2023学年天津市红桥区高一数学（下）期末考试卷附答案详析

2023学年天津市红桥区高一数学（下）期末考试卷本试卷分共100分，考试用时90分钟.2024.07参考公式：柱体的体积公式其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.锥体的体积公式其中表示锥体的底面积，表示锥体的高.球的体积公式其中表示球的半径.第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共9题，每小题4分，共36分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，为虚数单位，若为实数，则（

）A． B．1 C． D．22．设向量

若

则（

）A． B． C．-2 D．23．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（

）A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，则4．已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（

）A． B． C． D．5．已知平面截球的球面所得圆的面积为，到的距离为1，则球的表面积为（

）A． B． C． D．6．如图：一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，则原的面积是（

）A． B．4 C． D．7．已知向量，若，则（

）A． B．1 C． D．58．在中，是中点，，，，则（

）A． B． C． D．9．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.10．已知为虚数单位，则

.11．化简.12．一个正方体的表面积为，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是.13．已知一个圆锥的底面直径为6，其侧面积为，则该圆锥的体积为．14．已知三棱锥四个顶点在球面上，，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，则此球的半径是.15．已知点O是内一点，满足，，则实数m为．三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知(1)求cosA的值；(2)求的值.17．在中，内角所对的边分别是，已知,，.(1)求：的值；(2)求：的面积.18．如图，在四棱柱中，已知侧棱底面，侧面是正方形，与交于点O，.

(1)求证:AD∥平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.19．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，，.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值；（3）设Q为线段PD上的点，且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，求的值.1．C【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据虚部为计算可得.【详解】因为，又为实数，所以，解得.故选：C2．C【分析】根据向量垂直的坐标表示，即可求解.【详解】，得.故选：C3．C【分析】根据线面位置关系依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A选项，若，，则或异面，故A选项错误；对于B选项，若，则或相交，故B选项错误；对于C选项，由得，所以当时，，故C选项正确；对于D选项，若且时，，故D选项错误；故选：C4．B【分析】本题可根据圆柱的侧面积公式得出结果.【详解】因为圆柱的底面半径和高都是，所以圆柱的侧面积.故选：B.5．C【分析】设截面圆的半径为，球的半径为，求出截面圆的半径，再由勾股定理求出，即可得解.【详解】设截面圆的半径为，球的半径为，所以，解得（负值已舍去），又到的距离为1，所以，所以球的表面积.故选：C6．C【分析】首先求出，再作出平面图形，求出相关线段的长度，即可求出面积.【详解】因为直观图是等腰直角三角形且，所以，由直观图可得如下平面图形：则，，所以.故选：C7．B【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可.【详解】因为且，所以，即，所以，解得.故选：B8．B【分析】首先转化向量，再根据数量积公式，即可求解.【详解】由余弦定理可知，，，.故选：B9．D【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，所以，故选：D10．【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.【详解】.故答案为：11．【分析】根据平面向量加、减运算法则及运算律计算可得.【详解】.故答案为：12．##【分析】设正方体的棱长为，根据正方体的表面积求出，即可得到内切球的半径，从而求出球的体积.【详解】设正方体的棱长为，则，解得或（舍去），则正方体的内切球的半径，所以此球的体积.故答案为：13．【分析】根据圆锥的侧面积公式，结合圆锥的体积公式进行求解即可.【详解】设该圆锥的母线为，底面半径为，高为，因为圆锥的底面直径为6，所以，因为圆锥的侧面积为，所以有，由勾股定理可知：，所以该圆锥的体积为，故答案为：14．##【分析】根据题意结合余弦定理求得，进而可得两两垂直，可以把三棱锥P-ABC转化为边长为1的正方体，利用正方体的性质求外接球的半径.【详解】设，则，因为，则，在中，因为，则，由余弦定理可得，即，解得（负值已舍去），可知，即，同理可得，，所以两两垂直，可以把三棱锥转化为边长为1的正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球，正方体的体对角线即为外接球的直径，即.故答案为：.15．【分析】根据条件可以得出，并设，这样即可得出三点共线，画出图形，并得到，从而解出的值．【详解】如图，令，则：三点共线；与共线反向，；；-解得．

故答案为：.16．(1)(2)【分析】（1）首先根据比例关系设三边，再根据余弦定理，求；（2）根据（1）的结果，求，，再代入两角差的正弦公式，即可求解.【详解】（1）由，得，，，；（2）由，可知，则，，所以.17．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，利用余弦定理求得.（2）先求得，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积.【详解】（1）已知，由正弦定理得，由于，所以，因为，所以；（2）由于，所以是锐角，所以，则.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面平行的判断定理，通过构造平行四边形，转化为证明线线平行，即可证明线面平行；（2）根据垂直关系，以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法求线面角的正弦值.【详解】（1）取的中点，的中点，连结，因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，因为点分别是的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以，且平面，平面，所以平面

（2）因为平面，平面，所以，且，，且平面，所以平面，且如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系，，，，，，，，

设平面的法向量为，则，即，令，则，所以平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则,所以直线与平面所成角的正弦值为.19．（1）证明见解析；（2）；（3）【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明．（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．（3）设为线段上的点，，，，，，求出，由平面的法向量，且直线和平面所成角的正弦值为，利用向量法能求出结果．【详解】解：（1）证明：∵在四棱锥中，平面ABCD，，，，，，.∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，∴.（2）解：，，，设平面APC的法向量，则，取，得，平面PCD的法向量，设二面角的平面角为，则.∴二面角的