中考几何压轴题汇编附详解(2024年中考真题)

中考几何压轴题汇编附详解(2024年中考真题)1.(24年重庆中考）在中,,点是边上一点(点不与端点重合)．点关于直线的对称点为点,连接．在直线上取一点,使,直线与直线交于点．(1)如图1,若,求的度数(用含的代数式表示)(2)如图1,若,用等式表示线段与之间的数量关系,并证明(3)如图2,若,点从点移动到点的过程中,连接,当为等腰三角形时,请直接写出此时的值．

2.(24年江西中考）综合与实践如图,在中,点D是斜边上的动点（点D与点A不重合）,连接,以为直角边在的右侧构造,,连接,．特例感知（1）如图1,当时,与之间的位置关系是______,数量关系是______.类比迁移（2）如图2,当时,猜想与之间的位置关系和数量关系,并证明猜想．拓展应用（3）在（1）的条件下,点F与点C关于对称,连接,,,如图3．已知,设,四边形的面积为y．①求y与x的函数表达式,并求出y的最小值.②当时,请直接写出的长度．

3.(24年上海中考）在梯形中,,点E在边上,且．（1）如图1所示,点F在边上,且,联结,求证:（2）已知①如图2所示,联结,如果外接圆的心恰好落在的平分线上,求的外接圆的半径长②如图3所示,如果点M在边上,联结,,,与交于N,如果,且,,求边的长．

4.(24年枣庄中考）一副三角板分别记作和,其中,,,．作于点,于点,如图1．（1）求证：（2）在同一平面内,将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置,点与点重合记为,点与点重合,将图2中的绕按顺时针方向旋转后,延长交直线于点．①当时,如图3,求证：四边形为正方形②当时,写出线段,,的数量关系,并证明;当时,直接写出线段,,的数量关系．

5.(24年安徽中考）如图1,▱的对角线与交于点,点分别在边上,且.点,分别是与,的交点图1图2图3(1)求证:(2)连接交于点,连接.(i).如图2,若,求证:(ii)如图3,若▱为菱形,且,求的值.

6.(24年湖北中考）如图,矩形中,在上,将四边形沿翻折,使的对称点落在上,的对称点为交于(1)求证:(2)若为中点,且,求长.(3)连接,若为中点,为中点,探究与大小关系并说明理由.

7.(24年武汉中考）问题背景:如图（1）,在矩形中,点,分别是,的中点,连接,,求证:．问题探究:如图（2）,在四边形中,,,点是的中点,点在边上,,与交于点,求证:．问题拓展:如图（3）,在“问题探究”的条件下,连接,,,直接写出的值．

8.(24年深圳中考）垂中平行四边形的定义如下:在平行四边形中,过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边,若交点是这条边的中点,则该平行四边形是“垂中平行四边形”．（1）如图1所示,四边形为“垂中平行四边形”,,,则________;________（2）如图2,若四边形为“垂中平行四边形”,且,猜想与的关系,并说明理由（3）①如图3所示,在中,,,交于点,请画出以为边的垂中平行四边形,要求:点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示:不限作图工具）②若关于直线对称得到,连接,作射线交①中所画平行四边形的边于点,连接,请直接写出的值．

9.(24年新疆中考）【探究】(1)已知△ABC和△ADE都是等边三角形.①如图1,当点D在BC上时,连接CE.请探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由.②如图2,当点D在线段BC的延长线上时,连接CE.请再次探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由.【运用】(2)如图3,等边三角形ABC中,AB=6,点E在AC上,CE=.点D是直线BC上的动点,连接DE,以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF,连接CF.当△CEF为直角三角形时,请直接写出BD的长.图1图2图3备用图

10.(24年广西中考）如图1,中,,．AC的垂直平分线分别交,于点M,O,平分．图1图2（1）求证:（2）如图2,将绕点O逆时针旋转得到,旋转角为．连接,①求面积的最大值及此时旋转角的度数,并说明理由②当是直角三角形时,请直接写出旋转角的度数．

11.(24年吉林中考）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联,下面是他的研究过程:【探究论证】（1）如图①,在中,,,垂足为点D．若,,则______．（2）如图②,在菱形中,,,则______．（3）如图③,在四边形中,,垂足为点O．若,,则______;若,,猜想与a,b的关系,并证明你的猜想．【理解运用】（4）如图④,在中,,,,点P为边上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图:（ⅰ）以点K为圆心,适当长为半径画弧,分别交边,于点R,I.（ⅱ）以点P为圆心,长为半径画弧,交线段于点.（ⅲ）以点为圆心,长为半径画弧,交前一条弧于点,点,K在同侧.（ⅳ）过点P画射线,在射线上截取,连接,,．请你直接写出的值．

