2025届江苏省南京玄武区十三中学集团科利华九年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

2025届江苏省南京玄武区十三中学集团科利华九年级数学第一学期期末学业水平测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列说法正确的是（）A．所有菱形都相似 B．所有矩形都相似C．所有正方形都相似 D．所有平行四边形都相似2．如图，，相交于点，．若，，则与的面积之比为（）A． B． C． D．3．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．144（1﹣x）2=100 B．100（1﹣x）2=144 C．144（1+x）2=100 D．100（1+x）2=1444．把抛物线y=ax2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x+3，则b+c的值为（）A．9 B．12 C．-14 D．105．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设，，下列式子中正确的是（）A． B．；C． D．．6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则函数值y随x值的增大而减小时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞27．在一块半径为的圆形钢板中裁出一个最大的等边三角形，此等边三角形的边长（）A． B． C． D．8．如图，函数的图象与轴的一个交点坐标为(3,0)，则另一交点的横坐标为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣19．已知关于x的方程x2﹣3x+2k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞ B．k＜ C．k＜﹣ D．k＜10．已知函数的图象过点，则该函数的图象必在（）A．第二、三象限 B．第二、四象限C．第一、三象限 D．第三、四象限二、填空题(每小题3分,共24分)11．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4,0），B（3,0）两点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是_____．12．如图，将Rt△ABC（其中∠B＝30°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点B、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于_____．13．如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝_____.14．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为_____．15．某游乐园的摩天轮(如图1)有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中可以俯瞰美景，图2是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心顺时针方向转动，转一圈为分钟．从小刚由登舱点进入摩天轮开始计时，到第12分钟时，他乘坐的座舱到达图2中的点_________处(填，，或)，此点距地面的高度为_______m．16．用配方法解方程x2﹣2x﹣6＝0，原方程可化为_____．17．如图，矩形ABCD的顶点A、B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝(k≠0)在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB＝4，CE＝2BE，tan∠AOD＝，则k的值_____．18．如图，△ABC周长为20cm，BC=6cm,圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为________cm.三、解答题(共66分)19．（10分）如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是DC上的一动点，过点作EF⊥AE，交BC于点F，连结AF.（1）证明：△ADE∽△ECF；（2）若△ADE的周长与△ECF的周长之比为4：3，求BF的长.20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点运动到点停止，设运动时间为，过点作轴的垂线，交直线于点,交抛物线于点．连接，是线段的中点，将线段绕点逆时针旋转得线段．（1）求抛物线的解析式；（2）连接，当为何值时，面积有最大值，最大值是多少？（3）当为何值时，点落在抛物线上．21．（6分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O交BD于E．（1）如图1，当PB＝3时，求PA的长以及⊙O的半径；（2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠PAD；（3）当AE与△ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O的半径．22．（8分）如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．(1)求出抛物线的解析式；(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．