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台州市重点中学2025届数学九上期末教学质量检测试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每题4分,共48分)1.已知点P(a+1,)关于原点的对称点在第四象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.2.已知抛物线(其中是常数,)的顶点坐标为.有下列结论:①若,则;②若点与在该抛物线上,当时,则;③关于的一元二次方程有实数解.其中正确结论的个数是()A. B. C. D.3.如图,在矩形中,.将向内翻折,点落在上,记为,折痕为.若将沿向内翻折,点恰好落在上,记为,则的长为()A. B. C. D.4.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则m的值可能是()A.3 B.2 C.1 D.05.数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高.课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米,同一时刻测量树高时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的台阶上,且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处,他们测得落在地面的影长为1.1米,台阶总的高度为1.0米,台阶水平总宽度为1.6米.则树高为()A.3.0m B.4.0m C.5.0m D.6.0m6.木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是()A. B.C. D.7.如果,那么锐角A的度数是()A.60° B.45° C.30° D.20°8.如图,在圆内接四边形ABCD中,∠A:∠C=1:2,则∠A的度数等于()A.30° B.45° C.60° D.80°9.小李与小陈做猜拳游戏,规定每人每次至少要出一个手指,两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜,那么,小李获胜的概率为()A. B. C. D.10.(2011•陕西)下面四个几何体中,同一个几何体的主视图和俯视图相同的共有()A、1个 B、2个C、3个 D、4个11.如图,△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,且点D,E分别是AC,AB的中点,若作半径为3的⊙C,则下列选项中的点在⊙C外的是()A.点B B.点D C.点E D.点A12.如图,太阳在房子的后方,那么你站在房子的正前方看到的影子为()A.B.C.D.二、填空题(每题4分,共24分)13.如图,ABCD是平行四边形,AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,AD=OA=2,则图中阴影部分的面积为______.14.若=,则的值为______.15.已知二次函数y=x2﹣2mx(m为常数),当﹣1≤x≤2时,函数值y的最小值为﹣2,则m的值是_____.16.如图,在的同侧,,点为的中点,若,则的最大值是_____.17.__________.18.如图,等边△ABO的边长为2,点B在x轴上,反比例函数图象经过点A,将△ABO绕点O顺时针旋转a(0°<a<360°),使点A仍落在双曲线上,则a=_____.三、解答题(共78分)19.(8分)如图,在ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AE·AB=AD·AC,连接DE,BD.(1)求证:ADE~ABC.(2)若点E为AB为中点,AD:AE=6:5,ABC的面积为50,求BCD面积.20.(8分)一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球,把它们分别标号为,,,.随机摸取一个小球然后放回,再随机摸取一个.请用画树状图和列表的方法,求下列事件的概率:(1)两次取出的小球标号相同;(2)两次取出的小球标号的和等于1.21.(8分)若关于x的方程有两个相等的实数根(1)求b的值;(2)当b取正数时,求此时方程的根,22.(10分)如图,平行四边形ABCD的顶点A在y轴上,点B、C在x轴上;OA、OB长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根,且OA>OB,BC=6;(1)写出点D的坐标;(2)若点E为x轴上一点,且S△AOE=,①求点E的坐标;②判断△AOE与△AOD是否相似并说明理由;(3)若点M是坐标系内一点,在直线AB上是否存在点F,使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出F点的坐标;若不存在,请说明理由.23.(10分)数学实践小组的同学利用太阳光下形成的影子测量大树的高度.在同一时刻下,他们测得身高为1.5米的同学立正站立时的影长为2米,大树的影子分别落在水平地面和台阶上.已知大树在地面的影长为2.4米,台阶的高度均为3.3米,宽度均为3.5米.求大树的高度.24.(10分)我市要选拔一名教师参加省级评优课比赛:经笔试、面试,结果小潘和小丁并列第一,评委会决定通过摸球来确定人选.规则如下:在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2个红球和1个蓝球,小潘先取出一个球,记住颜色后放回,然后小丁再取出一个球.若两次取出的球都是红球,则小潘胜出;若两次取出的球是一红一蓝,则小丁胜出.你认为这个规则对双方公平吗?请用列表法或画树状图的方法进行分析.25.(12分)如图,为的直径,、为上两点,,,垂足为.直线交的延长线于点,连接.(1)判断与的位置关系,并说明理由;(2)求证:.26.已知:如图,AB为⊙O的直径,OD∥AC.求证:点D平分.
