培优专题03几何最值类问题综合(原卷版+解析)

培优冲刺03几何最值类问题综合本考点是中考五星高频考点，难度中等偏上，在全国很多地市的中考试卷中多有考查。(2023年柳州中考试卷第18题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为．分析：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，利用SAS证明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再说明△DGC≌△DMH（AAS），得CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：方法一：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，∵∠EDF＝∠GDM，∴∠EDG＝∠FDM，∵DE＝DF，DG＝DM，∴△EDG≌△MDF（SAS），∴MF＝EG＝2，∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，∴△DGC≌△MDH（AAS），∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，∴CM＝＝2，∵CF≥CM﹣MF，∴CF的最小值为2﹣2，方法二：连接AG、AE，由方法一同理得，AE＝CF，AG＝2，∵AE≥AG﹣EG＝2﹣2，∴AE的最小值为2﹣2，∴CF的最小值为2﹣2，故答案为：2﹣2．点评：本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，做辅助线构造全等三角形是解题的关键。初中数学中，几何最值问题属于难度较大的一类题，问题环境可以是三角形、四边形、圆或者反比例函数、二次函数。而常用到的最值原理则有：两点之间线段最短（三点共线）、点到直线的距离垂线段最短、圆和圆外定点的最值原理等。这类题的原理虽然较为固定，但对学生的逻辑思维能力要求较高，综合型较强。本考点是中考五星高频考点，难度较大，个别还会以压轴题出现，在全国多地市的中考试卷中多有考查。几何最值问题基本原理1.定点到定点——两点之间，线段最短；数学定理联系：①三角形两边之和＞第三边故三点共线时PA＋PB的值最小=AB②首尾相连的两折图、三折图也是当三点（或四点）共线时有最小值2.定点到定线——点线之间，垂线段最短；数学定理联系：OPHOPHQ故平行线之间，垂线段最短②圆上一点到圆外定直线上一点中，垂线段最短（如图：则PH即为圆O上的点到直线L的最小值;QH为最大值）3.定点到定圆——点圆之间，点心线截距最短（长）数学定理联系：圆和圆外定点的最值问题（如图：则AP最小值=OA-r；AP最大值=OA+r）【中考真题练】1．(2023•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4 B．6 C．2 D．32．(2023•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（）A． B． C．3 D．3．(2023•泰安）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（）A． B． C．﹣ D．﹣24．(2023•南京）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q5．(2023•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．186．(2023•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A． B．2 C．2 D．47．(2023•宜宾）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则＝；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④8．(2023•日照）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF∥BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA＝4，OC＝2，∠AOC＝45°，EP＝3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（）A．4＜m＜3+ B．3﹣＜m＜4 C．2﹣＜m＜3 D．4＜m＜4+9．(2023•毕节市）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为．10．(2023•青海）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为cm．11．(2023•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为．12．(2023•广州）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为．13．(2023•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是．14．(2023•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝，FB+FD的最小值为．15．(2023•黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是．16．(2023•阜新）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；（2）直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．17．(2023•镇江）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上．（1）如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH＝AB；（2）如图2，已知AE＝AH，CF＝CG，当AE、CF的大小有关系时，四边形EFGH是矩形；（3）如图3，AE＝DG，EG、FH相交于点O，OE：OF＝4：5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为20，当△OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．【中考模拟练】1．