12.(24年吉林中考）如图,在中,,,,是的角平分线．动点P从点A出发,以的速度沿折线向终点B运动．过点P作,交于点Q,以为边作等边三角形,且点C,E在同侧,设点P的运动时间为,与重合部分图形的面积为．（1）当点P在线段上运动时,判断的形状（不必证明）,并直接写出的长（用含t的代数式表示）．（2）当点E与点C重合时,求t的值．（3）求S关于t的函数解析式,并写出自变量t的取值范围．

13.(24年广东中考）【知识技能】(1)如图1,在△ABC中,DE是△ABC的中位线.连接CD,将△ADC绕点D按逆时针方向旋转,得到△A'DC'.当点E的对应点E′与点A重合时,求证:AB=BC.【数学理解】(2)如图2,在△ABC中(AB<BC),DE是△ABC的中位线.连接CD,将△ADC绕点D按逆时针方向旋转,得到△A'DC,连接A'B,C'C,作△A'BD的中线DF.求证:2DF·CD=BD·CC′.【拓展探索】如图3,在△ABC中,tanB=,AD=.过点D作DE⊥BC,垂足为E,BE=3,CE=,点D在AB上,.在四边形ADEC内是否存在点G,使得∠AGD+∠CGE=180°?若存在,请给出证明;若不存在,请说明理由.图1图2图3

14.(24年黑龙江中考）已知是等腰三角形,,,在的内部,点M,N在上,点M在点N的左侧,探究线段之间的数量关系．（1）如图①,当时,探究如下:由,可知,将绕点A顺时针旋转,得到,则且,连接,易证,可得,在中,,则有．（2）当时,如图②:当时,如图③,分别写出线段之间的数量关系,并选择图②或图③进行证明．

15.(24年包头中考）如图,在中,为锐角,点在边上,连接,且．（1）如图1,若是边的中点,连接,对角线分别与相交于点．①求证:是的中点;②求;（2）如图2,的延长线与的延长线相交于点,连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系,并证明你的结论．

16.(24年长春中考）如图,在中,,．点是边上的一点（点不与点,重合）,作射线,在射线上取点,使,以为边作正方形,使点和点在直线同侧．（1）当点是边的中点时,求的长;（2）当时,点到直线的距离为________;（3）连结,当时,求正方形的边长;（4）若点到直线的距离是点到直线距离的3倍,则的长为________．（写出一个即可）

17.(24年山东泰安中考）如图1,在等腰中,,,点,分别在,上,,连结,,取中点,连结.（1）求证:,;（2）将绕点顺时针旋转到图2的位置.①请直接写出与的位置关系:___________________;②求证:.

18.(24年辽宁中考）如图,在中,,．将线段绕点顺时针旋转得到线段,过点作,垂足为．图1图2图3（1）如图1,求证:（2）如图2,的平分线与的延长线相交于点,连接,的延长线与的延长线相交于点,猜想与的数量关系,并加以证明（3）如图3,在（2）的条件下,将沿折叠,在变化过程中,当点落在点的位置时,连接．①求证:点是的中点②若,求的面积．

19.(24年扬州中考）如图,点依次在直线上,点固定不动,且,分别以为边在直线同侧作正方形,正方形,,直角边恒过点,直角边恒过点．（1）如图,若,,求点与点之间的距离（2）如图,若,当点在点之间运动时,求的最大值（3）如图,若,当点在点之间运动时,点随之运动,连接,点是的中点,连接,则的最小值为_______．