参考答案一、选择题(每题4分,共48分)1、C【解析】试题分析:∵P(,)关于原点对称的点在第四象限,∴P点在第二象限,∴,,解得:,则a的取值范围在数轴上表示正确的是.故选C.考点:1.在数轴上表示不等式的解集;2.解一元一次不等式组;3.关于原点对称的点的坐标.2、C【分析】利用二次函数的性质一一进行判断即可得出答案.【详解】解:①抛物线(其中是常数,)顶点坐标为,,,,∴c>>0.故①小题结论正确;②顶点坐标为,点关于抛物线的对称轴的对称点为点与在该抛物线上,,,,当时,随的增大而增大,故此小题结论正确;③把顶点坐标代入抛物线中,得,一元二次方程中,,关于的一元二次方程无实数解.故此小题错误.故选:C.【点睛】本题是一道关于二次函数的综合性题目,具有一定的难度,需要学生熟练掌握二次函数的性质并能够熟练运用.3、B【分析】首先根据矩形和翻折的性质得出△AED≌△A'ED,△A'BE≌△A'B'E,∠A'B'E=∠B=∠A'B'D=90°,∠AED=∠A'ED,∠A'EB=∠A'EB',BE=B'E,进而得出∠AED=∠A'ED=∠A'EB=60°,∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°,判定△DB'A'≌△DCA',DC=DB',得出AE,设AB=DC=x,利用勾股定理构建方程,即可得解.【详解】∵四边形ABCD为矩形,∴∠ADC=∠C=∠B=90°,AB=DC,由翻折知,△AED≌△A'ED,△A'BE≌△A'B'E,∠A'B'E=∠B=∠A'B'D=90°,∴∠AED=∠A'ED,∠A'EB=∠A'EB',BE=B'E,∴∠AED=∠A'ED=∠A'EB=×180°=60°,∴∠ADE=90°﹣∠AED=30°,∠A'DE=90°﹣∠A'EB=30°,∴∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°,又∵∠C=∠A'B'D=90°,DA'=DA',∴△DB'A'≌△DCA'(AAS),∴DC=DB',在Rt△AED中,∠ADE=30°,AD=2,∴AE=,设AB=DC=x,则BE=B'E=x﹣∵AE2+AD2=DE2,∴()2+22=(x+x﹣)2,解得,x1=(负值舍去),x2=,故答案为B.【点睛】本题考查了矩形的性质,轴对称的性质等,解题关键是通过轴对称的性质证明∠AED=∠A'ED=∠A'EB=60°.4、D【解析】由题意可知,该一元二次方程根的判别式的值大于零,即(-2)2-4m>0,∴m<1.对照本题的四个选项,只有D选项符合上述m的取值范围.故本题应选D.5、B【分析】根据同一时刻物高与影长成正比例列式计算即可.【详解】根据同一时刻物高与影长成正比例可得,如图,∴=.∴AD=1.∴AB=AD+DB=1+1=2.故选:B.【点睛】本题考查了相似三角形的应用,只要是把实际问题抽象到相似三角形中,利用相似三角形的相似比,列出方程,通过解方程求解,加上DB的长即可.解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长.6、D【解析】解:如右图,连接OP,由于OP是Rt△AOB斜边上的中线,所以OP=AB,不管木杆如何滑动,它的长度不变,也就是OP是一个定值,点P就在以O为圆心的圆弧上,那么中点P下落的路线是一段弧线.故选D.7、A【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解.【详解】解:∵,∴锐角A的度数是60°,故选:A.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值,掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.8、C【分析】设∠A、∠C分别为x、2x,然后根据圆的内接四边形的性质列出方程即可求出结论.【详解】解:设∠A、∠C分别为x、2x,∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴x+2x=180°,解得,x=60°,即∠A=60°,故选:C.【点睛】此题考查的是圆的内接四边形的性质,掌握圆的内接四边形的性质是解决此题的关键.9、A【分析】画出树状图,共有25个等可能的结果,两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个,即可得出答案.