（2023•西乡塘区校级模拟）如图，在边长为的4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为​（）A． B． C． D．2．（2023·蚌埠二模）如图，M为Rt△ABC斜边AB上的中点，等腰△MBD的底边BD与AC交于点P，若∠A＝30°，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．33．（2023•梁溪区一模）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝150°，∠DCB＝60°，DC＝CB．若AB＝4，则AC的最大值是（）A． B． C． D．4．（2023•合肥模拟）动点P在等边△ABC的边AC上，AB＝2，连接PB，AD⊥PB于D，以AD为一边作等边△ADE，ED的延长线交BC于F，当EF取最大值时，PB的长为（）A．2 B． C． D．5．(2023•播州区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上滑动，点B在第一象限，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，连接OB，则线段OB长度的最大值为（）A． B． C． D．66．（2023春•河东区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.87．（2023春•硚口区期中）如图，已知点A（0，8），B（0，﹣2），E（0，5），F（﹣5，0），C为直线EF上一动点，则▱ACBD的对角线CD的最小值是（）A． B．4 C．5 D．8．（2023•黄埔区一模）△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，动点D在边BC上运动．以A为直角顶点，在AD右侧作等腰直角三角形△ADE（如图）．M为DE中点，N为BC三等分点，，连接MN，则线段MN的最小值为．9．（2023•长丰县二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，M，N分别是BC，CD上的动点，连接AM，BN交于点E，且∠BND＝∠AMC．（1）∠AEB＝．（2）连接CE，则CE的最小值为．10．（2023春•通州区期中）如图，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，点M，N分别是AC，BE的中点．若AB＝12，∠DAP＝60°，则线段MN的最小值为．11．（2023•临朐县一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A（2，m）与点B（4，2）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使得AP+BP最小，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．12．（2023•鄞州区一模）如图1，有一块边角料ABCDE，其中AB，BC，DE，EA是线段，曲线CD可以看成反比例函数图象的一部分．小宁想利用这块边角料截取一个面积最大的矩形MNQP，其中M，N在AE上（点M在点N左侧），点P在线段BC上，点Q在曲线CD上．测量发现：∠A＝∠E＝90°，AE＝5，AB＝DE＝1，点C到AB，AE所在直线的距离分别为2，4．（1）小宁尝试建立坐标系来解决该问题，通过思考，他把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为（﹣1，0）；点B的坐标为（﹣1，1）．请你在图2中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE；（2）求直线BC，曲线CD的解析式；（3）求矩形MNQP的最大面积．13．（2023春•思明区校级期中）已知O为坐标原点，A，B分别在y轴、x轴正半轴上，D是x轴正半轴上一动点，AD＝DE，∠ADE＝α，矩形AOBC的周长为24且AC＝2BC．（1）如图1，当α＝90°时．直线CE交x轴于点F，求证：F为OB中点；（2）如图2，当α＝60°时，若D是OB中点，求E点坐标；（3）如图3，当α＝120°时，Q是AE的中点，求D点运动过程中BQ的最小值．14．（2023春•思明区校级期中）已知四边形OABC是正方形．（1）如图1，△ADE为等腰直角三角形，∠DAE＝90°，两个顶点D、E和正方形顶点B三点在一条直线上，连接OD，求证：△OAD≌△BAE；（2）在第（1）题条件下，如图2，连接CD，求证：；（3）若正方形OABC边长为4，F为OC所在直线上一动点，连接AF，G为AF中点，连接CG，以CG为直角边，∠CGK为直角，如图3构造等腰Rt△CGK，连接AK，当F在运动时，求线段AK的最小值．培优冲刺03几何最值类问题综合本考点是中考五星高频考点，难度中等偏上，在全国很多地市的中考试卷中多有考查。(2023年柳州中考试卷第18题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为．分析：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，利用SAS证明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再说明△DGC≌△DMH（AAS），得CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：方法一：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，∵∠EDF＝∠GDM，∴∠EDG＝∠FDM，∵DE＝DF，DG＝DM，∴△EDG≌△MDF（SAS），∴MF＝EG＝2，∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，∴△DGC≌△MDH（AAS），∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，∴CM＝＝2，∵CF≥CM﹣MF，∴CF的最小值为2﹣2，方法二：连接AG、AE，由方法一同理得，AE＝CF，AG＝2，∵AE≥AG﹣EG＝2﹣2，∴AE的最小值为2﹣2，∴CF的最小值为2﹣2，故答案为：2﹣2．点评：本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，做辅助线构造全等三角形是解题的关键。初中数学中，几何最值问题属于难度较大的一类题，问题环境可以是三角形、四边形、圆或者反比例函数、二次函数。而常用到的最值原理则有：两点之间线段最短（三点共线）、点到直线的距离垂线段最短、圆和圆外定点的最值原理等。