（8分）（1）x2﹣2x﹣3＝0（2）cos45°•tan45°+tan30°﹣2cos60°2sin45°24．（8分）已知如图所示，点到、、三点的距离均等于（为常数），到点的距离等于的所有点组成图形.射线与射线关于对称，过点C作于.（1）依题意补全图形（保留作图痕迹）；（2）判断直线与图形的公共点个数并加以证明.25．（10分）一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球，把它们分别标号为，，，．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个．请用画树状图和列表的方法，求下列事件的概率：（1）两次取出的小球标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于1．26．（10分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向点D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG．（1）求证：；（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值；（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时有？

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】根据相似多边形的定义一一判断即可．【详解】A．菱形的对应边成比例，对应角不一定相等，故选项A错误；B．矩形的对应边不一定成比例，对应角一定相等，故选项B错误；C．正方形对应边一定成比例，对应角一定相等，故选项C正确；D．平行四边形对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故选项D错误．故选：C．【点睛】本题考查了相似多边形的判定，解答本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2、B【分析】先证明两三角形相似,再利用面积比是相似比的平方即可解出.【详解】∵AB∥CD,∴∠A=∠D,∠B=∠C,∴△ABO∽△DCO,∵AB=1,CD=2,∴△AOB和△DCO相似比为:1:2.∴△AOB和△DCO面积比为:1:4.故选B.【点睛】本题考查相似三角形的面积比,关键在于牢记面积比和相似比的关系.3、D【解析】试题分析：2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．解：2012年的产量为100（1+x），2013年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，即所列的方程为100（1+x）2=144，故选D．点评：考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键．4、B【解析】y=x2-2x+3=(x-1)2+2，将其向上平移2个单位得：y=(x-1)2+2+2=(x-1)2+4，再向左平移3个单位得：y=(x-1+3)2+4=(x-1+3)2+4=(x+2)2+4=x2+4x+8，所以b=4，c=8，所以b+c=12，故选B.5、C【分析】由平行四边形性质，得，由三角形法则，得到，代入计算即可得到答案.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∵，，在△OAB中，有，∴，∴；故选择：C.【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．6、A【分析】首先根据抛物线与坐标轴的交点确定对称轴，然后根据其开口方向确定当x满足什么条件数值y随x值的增大而减小即可．【详解】∵二次函数的图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1、3，∴AB中点坐标为（1，0），而点A与点B是抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵开口向上，∴当x＜1时，y随着x的增大而减小，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及判断方法是解题的关键．7、D【分析】画出图形，作于点，利用垂径定理和等边三角形的性质求出AC的长即可得出AB的长.【详解】解：依题意得，连接，，作于点，∵，∴，，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查了圆的内接多边形，和垂径定理的使用，弄清题意准确计算是关键.8、D【分析】根据到函数对称轴距离相等的两个点所表示的函数值相等可求解．【详解】根据题意可得：函数的对称轴直线x=1，则函数图像与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)．故横坐标为-1,故选D考点：二次函数的性质9、B【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4•2k＞0，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4•2k＞0，解得k＜．故选：B．【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的情况，解题的关键是熟知根的判别式．10、B【解析】试题分析：对于反比例函数y=，当k>0时，函数图像在一、三象限；当k<0时，函数图像在二、四象限.根据题意可得：k=－2.考点：反比例函数的性质二、填空题(每小题3分,共24分)11、﹣4或1．【分析】根据二次函数与轴的交点的横坐标即为一元二次方程根的性质，即可求得方程的解.