2020-2021学年山东省德州市、烟台市高一(上)期中数学试卷-(解析版)

2020-2021学年山东省德州市、烟台市高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x2＝2x}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，2} B．{﹣2，0} C．{0，2} D．{1，2}2．已知函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数y＝的定义域为（）A．[﹣1，1） B．（1，3] C．[﹣1，0）∪（0，1] D．[0，1）∪（1，2]3．已知命题p：所有的正方形都是矩形，则￢p是（）A．所有的正方形都不是矩形 B．存在一个正方形不是矩形 C．存在一个矩形不是正方形 D．不是正方形的四边形不是矩形4．某高三学生于2020年9月第二个周末乘高铁赴济南参加全国高中数学联赛（山东省赛区）的比赛活动．早上他乘坐出租车从家里出发，离开家不久，发现身份证忘在家里了，于是回到家取上身份证，然后乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站，令x（单位：分钟）表示离开家的时间，y（单位：千米）表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计，下列图象中与上述事件吻合最好的是（）A． B． C． D．5．若不等式x2﹣tx+1＜0对一切x∈（1，2）恒成立，则实数t的取值范围为（）A．t＜2 B．t＞ C．t≥1 D．t≥6．定义在实数集上的函数D（x）＝称为狄利克雷函数．该函数由19世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛．下列有关狄利克雷函数D（x）的说法中不正确的是（）A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数 C．存在无理数t0，使D（x+t0）＝D（x） D．对任意有理数t，有D（x+t）＝D（x）7．衡量病毒传播能力的一个重要指标叫做传播指数R0．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫），一个感染某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是：R0＝1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，某种传染病确诊病例的平均增长率为25%，两例连续病例的间隔时间的平均数为4天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（）A．30 B．62 C．64 D．1268．令[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，若函数f（x）＝3[x]﹣[2x]，则函数f（x）在区间[0，2]上所有可能取值的和为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知集合U＝（﹣∞，+∞），A＝{x|2x2﹣x≤0}，B＝{y|y＝x2}，则（）A．A∩B＝[0，] B．∁UA⊆∁UB C．A∪B＝B D．∁BA＝（，+∞）10．下列说法正确的是（）A．设a＞0，b∈R，则“a＞b”是“a＞|b|”的必要不充分条件 B．“c＜0”是“二次方程x2+bx+c＝0（b，c∈R）有两个不等实根”的充分不必要条件 C．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，则“A＞B”是“a＞b”的充要条件 D．设平面四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD为矩形”是“AC＝BD”的既不充分也不必要条件11．设a＞b＞0，c≠0，则（）A．ac2＜bc2 B．＜ C．a2﹣＞b2﹣ D．a2+＞b2+12．已知函数f（x）＝，则（）A．y＝f（x）为偶函数 B．f（x）的值域是（﹣1，1） C．方程f（x）+x2＝0只有一个实根 D．对∀x1，x2∈R，x1≠x2，有＜0三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．已知a，b都是正实数，且2a+b＝1，则+的最小值是．14．已知二次函数y＝2x2﹣mx在[1，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是．15．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为．16．依法纳税是每个公民应尽的义务．根据《中华人民共和国个人所得税法》，自2019年1月1日起，以居民个人每一纳税年度的综合所得收入额减除费用六万元以及专项扣除、专项附加扣除和依法确定的其他扣除后的余额作为应纳税所得额，按照百分之三至百分之四十五的超额累进税率（见表），计算个人综合所得个税：级数全年应纳税所得额税率（%1不超过36000元的32超过36000元至144000元的部分103超过144000元至300000元的部分204超过300000元至420000元的部分255超过420000元至660000元的部分306超过660000元至960000元的部分357超过960000元的部分45若小王全年缴纳的综合所得个税为1380元，其中专项扣除占全年综合所得收入额的20%，专项附加扣除和依法确定的其他扣除为50000元，则小王全年综合所得收入额为（单位：元）．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）＝x+．（1）根据定义证明f（x）在[1，+∞）上为增函数；（2）若对∀x∈[2，4]，恒有f（x）≤2m﹣1，求实数m的取值范围．