这类题的原理虽然较为固定，但对学生的逻辑思维能力要求较高，综合型较强。本考点是中考五星高频考点，难度较大，个别还会以压轴题出现，在全国多地市的中考试卷中多有考查。几何最值问题基本原理1.定点到定点——两点之间，线段最短；数学定理联系：①三角形两边之和＞第三边故三点共线时PA＋PB的值最小=AB②首尾相连的两折图、三折图也是当三点（或四点）共线时有最小值2.定点到定线——点线之间，垂线段最短；数学定理联系：OPHOPHQ故平行线之间，垂线段最短②圆上一点到圆外定直线上一点中，垂线段最短（如图：则PH即为圆O上的点到直线L的最小值;QH为最大值）3.定点到定圆——点圆之间，点心线截距最短（长）数学定理联系：圆和圆外定点的最值问题（如图：则AP最小值=OA-r；AP最大值=OA+r）【中考真题练】1．(2023•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4 B．6 C．2 D．3分析：在网格中，以MN为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM最长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，根据题意得到点P的轨迹为圆弧，当MP为直径时最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，则PM＝＝2．故选：C．2．(2023•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（）A． B． C．3 D．分析：如图，不妨假设点P在AB的左侧，证明△PAB的面积是定值，过点P作AB的平行线PM，连接CO并延长CO交AB于点R，交PM于点T．因为△PAB的面积是定值，推出点P的运动轨迹是直线PM，求出OT的值，可得结论．【解答】解：如图，不妨假设点P在AB的左侧，∵S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC，∴S1+S0＝S2+S3，∵S1+S2+S3＝2S0，∴S1+S1+S0＝2，∴S1＝S0，∵△ABC是等边三角形，边长为6，∴S0＝×62＝9，∴S1＝，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．∵△PAB的面积是定值，∴点P的运动轨迹是直线PM，∵O是△ABC的中心，∴CT⊥AB，CT⊥PM，∴•AB•RT＝，CR＝3，OR＝，∴RT＝，∴OT＝OR+TR＝，∵OP≥OT，∴OP的最小值为，当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为，如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为，∵＜，故选：B．3．(2023•泰安）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（）A． B． C．﹣ D．﹣2分析：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．证明∠AMD＝90°，推出OM＝AD＝2，点M在以O为圆心，2为半径的⊙O上，利用勾股定理求出OB，可得结论．【解答】解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，∴∠BAP+∠DAM＝90°，∵∠ADM＝∠BAP，∴∠ADM+∠DAM＝90°，∴∠AMD＝90°，∵AO＝OD＝2，∴OM＝AD＝2，∴点M在以O为圆心，2为半径的⊙O上，∵OB＝＝＝，∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，∴BM的最小值为﹣2．故选：D．4．(2023•南京）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q分析：根据直三棱柱的特征结合勾股定理求出各线段的距离，再比较大小即可求解．【解答】解：如图，过C点作CE⊥AB于E，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，32+42＝52，∴△ACB是直角三角形，∴CE＝AC•BC÷÷AB＝3×4÷5＝2.4，∴AE＝＝＝1.8，∴BE＝5﹣1.8＝3.2，∵四边形AMNB是正方形，立方体是直三棱柱，∴CQ＝5，∴CM＝CP＝＝，CN＝＝，∵＞＞5，∴与点C距离最大的是点N．故选：B．5．(2023•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．18分析：通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．【解答】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH为矩形，∴GH＝8，∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，故选：B．6．(2023•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A． B．2 C．2 D．4分析：连接AE，那么，AE＝CG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如图，连接AE，∵四边形DEFG是正方形，∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，连接AC，∴d1+d2+d3最小值为AC，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，∴d1+d2+d3最小＝AC＝2，故选：C．7．(2023•宜宾）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则＝；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④分析：①正确．证明△BAD≌△CAE（SAS），可得结论；②正确．证明A，D，C，E四点共圆，利用圆周角定理证明；③正确．设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE＝m，OA＝m，过点C作CJ⊥DF于点J，求出AO，CJ，可得结论；④错误．将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，设PD＝t，则BD＝AD＝t，构建方程求出t，可得结论．