高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题11.2二项式定理(真题测试)(原卷版+解析)

专题11.2二项式定理（真题测试）一、单选题1．（2023·山东·高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（

）A． B． C． D．2．(2023·山东·高考真题）的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（

）A．0 B． C． D．323．(2023·北京·高考真题）若，则（

）A．40 B．41 C． D．4．（2023·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（

）．A． B．5 C． D．105．(2023·全国·高考真题（理））的展开式中的系数为（

）A．10 B．20 C．40 D．806．（2023·全国·高考真题（理））（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（

）A．12 B．16 C．20 D．245．（2023·全国·高考真题（理））的展开式中x3y3的系数为（

）A．5 B．10C．15 D．208．（2023·全国·高三专题练习（理））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（

）A． B． C． D．二、多选题9．(2023·广东·东莞四中高三阶段练习）已知二项式的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的是（

）A．B．展开式中二项式系数之和为256C．展开式中第5项为D．展开式中的系数为10．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．11．（2023·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）在的展开式中，下列说法正确的是（

）A．不存在常数项 B．第4项和第5项二项式系数最大C．第3项的系数最大 D．所有项的系数和为12812．(2023·浙江·高三开学考试）在二项式的展开式中，正确的说法是（

）A．常数项是第3项 B．各项的系数和是1C．偶数项的二项式系数和为32 D．第4项的二项式系数最大三、填空题13．(2023·天津·高考真题）的展开式中的常数项为______.14．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是_________．15．(2023·全国·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．16．（2023·浙江·高考真题）已知多项式，则___________，___________.四、解答题17．(2023·全国·高三专题练习）已知二项式（）的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，求展开式中含的项.18．（2023·全国·高三专题练习）已知（n为正整数）展开式的各项二项式系数之和为256.(1)求展开式中的第3项；(2)若，求展开式中的常数项.19．（2023·江苏·高考真题）设.已知.（1）求n的值；（2）设，其中，求的值.20．（2023·全国·高三专题练习）已知的二项式展开式的各项二项式系数和与各项系数和均为128，(1)求展开式中所有的有理项；(2)求展开式中系数最大的项．21．（2023·全国·高三专题练习）已知展开式的二项式系数和为512，且.(1)求的值；(2)设，其中，且，求的值.22．（2023·全国·高三专题练习）设，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．专题11.2二项式定理（真题测试）一、单选题1．（2023·山东·高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（

）A． B． C． D．答案：A分析：本题可通过二项式系数的定义得出结果.【详解】第项的二项式系数为，故选：A.2．(2023·山东·高考真题）的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（

）A．0 B． C． D．32答案：D分析：根据的二项展开式系数之和为求解即可【详解】的二项展开式中所有项的二项式系数之和为故选：D3．(2023·北京·高考真题）若，则（

）A．40 B．41 C． D．答案：B分析：利用赋值法可求的值.【详解】令，则，令，则，故，故选：B.4．（2023·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（

）．A． B．5 C． D．10答案：C分析：首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.【详解】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：.故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．5．(2023·全国·高考真题（理））的展开式中的系数为（

）A．10 B．20 C．40 D．80答案：C【详解】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得令,则所以故选C.6．（2023·全国·高考真题（理））（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（

）A．12 B．16 C．20 D．24答案：A分析：本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【详解】由题意得x3的系数为，故选A．5．（2023·全国·高考真题（理））的展开式中x3y3的系数为（

）A．5 B．10C．15 D．20答案：C分析：求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.【详解】展开式的通项公式为（且）所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为所以的系数为故选：C8．（2023·全国·高三专题练习（理））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（

）A． B． C． D．答案：A分析：由同时除以x，再利用展开式中的系数可求出.【详解】由，两边同时除以x，得，又展开式中的系数为，所以，所以．故选：A．二、多选题9．(2023·广东·东莞四中高三阶段练习）已知二项式的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的是（

）A．B．展开式中二项式系数之和为256C．展开式中第5项为D．展开式中的系数为答案：AC分析：令即可得到展开式各项系数和，从而得到参数的值，即可判断A，再根据二项式系数和为，即可判断B，再写出展开式的通项，即可计算C、D.【详解】解：对于A：令可得，解得，故A正确；对于B：二项式系数和为，故B错误；对于C：展开式的通项为，第5项即，所以，故C正确；对于D：令，解得，所以展开式中的系数为，故D错误.故选：AC10．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．答案：ABD分析：通过赋值根据选项一一判断即可得结果.【详解】解：对于A，取得，所以，故A正确；对于B，的展开式中第7项为，所以，故B正确；对于C，取得，故C错误；对于D，由，取得，取得，所以，故D正确.故选：ABD.11．（2023·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）在的展开式中，下列说法正确的是（