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣4＜x≤3}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≥0}，C＝{x||x﹣m|＞2}．（1）若m＝1，求A∩B；（2）在①x∈B，②x∈C这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．问题：已知p：x∈A，q：____，若￢q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x3+x2．（1）求f（x）的解析式，并补全f（x）的图象；（2）求使不等式f（m）﹣f（1﹣2m）＞0成立的实数m的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣3x+b，不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜t}，b，t∈R．（1）求b和t的值；（2）若x∈[1，4]时，函数y＝f（x）的图象恒在y＝kx2图象的上方，求实数k的取值范围．21．（12分）科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润p（x）（单位：万元）与投入的月研发经费x（15≤x≤40，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，p（x）＝﹣x2+8x﹣90；当投入月研发经费高于36万元时，p（x）＝0.4x+54．对于企业而言，研发利润率y＝×100%，是优化企业管理的重要依据之一，y越大，研发利润率越高，反之越小．（1）求该企业生产此设备的研发利润率y的最大值以及相应月研发经费x的值；（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费x的取值范围．22．（12分）已知函数y＝φ（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是φ（a+x）+φ（a﹣x）＝2b．给定函数f（x）＝x﹣．（1）求函数f（x）图象的对称中心；（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性（只写出结论即可）；（3）已知函数g（x）的图象关于点（1，1）对称，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣mx+m．若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[1，5]，使得g（x1）＝f（x2），求实数m的取值范围．

参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x2＝2x}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，2} B．{﹣2，0} C．{0，2} D．{1，2}解：∵A＝{0，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{0，2}．故选：C．2．已知函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数y＝的定义域为（）A．[﹣1，1） B．（1，3] C．[﹣1，0）∪（0，1] D．[0，1）∪（1，2]解：由题意得：，解得：﹣1≤x＜1，故函数y＝的定义域为[﹣1，1），故选：A．3．已知命题p：所有的正方形都是矩形，则￢p是（）A．所有的正方形都不是矩形 B．存在一个正方形不是矩形 C．存在一个矩形不是正方形 D．不是正方形的四边形不是矩形解：命题为全称命题，则命题的否定为存在一个正方形不是矩形，故选：B．4．某高三学生于2020年9月第二个周末乘高铁赴济南参加全国高中数学联赛（山东省赛区）的比赛活动．早上他乘坐出租车从家里出发，离开家不久，发现身份证忘在家里了，于是回到家取上身份证，然后乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站，令x（单位：分钟）表示离开家的时间，y（单位：千米）表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计，下列图象中与上述事件吻合最好的是（）A． B． C． D．解：由题意，该高三学生返回家，y是x的一次函数，且斜率为正；小明返回家的过程中，y仍然是x的一次函数，斜率为负；小明最后由家到高铁站，h仍然是t的一次函数，斜率为正值，且斜率比第一段的斜率大，结合图象可知，与上述事件吻合最好的图象为C．故选：C．5．若不等式x2﹣tx+1＜0对一切x∈（1，2）恒成立，则实数t的取值范围为（）A．t＜2 B．t＞ C．t≥1 D．t≥解：由题意可得：在区间（1，2）上恒成立，由对勾函数的性质可知函数在区间（1，2）上单调递增，且当x＝2时，，故实数t的取值范围是．故选：D．6．定义在实数集上的函数D（x）＝称为狄利克雷函数．该函数由19世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛．下列有关狄利克雷函数D（x）的说法中不正确的是（）A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数 C．存在无理数t0，使D（x+t0）＝D（x） D．对任意有理数t，有D（x+t）＝D（x）解：因为函数D（x）＝，所以函数的值域是{0，1}，故A正确；若x为有理数，则﹣x为有理数，有D（﹣x）＝D（x）＝1；若x为无理数，则﹣x为无理数，有D（﹣x）＝D（x）＝0，所以函数D（x）为偶函数，故B正确；t0为无理数，若x为有理数，则x+t0为无理数，若x为无理数，则x+t0可能为有理数，也可能为无理数，不满足D（x+t0）＝D（x），故任何无理数t0均不是D（x）的周期，故C错误；对任意有理数t，若x为有理数，则x+t为有理数，若x为无理数，则x+t为无理数，故D（x+t）＝D（x），故D正确．