【解答】解：如图1中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正确，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠AEC+∠ADC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∴∠DAE＝∠DCE＝90°，取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA＝OD＝OE＝OC，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠DAC＝∠CED，故②正确，设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE＝m，OA＝m，过点C作CJ⊥DF于点J，∵tan∠CDF＝＝＝2，∴CJ＝m，∵AO⊥DE，CJ⊥DE，∴AO∥CJ，∴＝＝＝，故③正确．如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，∴△BPN是等边三角形，∴BP＝PN，∴PA+PB+PC＝AP+PN+MN，∴当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，∴∠BPD＝∠CPD＝60°，设PD＝t，则BD＝AD＝t，∴2+t＝t，∴t＝+1，∴CE＝BD＝t＝3+，故④错误．故选：B．8．(2023•日照）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF∥BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA＝4，OC＝2，∠AOC＝45°，EP＝3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（）A．4＜m＜3+ B．3﹣＜m＜4 C．2﹣＜m＜3 D．4＜m＜4+分析：先求得点A，C，B三个点坐标，然后求得AB和AC的解析式，再表示出EF的长，进而表示出点P的横坐标，根据不等式的性质求得结果．【解答】解：可得C（，），A（4，0），B（4+，），∴直线AB的解析式为：y＝x﹣4，∴x＝y+4，直线AC的解析式为：y＝﹣，∴x＝4+y﹣2y，∴点F的横坐标为：y+4，点E的横坐标为：4+y﹣2y，∴EF＝（y+4）﹣（4+y﹣2y）＝2，∵EP＝3PF，∴PF＝EF＝y，∴点P的横坐标为：y+4﹣y，∵0＜y＜，∴4＜y+4﹣y＜3+，故答案为：A．9．(2023•毕节市）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为．分析：方法一：以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，证明△CAB∽△CP′O，利用相似三角形的性质得出，求出OP'，即可求出PQ的最小值．方法二：过点A作AE⊥BC垂足为E当PQ⊥BC时，符合题意，则四边形AEPQ是矩形，可求出PQ＝AE＝2.4．【解答】解：方法一：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝＝＝4，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO＝2，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CAB∽△CP′O，∴，∴，∴OP′＝，∴则PQ的最小值为2OP′＝，方法二：过点A作AE⊥BC垂足为E当PQ⊥BC时，符合题意，则四边形AEPQ是矩形，∴PQ＝AE＝2.4．故答案为：．10．(2023•青海）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为20πcm．分析：根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，当扇形的半径为OE时扇形OCD最大，∵OA＝OB＝60cm，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，∴OE＝OA＝30cm，∴弧CD的长＝＝20πcm，故答案为：20π．11．(2023•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为2+1．分析：连接OE、OF，根据正切的定义求出∠ABC，根据切线长定理得到∠OBF＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．【解答】解：当⊙O与BC、BA都相切时，连接AO并延长交⊙O于点D，则AD为点A到⊙O上的点的距离的最大值，设⊙O与BC、BA的切点分别为E、F，连接OE、OF，则OE⊥BC，OF⊥AB，∵AC＝6，BC＝2，∴tan∠ABC＝＝，AB＝＝4，∴∠ABC＝60°，∴∠OBF＝30°，∴BF＝＝，∴AF＝AB﹣BF＝3，∴OA＝＝2，∴AD＝2+1，故答案为：2+1．12．(2023•广州）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为120°；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为75°．分析：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．利用全等三角形的性质证明∠BEP′＝90°，推出点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，再证明△BEO是等腰直角三角形，可得结论．【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．∵△BPP′是等边三角形，∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，∴∠ABP＝∠EBP′，在△ABP和△EBP′中，，∴△ABP≌△EBP′（SAS），∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，∴点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C＝180°﹣60°＝120°，当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°，∴EO＝OB，OP′＝OC，∴EP′＝EO+OP′＝OB+OC＝BC，∵BC＝2AB，∴EP′＝AB＝EB，∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，∴∠BP′C＝45°+90°＝135°，∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣60°＝75°．