分层随机抽样的应用

■典例2一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的

有280人,50岁及50岁以上的有95人.为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标,

要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？

［解析］用分层随机抽样来抽取样本，步骤如下：

(1)分层.按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁

及50岁以上的职工.

(2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为温=,，则在不到35岁的职工中抽取125x1=

25(A);

在35岁至49岁的职工中抽取280义1=56(人)；

在50岁及50岁以上的职工中抽取95*1=19(人).

(3)在各层分别按简单随机抽样抽取样本.

(4)汇总每层抽样，组成样本.

［归纳提升］分层随机抽样的步骤

【对点练习】❷某市的3个区共有高中学生20000人，且3个区的高中学生人数之

比为2：3：5,现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情

况，试写出抽样过程.

［解析］①由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层随机抽样来抽

取样本.

②确定每层抽取个体的个数，在3个区分别抽取的学生人数之比也是2：3：5,所以抽

235

取的学生人数分别是200义许工7=4°；200X-T—=60；200X—r-=100.

③在各层分别按随机数法抽取样本.

④综合每层抽样，组成容量为200的样本.

题型三分类抽样的相关计算

■典例3(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓

情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N,

其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,

则这四个社区驾驶员的总人数代为(B)

A.101B.808

C.1212D.2012

(2)将一个总体分为A,B,C三层，其个体数之比为5：3：2,若用分层随机抽样方法

抽取容量为100的样本，则应从C中抽取20个个体.

(3)分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20,样本平均数为3,第2

层的样本量为30,样本平均数为8,则该样本的平均数为6.

［解析］(1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，

所以四个社区抽取驾驶员的比例为1甚2=去1

所以驾驶员的总人数为（12+21+25+43）+5=808（人）.

O

（2）VA,B,C三层个体数之比为5：3：2,又有总体中每个个体被抽到的概率相等,

2

二分层随机抽样应从C中抽取100X元=20（个）个体.

⑶W=20+30*3+20+30X8=6.

［归纳提升］（1）进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系

样本量”—该层抽取的个体数

①总体的个数N=该层的个体数：

②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.

（2）样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：

—m—_n_—M-_/V_—

Wm+nAm+n'M+NXM+N），

【对点练习】❸（1）某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1200辆,6000辆和2000

辆，为检验该公司的产品质量，现用分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号

的轿车依次应抽取6辆、30辆、10辆.

（2）在本例（2）中,若4,B,C三层的样本的平均数分别为15,30,20,则样本的平均数为

20.5.

I解析］（1）三种型号的轿车共9200辆，抽取样本量为46辆，则按辞行=志的比例抽

样，所以依次应抽取1200X肃=6（辆），6000X焉=30（辆），2000X肃=10（辆）.

—532

（2）由题意可知样本的平均数为w=15+s..a_9X30+u..^?X20=20.5.

•JII•JIIII

易错警示

忽略抽样的公平性致错

■典例4某单位有老年人28人、中年人54人、青年人81人，为了调查他们的

身体情况，需从中抽取一个样本量为36的样本，则下列抽样方法适合的是②.

①简单随机抽样；

②直接运用分层随机抽样：

③先从老年人中剔除1人，再用分层随机抽样.

［错解］③

［错因分析|由于按盖抽样，无法得到整数解，因此先剔除I人，将抽样比变为盖=

京2若从老年人中随机地剔除1人,则老年人应抽取27X23=6（人），中年人应抽取54X2能

yyy

12（人），青年人应抽取81X52=18（人），从而组成样本量为36的样本.事实上，若用简单随机

抽样法先从老年人中剔除1人，则老年人中每个人被抽到的机会显然比中年人、青年人中每

个人被抽到的机会小了，这不符合随机抽样的特征——每个个体入样的机会都相等.

［正解］因为总体由差异明显的三部分组成，所以考虑用分层随机抽样.因为总人数为

28+54+81=163,样本量为36,所以抽样比为盖.因此，从老年人、中年人和青年人中应

抽取的人数分别为需X28=«6,需X54212,需X81218.

［误区警示］分层随机抽样的一个很重要的特点是每个个体被抽到的机会是相等的.当

按照比例计算出的值不是整数时，一般采用四舍五入的方法取值,若四舍五人后得到的样本

量与要求的不尽相同，则可根据问题的实际意义适当处理，使之相同，这只是细节性问题，

并未改变分层随机抽样的本质.