故选：C．7．衡量病毒传播能力的一个重要指标叫做传播指数R0．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫），一个感染某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是：R0＝1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，某种传染病确诊病例的平均增长率为25%，两例连续病例的间隔时间的平均数为4天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（）A．30 B．62 C．64 D．126解：由题意知，R0＝1+25%×4＝2．∴6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为：＝126．故选：D．8．令[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，若函数f（x）＝3[x]﹣[2x]，则函数f（x）在区间[0，2]上所有可能取值的和为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：根据题意，当0≤x＜时，有0≤2x＜1，则[x]＝0，则3[x]＝0，[2x]＝0，此时f（x）＝0，当≤x＜1时，有1≤x＜2，则[x]＝0，则3[x]＝0，[2x]＝1，此时f（x）＝﹣1，当1≤x＜时，有2≤x＜3，则[x]＝1，则3[x]＝3，[2x]＝2，此时f（x）＝1，当≤x＜2时，有3≤x＜4，则[x]＝1，则3[x]＝3，[2x]＝3，此时f（x）＝0，当x＝2时，2x＝4，则[x]＝2，则3[x]＝6，[2x]＝4，此时f（x）＝2，函数f（x）在区间[0，2]上所有可能取值的和为2；故选：B．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的不得分）9．已知集合U＝（﹣∞，+∞），A＝{x|2x2﹣x≤0}，B＝{y|y＝x2}，则（）A．A∩B＝[0，] B．∁UA⊆∁UB C．A∪B＝B D．∁BA＝（，+∞）解：∵集合U＝（﹣∞，+∞），A＝{x|2x2﹣x≤0}＝{x|0≤x≤}，B＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，∴A∩B＝[0，]，故A正确；∁UA＝{x|x＜0或x＞}，∁UB＝{x|x＜0}，∴∁UA⊇∁UB，故B错误；A∪B＝[0，+∞）＝B，故C正确；∁BA＝{x|x}＝（，+∞）．故D正确．故选：ACD．10．下列说法正确的是（）A．设a＞0，b∈R，则“a＞b”是“a＞|b|”的必要不充分条件 B．“c＜0”是“二次方程x2+bx+c＝0（b，c∈R）有两个不等实根”的充分不必要条件 C．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，则“A＞B”是“a＞b”的充要条件 D．设平面四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD为矩形”是“AC＝BD”的既不充分也不必要条件解：对于A，设a＞0，b∈R，则由a＞b不一定得到a＞|b|，如a＝1，b＝﹣2，反之，由a＞|b|，可得﹣a＜b＜a，即a＞b，则“a＞b”是“a＞|b|”的必要不充分条件，故A正确；对于B，若c＜0，则△＝b2﹣4c＞0，可得二次方程x2+bx+c＝0（b，c∈R）有两个不等实根，反之，若二次方程x2+bx+c＝0（b，c∈R）有两个不等实根，则△＝b2﹣4c＞0，即b2＞4c，不一定有c＜0，∴“c＜0”是“二次方程x2+bx+c＝0（b，c∈R）有两个不等实根”的充分不必要条件，故B正确；对于C，△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，则A＞B⇔a＞b，即“A＞B”是“a＞b”的充要条件，故C正确；对于D，设平面四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，则由四边形ABCD为矩形，可得AC＝BD，反之，由AC＝BD，不一定得到四边形ABCD为矩形，也可能是等腰梯形，∴“四边形ABCD为矩形”是“AC＝BD”的充分不必要条件，故D错误．故选：ABC．11．设a＞b＞0，c≠0，则（）A．ac2＜bc2 B．＜ C．a2﹣＞b2﹣ D．a2+＞b2+解：因为a＞b＞0，c≠0，所以ac2＞bc2，故A错误；﹣＝，因为b﹣a＜0，c2＞0，a+c2＞0，所以﹣＝＜0，即＜，故B正确；因为a＞b＞0，所以a2＞b2，＜，则﹣＞﹣，所以a2﹣＞b2﹣，故C正确；取a＝，b＝，可得a2+＝，b2+＝4，a2+＜b2+，故D错误．故选：BC．12．已知函数f（x）＝，则（）A．y＝f（x）为偶函数 B．f（x）的值域是（﹣1，1） C．方程f（x）+x2＝0只有一个实根 D．对∀x1，x2∈R，x1≠x2，有＜0解：对于A：f（﹣x）＝，可得f（x）的奇函数，∴A错误；对于B：f（x）＝＝，∴f（x）的值域是（﹣1，1），∴B正确；对于C：由f（x）+x2＝0，显然x＝0是方程的一个实数根，当x≠0时，可得，即﹣x|x|﹣x﹣1＝0，x≥0时，显然方程没有实数根，当x＜0时，即x2﹣x﹣1＝0方程有一个实数根，∴C错误；对于D：当x≥0时，可得f（x）＝﹣1+是单调递减函数，当x＜0时，可得f（x）＝1是单调递减函数，所以对∀x1，x2∈R，x1≠x2，有＜0，∴D正确；故选：BD．三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．