故答案为：120°，75°．13．(2023•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是2．分析：方法一：点F运动所形成的图象是一条射线F2F1，当OF⊥F1F2时，垂线段OF最短，当点F1在x轴上时，由勾股定理得：P1O＝F1O＝，进而得P1A＝P1F1＝AF1＝，求得点F1的坐标为（，0），当点F2在y轴上时，求得点F2的坐标为（0，﹣4），最后根据待定系数法，求得直线F1F2的解析式为y＝x﹣4，再由线段中垂线性质得出F1F2＝AF1＝，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则根据面积法得×OF1×OF2＝×F1F2×h，即××4＝××h，解得h＝2，根据垂线段最短，即可得到线段OF的最小值为2．方法二：如图，在第二象限作等边三角形AOB，连接BP、AF，过点B作BP′⊥x轴于点P′，可证得△BAP≌△OAF（SAS），得出BP＝OF，当BP⊥x轴时，BP最小值为2，故OF的最小值为2．【解答】解：方法一：∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF＝60°，PF＝PA，∴△APF是等边三角形，∴AP＝AF，如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，则P1A＝P1F1＝AF1，∠AP1F1＝60°，∵AO⊥P1F1，∴P1O＝F1O，∠AOP1＝90°，∴∠P1AO＝30°，且AO＝4，由勾股定理得：P1O＝F1O＝，∴P1A＝P1F1＝AF1＝，∴点F1的坐标为（，0），如图，当点F2在y轴上时，∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O，∴AO＝F2O＝4，∴点F2的坐标为（0，﹣4），∵tan∠OF1F2＝＝＝，∴∠OF1F2＝60°，∴点F运动所形成的图象是一条射线F2F1，∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，设直线F1F2的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线F1F2的解析式为y＝x﹣4，∵AO＝F2O＝4，AO⊥P1F1，∴F1F2＝AF1＝，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则×OF1×OF2＝×F1F2×h，∴××4＝××h，解得h＝2，即线段OF的最小值为2；方法二：如图，在第二象限作等边三角形AOB，连接BP、AF，过点B作BP′⊥x轴于点P′，∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF＝60°，PF＝PA，∴△APF是等边三角形，∴AP＝AF，∠PAF＝60°，∵△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝OB＝4，∠BAO＝60°，∴∠BAP＝60°+∠OAP＝∠OAF，在△BAP和△OAF中，，∴△BAP≌△OAF（SAS），∴BP＝OF，∵P是x轴上一动点，∴当BP⊥x轴时，BP最小，即点P与点P′重合时BP＝BP′最小，∵∠BOP′＝30°，∠BP′O＝90°，∴BP′＝OB＝×4＝2，∴OF的最小值为2，故答案为2．14．(2023•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝30°，FB+FD的最小值为5．分析：首先证明△BAE≌△BCF（SAS），推出∠BAE＝∠BCF＝30°，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF于点F′，连接DF′，此时BF′+DF′的值最小，最小值＝线段BG的长．【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，AD⊥CB，∴∠BAE＝∠BAC＝30°，∵△BEF是等边三角形，∴∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF，∴∠ABE＝∠CBF，在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠BCF＝30°，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF的延长线于点F′，连接DF′，此时BF′+DF′的值最小，最小值＝线段BG的长．∵∠DCF＝∠FCG＝30°，∴∠DCG＝60°，∵CD＝CG＝5，∴△CDG是等边三角形，∴DB＝DC＝DG，∴∠CGB＝90°，∴BG＝＝＝5，∴BF+DF的最小值为5，故答案为：30°，5．15．(2023•黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是．分析：连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F＝OF，连接O′E交直线AB于点P，连接OP，从而可得OP＝O′P，此时OP+PE的值最小，先利用菱形的性质可得AD＝AB＝3，∠BAC＝∠BAD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，∠AOD＝90°，从而可得△ADB是等边三角形，进而求出AD＝3，然后在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO的长，从而求出AC的长，进而利用直角三角形斜边上的中线可得OE＝OA＝AC＝，再利用角平分线和等腰三角形的性质可得OE∥AB，从而求出∠EOF＝90°，进而在Rt△AOF中，利用锐角三角函数的定义求出OF的长，即可求出OO′的长，最后在Rt△EOO′中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F＝OF，连接O′E交直线AB于点P，连接OP，∴AP是OO′的垂直平分线，∴OP＝O′P，∴OP+PE＝O′P+PE＝O′E，此时，OP+PE的值最小，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝3，∠BAC＝∠BAD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，∠AOD＝90°，∵∠BAD＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD＝AD＝3，∴OD＝BD＝，∴AO＝＝＝，∴AC＝2OA＝3，∵CE⊥AH，∴∠AEC＝90°，∴OE＝OA＝AC＝，∴∠OAE＝∠OEA，∵AE平分∠CAB，∴∠OAE＝∠EAB，∴∠OEA＝∠EAB，∴OE∥AB，∴∠EOF＝∠AFO＝90°，在Rt△AOF中，∠OAB＝∠DAB＝30°，∴OF＝OA＝，∴OO′＝2OF＝，在Rt△EOO′中，O′E＝＝＝，∴OP+PE＝，∴OP+PE的最小值为，故答案为：．