【详解】解:画树状图如图:共有25个等可能的结果,两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个,∴小李获胜的概率为;故选A.【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式;根据题意画出树状图是解题的关键.10、B【解析】圆柱主视图、俯视图分别是长方形、圆,主视图与俯视图不相同;圆锥主视图、俯视图分别是三角形、有圆心的圆,主视图与俯视图不相同;球主视图、俯视图都是圆,主视图与俯视图相同;正方体主视图、俯视图都是正方形,主视图与俯视图相同.共2个同一个几何体的主视图与俯视图相同.故选B.11、D【分析】分别求出AC、CE、BC、CD的长,根据点与圆的位置关系的判断方法进行判断即可.【详解】如图,连接CE,∵∠C=90°,AB=5,AC=4,∴BC==3,∵点D,E分别是AC,AB的中点,∴CD=AC=2,CE=AB=,∵⊙C的半径为3,BC=3,,,∴点B在⊙C上,点E在⊙C内,点D在⊙C内,点A在⊙C外,故选:D.【点睛】本题考查点与圆的位置关系,解题的关键是求点到圆心的距离.12、C【解析】根据平行投影的性质可知烟囱的影子应该在右下方,房子左边对应的突起应该在影子的左边.二、填空题(每题4分,共24分)13、【分析】根据题意,作出合适的辅助线,由图可知,阴影部分的面积=△CBF的面积,根据题目的条件和图形,可以求得△BCF的面积,从而可以解答本题.【详解】连接OD、OF、BF,作DE⊥OA于点E,∵ABCD是平行四边形,AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,AD=OA=2,∴OA=OD=AD=OF=OB=2,DC∥AB,∴△DOA是等边三角形,∠AOD=∠FDO,∴∠AOD=∠FDO=60°,同理可得,∠FOB=60°,△BCD是等边三角形,∵弓形DF的面积=弓形FB的面积,DE=OD•sin60°=,∴图中阴影部分的面积为:=,故答案为:.【点睛】本题考查了求阴影部分面积的问题,掌握三角形面积公式是解题的关键.14、4【分析】由=可得,代入计算即可.【详解】解:∵=,∴,则故答案为:4.【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.15、﹣1.5或2【解析】将二次函数配方成顶点式,分m<-1、m>2和-1≤m≤2三种情况,根据y的最小值为-2,结合二次函数的性质求解可得.【详解】y=x2-2mx=(x-m)2-m2,
①若m<-1,当x=-1时,y=1+2m=-2,
解得:m=-32=-1.5;
②若m>2,当x=2时,y=4-4m=-2,
解得:m=32<2(舍);
③若-1≤m≤2,当x=m时,y=-m2=-2,
解得:m=2或m=-2<-1(舍),
∴m的值为-1.5或2,
故答案为:﹣1.5或【点睛】本题考查了二次函数的最值,根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键.16、14【分析】如图,作点A关于CM的对称点A′,点B关于DM的对称点B′,证明△A′MB′为等边三角形,即可解决问题.【详解】解:如图,作点关于的对称点,点关于的对称点.,,,,,为等边三角形,的最大值为,故答案为.【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质,两点之间线段最短,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会利用两点之间线段最短解决最值问题17、【分析】直接代入特殊角的三角函数值进行计算即可.【详解】.故答案为:.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值,熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.18、30°或180°或210°【分析】根据等边三角形的性质,双曲线的轴对称性和中心对称性即可求解.【详解】根据反比例函数的轴对称性,A点关于直线y=x对称,∵△OAB是等边三角形,∴∠AOB=60°,∴AO与直线y=x的夹角是15°,∴a=2×15°=30°时点A落在双曲线上,根据反比例函数的中心对称性,∴点A旋转到直线OA上时,点A落在双曲线上,∴此时a=180°,根据反比例函数的轴对称性,继续旋转30°时,点A落在双曲线上,∴此时a=210°;故答案为:30°或180°或210°.