【详解】抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4,0），B（1,0）两点，则ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣4或1，故答案为：﹣4或1．【点睛】本题考查二次函数与轴的交点和一元二次方程根的关系，属基础题.12、180°【分析】根据旋转的性质可直接判定∠BAB1等于旋转角，由于点B、A、B1在同一条直线上，可知旋转角为180°．【详解】解：由旋转的性质定义知，∠BAB1等于旋转角，∵点B、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB1为平角，∴∠BAB1＝180°，故答案为：180°．【点睛】此题考查是旋转的性质，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．13、1.【分析】根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答即可．【详解】解：∵在⊙O中，，AB＝1，

∴AC=AB=1．

故答案为1．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．14、25【解析】试题解析：由题意15、C78【分析】根据转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了圈，即可确定出座舱到达了哪个位置；再利用垂径定理和特殊角的锐角三角函数求点离地面的高度即可.【详解】∵转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了圈∴乘坐的座舱到达图2中的点C处如图，连接BC,OC,OB,作OQ⊥BC于点E由图2可知圆的半径为44m，即∵OQ⊥BC∴∴∴∴点C距地面的高度为m故答案为C,78【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握垂径定理及特殊角的锐角三角函数是解题的关键.16、（x﹣1）2＝1【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形后，即可得到结果．【详解】解：方程变形得：x2﹣2x＝6，配方得：x2﹣2x+1＝1，即（x﹣1）2＝1．故答案为：（x﹣1）2＝1．【点睛】本题考查了配方法求解方程,属于简单题,熟悉配方的方法是解题关键.17、1【解析】由tan∠AOD＝，可设AD＝1a、OA＝4a，在表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．【详解】解：∵tan∠AOD＝＝，∴设AD＝1a、OA＝4a，则BC＝AD＝1a，点D坐标为（4a，1a），∵CE＝2BE，∴BE＝BC＝a，∵AB＝4，∴点E（4+4a，a），∵反比例函数经过点D、E，∴k＝12a2＝（4+4a）a，解得：a＝或a＝0（舍），∴D（2，）则k＝2×＝1．故答案为1．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．18、8【分析】先作出辅助线,连接切点,利用内切圆的性质得到BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,再利用等量代换即可解题.【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，MN是圆O的切线,如下图,连接各切点,有切线长定理易得,BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,∵△ABC周长为20cm,BC=6cm,∴BC=CE+BE=CG+BF=6cm,∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+FM+GN=AF+AG,又∵AF+AG=AB+AC-(BF+CG)=20-6-6=8cm故答案是8【点睛】本题考查了三角形内接圆的性质,切线长定理的应用,中等难度,熟练掌握等量代换的方法是解题关键.三、解答题(共66分)19、（1）详见解析；（2）6.5.【分析】（1）根据正方形的性质证明∠FEC=∠DAE，即可求解；（2）根据周长比得到相似比，故，求出FC，即可求解.【详解】解：(1)∵四边形ABCD是正方形∴∠C=∠D=90°,AD=DC=8,∵EF⊥AC，∴∠AEF=90°,∴∠AED+∠FED=90°在Rt△ADE中，∠DAE+∠AED=90°∴∠FEC=∠DAE∴△DAE∽△FEC(2)∵△DAE∽△FEC∴∵△ADE的周长与△ECF的周长之比为4：3∴△ADE的边长与△ECF的边长之比为4：3即∵AD=8,∴EC=6∴DE=8-6=2∴∴FC=1.5∴DF=8-1.5=6.5【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知正方形的性质及相似三角形的判定定理.20、（1）；（2）当时，面积的最大值为16；（3）【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先用待定系数法求出直线AB的解析式，然后根据点P的坐标表示出Q,D的坐标，进一步表示出QD的长度，从而利用面积公式表示出的面积，最后利用二次函数的性质求最大值即可；（3）分别过点作轴的垂线，垂足分别为，首先证明≌，得到，然后得到点N的坐标，将点N的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出t的值，注意t的取值范围．【详解】（1）∵抛物线过点，∴解得所以抛物线的解析式为：；（2）设直线AB的解析式为，将代入解析式中得,解得∴直线AB解析式为．∵，，∴，∴，∴当时，面积的最大值为16；（3）分别过点作轴的垂线，垂足分别为，．在和中，，∴≌，∴．∵，．当点落在抛物线上时，.∴,，∴．