16．(2023•阜新）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；（2）直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．分析：（1）根据SAS证明三角形全等即可；（2）①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；②作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，证明△BMG是等腰直角三角形，求出BM的最小值，可得结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°．∵DE＝DF，∠EDF＝90°．∴∠ADC＝∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF（SAS）；（2）①证明：如图2中，设AG与CD相交于点P．∵∠ADP＝90°，∴∠DAP+∠DPA＝90°．∵△ADE≌△CDF，∴∠DAE＝∠DCF．∵∠DPA＝∠GPC，∴∠DAE+∠DPA＝∠GPC+∠GCP＝90°．∴∠PGN＝90°，∵BM⊥AG，BN⊥GN，∴四边形BMGN是矩形，∴∠MBN＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠MBN＝90°．∴∠ABM＝∠CBN．又∵∠AMB＝∠BNC＝90°，∴△AMB≌△CNB．∴MB＝NB．∴矩形BMGN是正方形；②解：作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，此时△AMB≌△AHD．∴BM＝AH．∵AH2＝AD2﹣DH2，AD＝4，∴DH最大时，AH最小，DH最大值＝DE＝2．∴BM最小值＝AH最小值＝．由（2）①可知，△BGM是等腰直角三角形，∴BG最小值＝．17．(2023•镇江）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上．（1）如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH＝AB；（2）如图2，已知AE＝AH，CF＝CG，当AE、CF的大小有AE＝CF关系时，四边形EFGH是矩形；（3）如图3，AE＝DG，EG、FH相交于点O，OE：OF＝4：5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为20，当△OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．分析：（1）证明△AEH≌△BFE（AAS），推出AH＝BE，可得结论；（2）当AE＝CF时，四边形EFGH是矩形．根据有三个角是直角的四边形是矩形证明即可；（3）如图3中，过点H作HM⊥BC于点M．，交EG于点N．ZM四边形AEGD是平行四边形，推出AD∥EG，EG∥BC，可得＝，设OE＝4x．OF＝5x，HN＝h，则＝，可得h＝4（4﹣x），可得S＝•OE•HN＝×4x×4（4﹣x）＝﹣8（x﹣2）2+32，可知x＝2时，△OEH的面积最大，求出OE，OG，OH，OF的长，可得结论．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠AEH+∠AHE＝90°，∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝EF，∠HEF＝90°，∴∠AEH+∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠AHE，在△AEH和△BFE中，，∴△AEH≌△BFE（AAS），∴AH＝BE，∴AE+AH＝AE+BE＝AB；（2）解：当AE＝CF时，四边形EFGH是矩形．理由：如图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵AE＝AH＝CF＝CG，∴BE＝BF，DH＝DG，∴∠AEH＝∠BEF＝45°，∴∠HEF＝90°同法可证，∠EHG＝90°，∠EFG＝90°，∴四边形EFGH是矩形．故答案为：AE＝CF；（3）解：结论：四边形EFGH是平行四边形．理由：如图3中，过点H作HM⊥BC于点M．，交EG于点N．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵AE＝DG，AE∥DG，∴四边形AEGD是平行四边形，∴AD∥EG，∴EG∥BC，∴＝，∵OE：OF＝4：5，设OE＝4x．OF＝5x，HN＝h，则＝，∴h＝4（4﹣x），∴S＝•OE•HN＝×4x×4（4﹣x）＝﹣8（x﹣2）2+32，∵﹣8＜0，∴x＝2时，△OEH的面积最大，∴OE＝4x＝8＝EG＝OG，OF＝5x＝10＝HF＝OH，∴四边形EFGH是平行四边形．【中考模拟练】1．（2023•西乡塘区校级模拟）如图，在边长为的4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为​（）A． B． C． D．分析：连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF+DE＝AE+DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．【解答】解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，HB＝AB＝4，所以AE+DE＝DH．在Rt△ADH中，AH＝8，DH＝，∴BF+DE最小值为4．故选：D．2．（2023·蚌埠二模）如图，M为Rt△ABC斜边AB上的中点，等腰△MBD的底边BD与AC交于点P，若∠A＝30°，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．3分析：由题意可知A，D，B，C在以点M为圆心的圆上，且AB为直径，过点D作DN⊥AC，可得△DPN∽△BPC，则，则当DN最最大值时，即取最小值，即当点D在的中点时，亦即DN经过圆心（DM⊥AC）时，点D到弦AC的距离最大，如图，设BC＝a，利用含30°的直角三角形可得，此时，，即可得的最小值为2．