考点:(1)、反比例函数图象上点的坐标特征;(2)、等边三角形的性质;(3)、坐标与图形变化-旋转.三、解答题(共78分)19、(1)详见解析;(2)14【分析】(1)根据可得,又因,由相似三角形的判定定理即可证;(2)设,根据得,由点E是AB的中点得,可求出的值,根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方可得的面积,因等底等高得,的面积等于的面积,从而可得答案.【详解】(1)在和中,(两边对应成比例且夹角相等的三角形相似)(2)设又点E是AB的中点由题(1)知又又和的边,且边上对应的高是同一条高答:的面积为14.【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理和性质,熟记判定定理和性质是解题关键.20、(1);(2);【分析】(1)先画树状图展示所有16种等可能的结果数,其中两次摸出的小球标号相同的占1种,然后根据概率的概念计算即可;
(2)由(1)可知有16种等可能的结果数,其中两次取出的小球标号的和等于1的有3种,进而可求出其概率.【详解】画树状图如图(1)∵共有种等可能的结果,两次取出的小球标号相同的共种情况,∴两次取出的小球标号相同的概率为.(2)两次取出的小球标号的和等于的情况共有种,两次取出的小球标号的和等于的概率为.【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.21、(1)b=2或b=;(2)x1=x2=2;【分析】(1)根据根的判别式即可求出答案.(2)由(1)可知b=2,根据一元二次方程的解法即可求出答案.【详解】解:(1)由题意可知:△=(b+2)2-4(6-b)=0,∴解得:b=2或b=.(2)当b=2时,此时x2-4x+4=0,∴,∴x1=x2=2;【点睛】本题考查一元二次方程,解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法,本题属于基础题型.22、(1)(6,4);(2)①点E坐标或;②△AOE与△AOD相似,理由见解析;(3)存在,F1(﹣3,0);F2(3,8);;【分析】(1)求出方程x2﹣7x+12=0的两个根,OA=4,OB=3,可求点A坐标,即可求点D坐标;(2)①设点E(x,0),由三角形面积公式可求解;②由两组对边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似,可证△AOE∽△DAO;(3)根据菱形的性质,分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况,以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算.【详解】解:(1)∵OA、OB长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根,∴OA=4,OB=3,∴点B(﹣3,0),点A(0,4),且AD∥BC,AD=BC=6,∴点D(6,4)故答案为:(6,4);(2)①设点E(x,0),∵,∴∴∴点E坐标或②△AOE与△AOD相似,理由如下:在△AOE与△DAO中,,,∴.且∠DAO=∠AOE=90°,∴△AOE∽△DAO;(3)存在,∵OA=4,OB=3,BC=6,∴,OB=OC=3,且OA⊥BO,∴AB=AC=5,且AO⊥BO,∴AO平分∠BAC,①AC、AF是邻边,点F在射线AB上时,AF=AC=5,所以点F与B重合,即F(﹣3,0),②AC、AF是邻边,点F在射线BA上时,M应在直线AD上,且FC垂直平分AM,点F(3,8).③AC是对角线时,做AC垂直平分线L,AC解析式为,直线L过(,2),且k值为(平面内互相垂直的两条直线k值乘积为﹣1),L解析式为y=x+,联立直线L与直线AB求交点,∴F(﹣,﹣),④AF是对角线时,过C做AB垂线,垂足为N,根据等积法求,勾股定理得出,,做A关于N的对称点即为F,,过F做y轴垂线,垂足为G,,∴F(﹣,).综上所述:F1(﹣3,0);F2(3,8);;.【点睛】本题是相似形综合题,考查了解一元二次方程,相似三角形的性质与判定,待定系数法求函数解析式,综合性较强,(3)求点F要根据AC与AF是邻边与对角线的情况进行讨论,不
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