【对点练习】❹为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取

部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大

差异，且男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（C）

A.简单随机抽样B.按性别分层随机抽样

C.按学段分层随机抽样D.随机数法抽样

I解析］依据题意，了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差

异，且男女生视力情况差异不大，故要了解该地区学生的视力情况，应按学段分层随机抽样.

故选C.

9.2用样本估计总体

9.2.1总体取（醐律的估计

素养目标定方向

素养目标学法指导

1.在初中条形图作图的基础上，进一步感受

1.能选择恰当的统计图表对数据进行可视化数据处理过程中，用频率分布直方图的必要

描述，体会合理使用统计图表的重要性.（数据性.

分析）2.通过具体的案例感受制作频率分布表和频

2.结合实例，能用样本估计总体的取值规率分布直方图的全过程（流程）.

律.（数据分析）3.通过具体案例感受分组与组数对数据整理

后信息分析的影响.

必备知识・探新知

知识点1画频率分布直方图的步骤

1.求极差：极差是一组数据中最大值与最小值.的差.

2.决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5〜12组,一般取等长组距,

并且组距应力求“取整”.

3.将数据分组.

4.列频率分布表：一般分四列，即分组、频数累计、频数、频率.其中频数合

计应是样本容量，频率合计是1.

频率频率

5.画频率分布直方图：横轴表示样本数据，纵轴表示关京.小长方形的面积=组距X赢

建率—.各小长方形的面积和等于1.

知识点2其它统计图表

统计图表主要应用

扇形图直观描述各类数据占总数的比例

条形图和直方图直观描述不同类别或分组数据的频数和频率

折线图描述数据随时间的变化趋势

［知识解读］1.频率分布直方图

频数分布直方图的纵坐标是频数，每一组数对应的矩形的高度与频数成正比；频率分布

频率

直方图的纵坐标是表，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于

这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为1.

2.条形图、折线图及扇形图

(1)条形图：建立直角坐标系，用横轴(横轴上的数字)表示样本数据类型，用纵轴上的单

位长度表示一定的数量，根据每个样本(或某个范围内的样本)的数量多少画出长短不同的等

宽矩形，然后把这些矩形按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为

条形图.

(2)折线图：建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示

一定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一

条折线，用这种折线表示出样本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线

图.

(3)扇形图：用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的

大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为

扇形图.

关键能力攻重难

V

题型探究

题型一频率分布直方图作法

■典例1为了检测某种产品的质量，抽取了一个样本量为100的样本，数据的

分组如下：

[10.75,10.85),3；[10.85,10.95),9；[10.95,11.05),13；[11.05,11.15),16；[11.15,11.25),

26；[11.25,11.35),20；[11.35,11.45),7；[11.45,11.55),4；[11.55,11.65],2.

(1)列出频率分布表；

(2)画出频率分布直方图.

[分析]题目要求列出样本的频率分布表、画出频率分布直方图，应注意到已知条件中

虽未提供原始数据，但组距、组数及频数都己给出，可由此来列表、画图.

I解析I(1)频率分布表如下：

分组频数频率

[10.75,10.85)30.03

[10.85,10.95)90.09

[10.95,11.05)130.13

[11.05,11.15)160.16

[11.15,11.25)260.26

[11.25,11.35)200.20

[11.35,11.45)70.07

[11.45,11.55)40.04

[11.55,11.65]20.02

合计1001.00

(2)频率分布直方图如图

[归纳提升]绘制频率分布直方图应注意的问题

(1)在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高.一般地，频

率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位

长度”(没有统一规定)，然后以各组的“照”所占的比例来定高.如我们预先设定以

“一”为1个单位长度，代表“0.1”，则若一个组的为0.2,则该小矩形的高就是

“一(占两个单位长度)，如此类推.

(2)数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30—100个左右时，应

分成5〜12组，在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高

与频数成正比，各组频数之和等于样本量，频率之和为1.

【对点练习】❶在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤细的一种量)共有100个

数据，将数据分组如下表：

分组频数频率

[1.30,1.34)4

[1.34,1.38)25

[1.38,1.42)30

[1.42,1.46)29

[1.46,1.50)10

[1.50,1.54]2

合计100

(1)完成频率分布表，并画出频率分布直方图；

(2)估计纤度落在［1.38』.50)内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少？

［解析］(1)频率分布表如下：

分组频数频率

[1.30,1.34)40.04

[1.34,1.38)250.25

[1.38,1.42)300.30

[1.42,1.46)290.29

[1.46,1.50)100.10

[1.50,1.54]20.02

合计1001.00

频率分布直方图如图所示.