中考几何压轴题汇编详解1.(24年重庆中考）【答案】.(1)(2)(3)或【小问1详解】解:如图∵,.∴.∵.∴.∵.∴∴【小问2详解】解:.在上截取,连接,交于点H,∵.∴为等边三角形∴.∴.∴.∵∴.∵.∴.∴∵点关于直线的对称点为点.∴∴.∴.∴.∴四边形是平行四边形∴.∴.∴.记与的交点为点N则由轴对称可知:,.∴中,∴.∴.∴【小问3详解】解:连接,记与的交点为点N∵.∴由轴对称知当点G在边上时,由于.∴当为等腰三角形时,只能是同(1)方法得,.∴.∴.∵∴.∴中,,解得∴,而.∴为等边三角形.∴.设∵.∴.∴∴在中,.∵∴.∴∴.∴当点G在延长线上时,只能是,如图设.∴,∴.∵.∴∵.∴在中,,解得∴.设,则,在中,,由勾股定理求得.在中,,∴.∴.∴综上所述:或．2.(24年江西中考）【答案】（1）,（2）与之间的位置关系是,数量关系是.（3）①y与x的函数表达式,当时,的最小值为.②当时,为或.【解析】解:（1）∵.∴,∵.∴,.∴..∴,∴.∴∴与之间的位置关系是,数量关系是.（2）与之间的位置关系是,数量关系是.理由如下:∵.∴,.∵∴..∴,∴.∴∴与之间的位置关系是,数量关系是.（3）由（1）得:,,∴,都为等腰直角三角形..∵点F与点C关于对称∴为等腰直角三角形..∴四边形为正方形如图,过作于∵,,∴,当时,∴.∴如图,当时此时.同理可得:∴y与x的函数表达式为.当时,的最小值为.②如图,∵,正方形,记正方形的中心为∴.连接,,.∴∴在上,且为直径.∴过作于,过作于.∴,∴.∴.∴正方形面积为∴.解得:,,经检验都符合题意如图综上:当时,为或.3.(24年上海中考）【答案】（1）见详解（2）①;②【小问1详解】证明:延长交于点G∵.∴.∵,.∴,.∴∴【小问2详解】①解:记点O为外接圆圆心,过点O作于点F,连接∵点O为外接圆圆心∴.∴.∵.∴∵.∴.∴∵平分.∴.∵.∴∴.∴.∴.∵∴.∵.∴.∴即.∴.∴∴外接圆半径为②延长交于点P,过点E作,垂足为点Q∵.∴.∴.由①知.∴.∴∵.∴.∵.∴.∴.∵∴.∴.∴.由,.得.∴.∴∴.∵.∴.∴设,则.∵.∴.∴.∴.∵∴.∴.∴设.∵,∴.∴.即.∴.解得:∴.在中,由勾股定理得:∴.∴.∴而.∴在中,由勾股定理得,∵.∴．4.(24年枣庄中考）【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析;②当时,线段,,的数量关系为;当时,线段,,的数量关系为【小问1详解】证明：设.∵,.∴∴.∵.∴.∵,∴.∴.【小问2详解】证明：①∵,.∴,.∵∴.∵.∴.∴四边形为矩形∵,即.而.∴.∴四边形是正方形②如图,当时,连接由（1）可得：,.∵.∴.∴∴.∵.∴∴②如图,当时,连接由（1）可得：,.∵.∴.∴∴.∵.∴∴5.(24年安徽中考）【答案】(1)证明:由题意知,,由于,则四边形是平行四边形从而,所以在与中,因为,,所以故.(2)(i)证明:因为,所以,又,,则由于,故于是,所以(ii)解:因为▱为菱形,所以又,所以,于是因为,所以,即从而,所以又因为,所以,即从而,所以故,即的值是6.(24年湖北中考）【答案】（1）见详解（2）（3）【小问1详解】解:如图:∵四边形是矩形.∴.∴.∵分别在上,将四边形沿翻折,使的对称点落在上.∴.∴∴.∴【小问2详解】解:如图:∵四边形是矩形.∴,.∵为中点∴.设.∴.在中.即.解得.∴.∴∵.∴.∴.解得.∵∴【小问3详解】解:如图:延长交于一点M,连接∵分别在上,将四边形沿翻折,使的对称点落在上∴直线...∴是等腰三角形.∴.∵为中点.∴设∴.∵为中点.∴.∵,∴∴,..∴在中,.∴.∴在中,.∵.∴∴.∴.∴.∴.7.(24年武汉中考）【答案】问题背景:见解析;问题探究:见解析;问题拓展:【详解】问题背景:∵四边形是矩形∴.∵,分别是,的中点.∴即.∴问题探究:如图所示,取的中点,连接∵是的中点,是的中点.∴,.又∵.∴∵.∴.∴四边形是平行四边形.∴.∴又∵,是的中点.∴.∴.∴∴问题拓展:如图所示,过点作,则四边形是矩形,连接∵,∴.设,则,在中,.∵,由（2）.∴又∵是的中点.∴垂直平分.∴,在中.∴设,则∴又∵.∴.∴又∵.∴∴．8.(24年深圳中考）【答案】（1）,（2）,理由见解析（3）①见解析;②或．【小问1详解】解:,为的中点,,,,,即,解得故答案为:1;【小问2详解】解:,理由如下:

根据题意,在垂中四边形中,,且为的中点,.又..设,则.,..【小问3详解】解:①第一种情况:

作的平行线,使,连接,则四边形为平行四边形,延长交于点...,,即.为的中点故如图1所示,四边形即为所求的垂中平行四边形:

第二种情况:

作的平分线,取交的平分线于点,延长交的延长线于点,在射线上取,连接.故为的中点.同理可证明:则.则四边形是平行四边形;故如图2所示,四边形即为所求的垂中平行四边形:

第三种情况:

作,交的延长线于点,连接,作的垂直平分线在延长线上取点F,使,连接.则为的中点同理可证明,从而.故四边形是平行四边形故如图3所示,四边形即为所求的垂中平行四边形:

②若按照图1作图由题意可知,.四边形是平行四边形..是等腰三角形.过P作于H,则,.,.,..,即∴若按照图2作图,延长,交于点.同理可得:是等腰三角形.连接.....同理,,,.,即,若按照图3作图,则:没有交点,不存在PE（不符合题意）故答案为:或．9.(24年新疆中考）【答案】(1)①②(2)或①,理由如下:和是等边三角形,,.在和中..,②理由如下和是等边三角形.,,.在和中,.,(2)过作,则为等边三角形.①当点在左侧时,如图,,,,此时不可能为直角三角形.②当点在右侧,且在线段上时,如图2同理可得,此时只有有可能为90°当时,.,,.③当点在右侧,且在延长线上时,如图3此时只有,,,.综上：的长为或10.(24年广西中考）【答案】（1）见解析（2）①,;②或【小问1详解】证明:∵垂直平分.∴.∴∵平分.∴.∴.又.∴【小问2详解】解:①∵.∴.∴∴.又.∴,.∵垂直平分∴,,∴.∴取中点,连接,,作于N由旋转的性质知,为旋转所得线段∴,,根据垂线段最短知.又∴当M,O,三点共线,且点O在线段时,取最大值,最大值为此时∴面积的最大值为②∵,.∴.同理∴为直角三角形时,只有当A和重合时,如图∵.∴,.∴∵.∴.∴.∴,O,M三点共线∴为直角三角形.此时旋转角当和C重合时,如图同理,.∴.∵,∴.∴.∴,O,M三点共线.又∴为直角三角形.此时旋转角综上,旋转角的度数为或时,为直角三角形．11.(24年吉林中考）【答案】（1）2,（2）4,（3）,,证明见详解,（4）10【详解】（1）∵在中,,,.∴.∴∴.故答案为:2.（2）∵在菱形中,,.∴故答案为:4.（3）∵.∴,∵∴∴∵,.∴故答案为:猜想:证明:∵∴,∵∴∴∵,.∴.（4）根据尺规作图可知:∵在中,,,.∴∴是直角三角形,且.∴.∵∴.∴.∵,∴根据（3）的结论有:．12.(24年吉林中考）【答案】（1）等腰三角形,（2）（3）【小问1详解】解:过点Q作于点H,由题意得:∵,.∴.∵平分.∴∵.∴.∴.∴∴为等腰三角形.∵.∴∴在中,.【小问2详解】解:如图∵为等边三角形.∴.由（1）得.∴.即∴.【小问3详解】解:当点P在上,点E在上,重合部分为,过点P作于点G∵.∴.∵是等边三角形.∴∴.由（2）知当点E与点C重合时,.∴.当点P在上,点E在延长线上时,记与交于点F,此时重合部分为四边形,如图∵是等边三角形.∴.而∴.∴∴当点P与点D重合时,在中,.∴∴.当点P在上,重合部分为,如图∵.由上知.∴.∴此时∴.∵是等边三角形.∴∴.∴.∵∴.∴当点P与点B重合时,.解得:∴综上所述:．13.(24年广东中考）【答案】(1)证明:∵DE是△ABC的中位线.∴∵旋转.∴.∴(2),.过点D作于G,.又.又..又是中线.....(3)分别以AD,AE为直径作圆和圆.过作于H..所以圆和圆有两个交点.设为和此时,.故存在这样的点G,使.14.(24年黑龙江中考）【答案】图②的结论是:;图③的结论是:;证明见解析【详解】解:图②的结论是:证明:∵∴是等边三角形.∴以点B为顶点在外作,在上截取,连接,过点Q作,垂足为H,,..,又..即.又..∵.∴∴,.∴在中,可得:即.整理得图③的结论是:证明:以点B为顶点在外作,在上截取,连接,过点Q作,垂足为H,,..,又..即/又..在中,,,.在中,可得:.即整理得.15.(24年包头中考）【答案】（1）①见解析;②（2）,理由见解析【小问1详解】解:①.为的中点..是边的中点..在中,.∴.又∵..是的中点;②,四边形为平行四边形...∵....;【小问2详解】解:线段与线段之间的数量关系为:,理由如下:连接交于点,如下图:由题意,的延长线与的延长线相交于点,连接的延长线与相交于点.又....四边形为平行四边形...为的中点..为的中点.为的中位线.....．16.(24年长春中考）【答案】（1）（2）（