【解答】解：∵M为Rt△ABC斜边AB上的中点，等腰△MBD的底边BD与AC交于点P，∴AM＝BM＝DM，∠C＝90°，∴A，D，B，C在以点M为圆心的圆上，且AB为直径，过点D作DN⊥AC，则∠DNP＝∠C＝90°，∵∠DPN＝∠BPC，∴△DPN∽△BPC，∴，由题意可知，BC为长度不发生变化，则当DN最最大值时，即取最小值，即：当点D在的中点时，亦即DN经过圆心（DM⊥AC）时，点D到弦AC的距离最大，如图，设BC＝a，∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴AB＝2a，AM＝BM＝DM＝a，∵DM⊥AC，∴，则，此时，，综上，的最小值为2；故选：C．3．（2023•梁溪区一模）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝150°，∠DCB＝60°，DC＝CB．若AB＝4，则AC的最大值是（）A． B． C． D．分析：根据题意可得∠ADB＝90°，再根据直角三角形斜边中线的性质解得，以AB为边作等边△ABE，连接EF，DE，由勾股定理解得EF的长，继而证明△DBE≌△CBA，由全等三角形对应边相等得到DE＝AC，最后根据三角形三边关系即可求解．【解答】解：取AB的中点F，连接DF，∵∠DCB＝60°，BC＝CD，∴△BCD为等边三角形，∴∠BDC＝∠DBC＝∠BCD＝60°，BC＝BD＝CD，∵∠ADC＝150°，AB＝4，∴，以AB为边作等边△ABE，如图，连接EF，DE，则AE＝BE＝AB＝4，∵F为AB中点，∴，∴，∵∠ABE＝60°，∴∠DBE＝∠ABD+60°＝∠ABC，∵BD＝BC，BE＝AB，∵BD＝BC，BE＝AB，∴△DBE≌△CBA（SAS），∴DE＝AC，∵DF+EF≥DE，∴当且仅当DE过点F时，AC最长，此时，故A正确．故选：A．4．（2023•合肥模拟）动点P在等边△ABC的边AC上，AB＝2，连接PB，AD⊥PB于D，以AD为一边作等边△ADE，ED的延长线交BC于F，当EF取最大值时，PB的长为（）A．2 B． C． D．分析：分别连接AF，EC，作CG∥BD，交EF的延长线于G，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到∠AEC＝∠ADB＝90°，CE＝BD；证明△BDF≌△CGF，则BF＝FC，利用等腰三角形的三线合一性质得到∠AFC＝90°，从而得到A，F，C，E四点共圆，利用圆中最长的弦为直径得到当EF取最大值时，则EF等于直径AC，利用勾股定理即可求得结论．【解答】解：如图，分别连接AF，EC，作CG∥BD，交EF的延长线于G，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，BD＝CE，∵AD⊥PB，∴∠ADB＝90°，∴∠AEC＝90°．∵∠AED＝60°，∴∠CED＝30°，∵CG∥BD，∴∠G＝∠FDB＝30°，∴∠G＝∠CEG＝30°，∴CG＝CE，∴BD＝CG．在△BDF和△CGF中，，∴△BDF≌△CGF（AAS），∴BF＝FC，∵AB＝AC，∴点F为BC中点，∴AF⊥BC，∴∠AFC＝90°，∴∠AFC+∠AEC＝180°，∴A，F，C，E四点共圆，∴当EF取最大值时，则EF等于直径AC，此时P为AC中点，AP⊥AC，∴AP＝PC＝1．∵AB＝2，∴PB＝＝．故选：C．5．(2023•播州区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上滑动，点B在第一象限，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，连接OB，则线段OB长度的最大值为（）A． B． C． D．6分析：连接AC，取AC的中点D，连接OD，BD，证明△ABC是等边三角形，得BD＝AD＝3，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得OD＝AC＝3，当点O，D，B三点共线时，线段OB最大，可得OB的最大值＝BD+OD＝3+3．【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点D，连接OD，BD，∵AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵D是AC的中点，∴BD⊥AC，∴AD＝AB＝3，∴BD＝AD＝3，∵∠AOC＝90°，D是AC的中点，∴OD＝AC＝3，当点O，D，B三点共线时，线段OB最大，∴OB的最大值＝BD+OD＝3+3．故选：A．6．（2023春•河东区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.8分析：连接AD．由勾股定理可求出BC＝10，又易证四边形AMDN为矩形，即得出AD＝MN，说明当AD最小时，MN最小．又可知当AD⊥BC时，AD最小，结合等积法求出AD的值，即可求出线段MN的最小值．【解答】解：如图，连接AD．∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，∴．∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴四边形AMDN为矩形，∴AD＝MN，∴当AD最小时，MN最小．当AD⊥BC时，AD最小，此时S△ABC＝AB•AC＝AD•BC，∴6×8＝10AD，∴AD＝4.8，∴线段MN的最小值为4.8．故选：D．7．（2023春•硚口区期中）如图，已知点A（0，8），B（0，﹣2），E（0，5），F（﹣5，0），C为直线EF上一动点，则▱ACBD的对角线CD的最小值是（）A． B．4 C．5 D．分析：利用待定系数法求出直线EF的解析式为y＝x+5，设C（x，x+5），根据平行四边形的性质得D（﹣x，1﹣x），由勾股定理可得CD2＝（2x）2+（1﹣x﹣x﹣5）2＝8（x+1）2+8，根据非负数的性质可得CD2的最小值是8，即可得CD的最小值．【解答】解：设直线EF的解析式为y＝kx+b，∵E（0，5），F（﹣5，0），∴，解得，∴直线EF的解析式为y＝x+5，设C（x，x+5），∵四边形ACBD是平行四边形，A（0，8），B（0，﹣2），∴D（﹣x，1﹣x），∴CD2＝（2x）2+（1﹣x﹣x﹣5）2＝8（x+1）2+8，∴CD2的最小值是8，∴CD的最小值是＝2．故选：A．8．（2023•黄埔区一模）△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，动点D在边BC上运动．