）A．不存在常数项 B．第4项和第5项二项式系数最大C．第3项的系数最大 D．所有项的系数和为128答案：ABC分析：利用二项展开式的通项公式及赋值法，逐项分析即得.【详解】因为展开式的通项公式为，由，得(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确；展开式共有项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故B正确；由通项公式可得为偶数时，系数才有可能取到最大值，由，可知第项的系数最大，故C正确；令，得所有项的系数和为，故D错误；故选：ABC.12．(2023·浙江·高三开学考试）在二项式的展开式中，正确的说法是（

）A．常数项是第3项 B．各项的系数和是1C．偶数项的二项式系数和为32 D．第4项的二项式系数最大答案：BCD分析：利用二项式展开式通项可判断A选项；利用各项系数和可判断B选项；求出偶数项的二项式系数和可判断C选项；利用二项式系数的性质可判断D选项；【详解】解：二项式的展开式通项为，对于A选项，令，可得，故常数项是第项，A错；对于B选项，各项的系数和是，B对；对于C选项，偶数项二项式系数和为，C对对于D选项，展开式共项，第项二项式系数最大，D对；故选：BCD三、填空题13．(2023·天津·高考真题）的展开式中的常数项为______.答案：分析：由题意结合二项式定理可得的展开式的通项为，令，代入即可得解.【详解】由题意的展开式的通项为，令即，则，所以的展开式中的常数项为.故答案为：.14．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是_________．答案：10分析：写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为．故答案为：．15．(2023·全国·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．答案：-28分析：可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28故答案为：-2816．（2023·浙江·高考真题）已知多项式，则___________，___________.答案：

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.分析：根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.【详解】，，所以，，所以.故答案为：.四、解答题17．(2023·全国·高三专题练习）已知二项式（）的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，求展开式中含的项.答案：分析：根据二项式展开式，找到第2项与第3项的二项式系数，即可求得n=6，再令，可解得含的项.【详解】因为的展开式的通项公式为，则，，展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，则，解得n=6.所以原二项式为，，令，则6.所以展开式中含的项为第7项，18．（2023·全国·高三专题练习）已知（n为正整数）展开式的各项二项式系数之和为256.(1)求展开式中的第3项；(2)若，求展开式中的常数项.答案：(1)(2)分析：（1）由题意，解出，写出展开式的通项公式，从而可得出第3项.（2）将代入展开式的通项公式，令的指数为0，从而可得出答案.（1）依题意可得，解得，则展开式的通项公式为：所以展开式中的第3项为（2）由（1）及，则展开式的通项公式为：令，解得则展开式中的常数项为19．（2023·江苏·高考真题）设.已知.（1）求n的值；（2）设，其中，求的值.答案：（1）；（2）-32.分析：(1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可；解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的展开式，最后结合平方差公式即可确定的值.【详解】（1）因为，所以，．因为，所以，解得．（2）由（1）知，．．解法一：因为，所以，从而．解法二：．因为，所以．因此．20．（2023·全国·高三专题练习）已知的二项式展开式的各项二项式系数和与各项系数和均为128，(1)求展开式中所有的有理项；(2)求展开式中系数最大的项．答案：(1)展开式中所有的有理项为，(2)和分析：（1）由二项式系数的性质可得，进而可得的值，再令求出的值，然后结合二项展开式的通项公式即可求解；（2）由二项展开式的通项公式可知，展开式中系数最大的项即为展开式中二项式系数最大的项，从而利用二项式系数的性质即可求解.（1）解：因为的二项展开式的各二项式系数和为，各项系数和为，所以由已知得，故，所以，解得，所以该二项式为，其通项为，，所以当时，该项为有理项，所以展开式中所有的有理项为，；（2）解：因为展开式的通项公式为，，所以展开式中系数最大的项即为展开式中二项式系数最大的项，而由二项式系数的性质可知最大的项为展开式的第或第项，所以展开式中系数最大的项为和；21．（2023·全国·高三专题练习）已知展开式的二项式系数和为512，且.(1)求的值；(2)设，其中，且，求的值.答案：(1)(2)分析：（1）根据二项展开式的二项式系数和求出，再结合，根据二项式定理即可求出答案；（2）根据已知条件改写原式，得到原式可以被整除的部分，根据余项、转化求解即可得到答案.（1）因为展开式的二项式系数和为512，