【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法，全等三角形的判定及性质，二次函数的性质是解题的关键．21、（1）PA的长为，⊙O的半径为；（2）见解析；（3）⊙O的半径为2或或【分析】（1）过点A作BP的垂线，作直径AM，先在Rt△ABH中求出BH，AH的长，再在Rt△AHP中用勾股定理求出AP的长，在Rt△AMP中通过锐角三角函数求出直径AM的长，即求出半径的值；（2）证∠APB＝∠PAD＝2∠PAE，即可推出结论；（3）分三种情况：当AE⊥BD时，AB是⊙O的直径，可直接求出半径；当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，通过证△BFE∽△DAE，求出BE的长，再证△OBE是等边三角形，即得到半径的值；当AE⊥AB时，过点D作BC的垂线，通过证△BPE∽△BND，求出PE，AE的长，再利用勾股定理求出直径BE的长，即可得到半径的值．【详解】（1）如图1，过点A作BP的垂线，垂足为H，作直径AM，连接MP，在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝2，AH＝AB•sin60°＝2，∴HP＝BP﹣BH＝1，∴在Rt△AHP中，AP＝＝，∵AB是直径，∴∠APM＝90°，在Rt△AMP中，∠M＝∠ABP＝60°，∴AM＝＝＝，∴⊙O的半径为，即PA的长为，⊙O的半径为；（2）当∠APB＝2∠PBE时，∵∠PBE＝∠PAE，∴∠APB＝2∠PAE，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠APB＝∠PAD，∴∠PAD＝2∠PAE，∴∠PAE＝∠DAE，∴AE平分∠PAD；（3）①如图3﹣1，当AE⊥BD时，∠AEB＝90°，∴AB是⊙O的直径，∴r＝AB＝2；②如图3﹣2，当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，∵AD∥BC，∴AF⊥BC，△BFE∽△DAE，∴＝，在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，∴AF＝AB•sin60°＝2，BF＝AB＝2，∴＝，∴EF＝，在Rt△BFE中，BE＝＝＝，∵∠BOE＝2∠BAE＝60°，OB＝OE，∴△OBE是等边三角形，∴r＝；③当AE⊥AB时，∠BAE＝90°，∴AE为⊙O的直径，∴∠BPE＝90°，如图3﹣3，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点N，延开PE交AD于点Q，在Rt△DCN中，∠DCN＝60°，DC＝4，∴DN＝DC•sin60°＝2，CN＝CD＝2，∴PQ＝DN＝2，设QE＝x，则PE＝2﹣x，在Rt△AEQ中，∠QAE＝∠BAD﹣BAE＝30°，∴AE＝2QE＝2x，∵PE∥DN，∴△BPE∽△BND，∴＝，∴＝，∴BP＝10﹣x，在Rt△ABE与Rt△BPE中，AB2+AE2＝BP2+PE2，∴16+4x2＝（10﹣x）2+（2﹣x）2，解得，x1＝6（舍），x2＝，∴AE＝2，∴BE＝＝＝2，∴r＝，∴⊙O的半径为2或或．【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的基本性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质.22、(1)y＝－x2＋x－2;(2)点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).【解析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似，分两种情况讨论计算即可.【详解】解：(1)∵该抛物线过点C(0，－2)，∴可设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－2.将A(4，0)，B(1，0)代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为.(2)存在，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为－m2＋m－2，当1＜m＜4时，AM＝4－m，PM＝－m2＋m－2.又∵∠COA＝∠PMA＝90°，∴①当＝＝时，△APM∽△ACO，即4－m＝2(－m2＋m－2)．解得m1＝2，m2＝4(舍去)，∴P(2，1)．②当＝＝时，△APM∽△CAO，即2(4－m)＝－m2＋m－2.解得m1＝4，m2＝5(均不合题意，舍去)，∴当1＜m＜4时，P(2，1)．类似地可求出当m＞4时，P(5，－2)．当m＜1时，P(－3，－14)或P(0，－2)，综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).【点睛】本题考查的知识点是二次函数综合题，解题的关键是熟练的掌握二次函数综合题.23、（1）x1＝3，x2＝﹣1；（2）1﹣【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1．（2）原式＝×1+×﹣2××2×＝+1﹣＝1﹣【点睛】此题考查的是解一元二次方程和特殊角的锐角三角函数值，掌握用因式分解法解一元二次方程和各个特殊角的锐角三角函数值是解决此题的关键．24、（1）补全图形见解析；（2）直线与图形有一个公共点，证明见解析.【分析】（1）根据题意可知，点O为△ABC的外心，作AC、BC的垂直平分线，交点为O，然后做出圆O，AC为∠OAM的角平分线，过C作于F，即可得到图形；（2）连接OC，由AC平分∠OAM，则，然后证明，由，得到，得到CF是圆O的切线，即可得到结论.【详解】解：（1）依题意补全图形，如图，（2）如图，直线与图形有一个公共点证明：连接，∵射线与射线关于对称，∴AC平分∠OAM，∴，∵，∴，∴，∴，∵于∴，