以A为直角顶点，在AD右侧作等腰直角三角形△ADE（如图）．M为DE中点，N为BC三等分点，，连接MN，则线段MN的最小值为1．分析：连接CE，证明△ABD≌△ACE（SAS），可得∠ACE＝∠B＝45°，CE＝BD，证明CE⊥BD，得出点E始终在过点C垂直于BC的射线上，当BD＝BC＝2时，MN最小，根据三角形中位线定理可得MN＝CE，结合已知条件即可得线段MN的最小值．【解答】解：如图，连接CE，∵△ABC、△ADE为等腰直角三角形，AB＝AC＝6，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，∴∠BAD＝90°﹣∠DAC＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°，CE＝BD，∵∠ACB＝∠B＝45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，∴CE⊥BD，因为点D在BC上运动，所以点M在直线上运动，当BD＝BC＝2时∵N为BC三等分点，，此时MN∥CE，∵M为DE中点，∴N为CD中点，∴MN＝CE＝1，故答案为：1．9．（2023•长丰县二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，M，N分别是BC，CD上的动点，连接AM，BN交于点E，且∠BND＝∠AMC．（1）∠AEB＝90°．（2）连接CE，则CE的最小值为2．分析：（1）由∠BND＝∠AMC，∠BND+∠BNC＝180°推出∠NEM+∠NCM＝180°，最后利用矩形的性质即可得解；（2）先确定E点的运动路径是个圆，再利用圆的知识和两点这间线段最短确定CE最短长度，然后利用勾股定理即可得解．【解答】解：（1）∵∠BND＝∠AMC，∠BND+∠BNC＝180°，∴∠BNC+∠AMC＝180°，∴∠NEM+∠NCM＝180°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∠NEM＝90°，∴∠AEB＝90°，故答案为：90°．（2）∵∠AEB＝90°，点E在以AB为直径的圆上，设AB的中点为O，则当O，E，C三点共线时，CE的值最小，此时CE＝OC﹣OE＝OC﹣OB，∵AB＝6，BC＝4，∴，∴，∴CE＝OC﹣OB＝2，故答案为：2．10．（2023春•通州区期中）如图，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，点M，N分别是AC，BE的中点．若AB＝12，∠DAP＝60°，则线段MN的最小值为3．分析：连接PM、PN．首先证明∠MPN＝90°设PA＝2a，则PB＝12﹣2a，PM＝a，PN＝（6﹣a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：连接PM、PN．∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°，∴∠MPN＝60°+30°＝90°，设PA＝2a，则PB＝12﹣2a，PM＝a，PN＝（6﹣a），∴MN＝＝＝，∴a＝4.5时，MN有最小值，最小值为3，故答案为：3．11．（2023•临朐县一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A（2，m）与点B（4，2）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使得AP+BP最小，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）把B点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；（2）△AOB的面积＝△BOD的面积﹣△AOD的面积；（3）首先求得点B关于x轴的对称点的坐标，然后求得直线AB′的解析式后求得其与x轴的交点即可求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过B（4，2），∴k＝4×2＝8，∴反比例函数的表达式为y＝，∵点A（2，m）在y＝上，∴m＝4，∴A点坐标为（2，4）；把A，B两点的坐标代入y＝ax+b，得，解得，∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+6；（2）当x＝0时，y＝﹣x+6＝6，∴D点坐标为（0，6），∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD＝＝6，即△AOB的面积为6；（3）在x轴上存在点P，使得AP+PB最小．作点B（4，2）关于x轴的对称点B′（4，﹣2），如图，连接AB′．设直线AB'的解析式为：y＝a′x+b′，∴，解得，∴直线AB'的解析式为：y＝﹣3x+10，令y＝0，解得x＝，∴P（，0）可使AP+BP最小．12．（2023•鄞州区一模）如图1，有一块边角料ABCDE，其中AB，BC，DE，EA是线段，曲线CD可以看成反比例函数图象的一部分．小宁想利用这块边角料截取一个面积最大的矩形MNQP，其中M，N在AE上（点M在点N左侧），点P在线段BC上，点Q在曲线CD上．测量发现：∠A＝∠E＝90°，AE＝5，AB＝DE＝1，点C到AB，AE所在直线的距离分别为2，4．（1）小宁尝试建立坐标系来解决该问题，通过思考，他把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为（﹣1，0）；点B的坐标为（﹣1，1）．请你在图2中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE；（2）求直线BC，曲线CD的解析式；（3）求矩形MNQP的最大面积．分析：（1）由题意即可如图；（2）用待定系数法即可求解；（3）设点P坐标为，得到点Q坐标为，进而求解．【解答】解：（1）由题意，如图如下：（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得：，则直线BC的解析式为：，设曲线的表达式为：y＝，由点C（1，4）得曲线CD的解析式得：m＝4×1＝4，则反比例函数的表达式为：；（3）如图，设点M的横坐标为m，则点P坐标为，∴．∵四边形MNQP是矩形，∴，∴点Q坐标为，设矩形MNQP的面积为S．则，∴当时，矩形MNQP的面积的最大值为．13．（2023春•思明区校级期中）已知O为坐标原点，A，B分别在y轴、x轴正半轴上，D是x轴正半轴上一动点，AD＝DE，∠ADE＝α，矩形AOBC的周长为24且AC＝2BC．（1）如图1，当α＝90°时．直线CE交x轴于点F，求证：F为OB中点；（2）如图2，当α＝60°时，若D是OB中点，求E点坐标；（3）如图3，当