频率

(2)利用样本估计总体，则纤度落在［1.38,1.50)的可能性即为纤度落在［1.38,1.50)的频率,

即为0.30+0.29+0.10=0.69=69%.

纤度小于1.42的可能性即为纤度小于1.42的频率，即为0.04+0.25+0.30=0.59=59%.

题型二频率分布直方图的应用

■典例2从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至

350度之间，频率分布直方图如图所示.

(1)求直方图中X的值；

(2)在这些用户中，求用电量落在区间［100,250)内的户数.

［解析］(1)由频率分布直方图知［200,250)小组的频率为1一(0.0024+0.0036+0.0060

022

+0.0024+0.0012)X50=0.22,于是工=宕=0.0044.

(2)I•数据落在［100,250)内的频率为(0.0036+0.0060+0.0044)X50=0.7,

二所求户数为0.7X100=70.

［归纳提升］频率分布直方图的性质

频率.

(1)因为小矩形的面积=组距X37=频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.

这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.

(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.

(3)样本量=频数/相应的频率.

【对点练习】❷如图是样本量为200的频率分布直方图.根据样本的频率分布直方图

估计，下列说法正确的是(A

A.样本数据落在［6,10)内的频数为64,数据落在［2,10)内的百分比为0.4

B.样本数据落在［6,10)内的频数为16,数据落在［2,10)内的百分比为0.1

C.样本数据落在［10,14)内的频数为18,数据落在［6,14)内的百分比为0.68

D.样本数据落在［14,22］内的频数为48,数据落在［10,18)内的百分比为0.12

［解析］根据样本的频率分布直方图，样本数据落在［6,10)内的频率为0.08X4=0.32,

所以频数为0.32X200=64；样本数据落在［2,6)内的频率为0.02X4=0.08,所以频数为

0.08X200=16,故数据落在［2/0)内的百分比约为多，=0.4.故选A.

题型三折线图、条形图、扇形图及应用

■典例3如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：。C)的情况绘

制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温（单

位：。C）的扇形统计图和条形统计图.

［解析I该城市3月1日至10日的最低气温（单位：°C）情况如下表:

日期12345678910

最低气温（℃）-3-20-1120-122

其中最低气温为一3℃的有1天，占10%,最低气温为一2匕的有1天，占10%,最低

气温为一1℃的有2天，占20%,最低气温为0℃的有2天，占20%,最低气温为I℃的

1天，占10%,最低气温为2C的有3天，占30%,扇形统计图如图所示.

tio%］

t0^

\20%

20%^/

条形统计图如下图所示：

天数

3........................

［归纳提升］1.条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率，根据数量的多少或

频率的大小画成长短不同的矩形条，条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率.

2.扇形图是用整个圆面积表示总数（100%）,用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数

的百分数.

3.在画折线图时，要注意明确横轴、纵轴的实际含义.

【对点练习】❸如图是甲、乙、丙、丁四组人数的扇形统计图的部分结果，根据扇形

统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为（A）

7.5%

A.250B.150

C.400D.300

I解析】甲组人数是120,占30%,则总人数是19嬴0=400.则乙组人数是400X7.5%=

30,则丙、丁两组人数和为400-120-30=250.

易错警示

误将频率分布直方图中的纵坐标当作频率

■典例4中小学生的视力状况受到社会的广泛关注.某市有关部门从全市6万名

高一学生中随机抽取400名学生，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数

据绘制成频率分布直方图，如图.从左至右五个小组的频率之比为5：7：12：10：6,则该市

6万名高一学生中视力在［3.95,4.25）内的学生约有多少人？

频率/组距

0.5--:…尸--------

僚式W7玄拓为情况

［错解］由图可知，第五小组的频率为0.5,所以第一小组的频率为0.5x3=—.

所以该市6万名高一学生中视力在［3.95,4.25）内的学生约有60000X^=25000（人）.

［错因分析］造成错解的原因是将该频率分布直方图中的纵坐标（频率与组距的比）看成

频率.

［正解］由图可知，第五小组的频率为0.5X0.3=0.15,

所以第一小组的频率为0.15x|=0.125.

所以该市6万名高一学生中视力在［3.95,4.25）内的学生约有60000X0.125=7500（A）.

频率

［误区警示］频率分布直方图中的纵轴上所标数据是小矩形的高，表示受，计算频率

时不要忘了乘组距.

【对点练习】❹如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据

可知，样本落在［15,20］内的频数为（B）

o5101520数据

A.20B.30

C.40D.50

［解析］样本数据落在口5,20］内的频数为100X［|-5x(0.04+0.1)J=30.

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