已知a，b都是正实数，且2a+b＝1，则+的最小值是8．解：∵a，b都是正实数，且2a+b＝1，∴+＝（2a+b）＝4+≥4+2＝8，当且仅当b＝2a＝时取等号．故答案为：8．14．已知二次函数y＝2x2﹣mx在[1，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是m≤4．解：因为二次函数y＝2x2﹣mx在[1，+∞）上单调递增，所以，解得m≤4．故答案为：m≤4．15．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为{0，，2}．解：集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若a＝0，则B＝∅，即有B⊆A；若a＞0，可得B＝{﹣，}，不满足B⊆A；若A，B两个集合有公共元素，但互不为对方子集，可得＝2或﹣＝﹣1，解得a＝或a＝2．综上可得，a＝0或或2；故答案为：{0，，2}．16．依法纳税是每个公民应尽的义务．根据《中华人民共和国个人所得税法》，自2019年1月1日起，以居民个人每一纳税年度的综合所得收入额减除费用六万元以及专项扣除、专项附加扣除和依法确定的其他扣除后的余额作为应纳税所得额，按照百分之三至百分之四十五的超额累进税率（见表），计算个人综合所得个税：级数全年应纳税所得额税率（%1不超过36000元的32超过36000元至144000元的部分103超过144000元至300000元的部分204超过300000元至420000元的部分255超过420000元至660000元的部分306超过660000元至960000元的部分357超过960000元的部分45若小王全年缴纳的综合所得个税为1380元，其中专项扣除占全年综合所得收入额的20%，专项附加扣除和依法确定的其他扣除为50000元，则小王全年综合所得收入额为186250（单位：元）．解：∵小王全年缴纳的综合所得个税为1380∈（1080，11880），∴可知小王的应纳税所得额超过36000元但不超过144000元，设小王全年综合所得收入额为x，则36000×3%+[x﹣36000﹣60000﹣50000﹣20x%]×10%＝1380，解得x＝186250元．∴小王全年综合所得收入额为186250元．故答案为：186250．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）＝x+．（1）根据定义证明f（x）在[1，+∞）上为增函数；（2）若对∀x∈[2，4]，恒有f（x）≤2m﹣1，求实数m的取值范围．【解答】（1）证明：设1≤x1＜x2，则：＝，因为x2＞x1≥1．所以x2﹣x1＞0且x1x2＞1．所以，即f（x2）﹣f（x1）＞0，f（x1）＞f（x2），所以f（x）在[1，+∞）上是增函数．（2）解：因f（x）在[2，4]是增函数，所以，所以，即，所以m取值范围是．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣4＜x≤3}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≥0}，C＝{x||x﹣m|＞2}．（1）若m＝1，求A∩B；（2）在①x∈B，②x∈C这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．问题：已知p：x∈A，q：____，若￢q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．解：（1）当m＝1时，不等式x2﹣2mx+m2﹣1≥0化为x2﹣2x≥0，解得x≤0或x≥2，∴B＝{x|x≤0或x≥2}，又A＝{x|﹣4＜x≤3}，∴A∩B＝{x|﹣4＜x≤0或2≤x≤3}；（2）若选择条件①．∵￢q是p的充分不必要条件，即∁RB⫋A，∵x2﹣2mx+m2﹣1≥0，∴x≤m﹣1或x≥m+1，则B＝{x|x≤m﹣1或x≥m+1}，∴∁RB＝（m﹣1，m+1），从而（m﹣1，m+1）⫋（﹣4，3]，∴，即﹣3≤m≤2；若选择条件②．∵￢q是p的充分不必要条件，即∁RC⫋A，由|x﹣m|＞2，得x＜m﹣2或x＞m+2，∴C＝{x|x＜m﹣2或x＞m+2}，∴∁RC＝[m﹣2，m+2]，从而[m﹣2，m+2]⫋（﹣4，3]，∴，即﹣2＜m≤1．19．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x3+x2．（1）求f（x）的解析式，并补全f（x）的图象；（2）求使不等式f（m）﹣f（1﹣2m）＞0成立的实数m的取值范围．解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，于是f（﹣x）＝﹣x3+x2，又因为f（x）是偶函数，所以f（x）＝f（﹣x）＝﹣x3+x2，所以f（x）＝，图象见右图．（2）因为f（x）为偶函数，所以原不等式等价于f（|m|）＞f（|1﹣2m|），又由（1）的图象可知，f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以|m|＞|1﹣2m|，两边平方得m2＞1﹣4m+4m2，即3m2﹣4m+1＜0，解得＜m＜1，所以实数m的取值范围是{m|＜m＜1}．20．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣3x+b，不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜t}，b，t∈R．（1）求b和t的值；（2）若x∈[1，4]时，函数y＝f（x）的图象恒在y＝kx2图象的上方，求实数k的取值范围．解：（1）∵f（x）＝x2﹣3x+b＜0的解集为{x|1＜x＜t}，∴1和t是方程x2﹣3x+b＝0的两根，∴，解得b＝t＝2，（2）由题意可得，x∈[1，4]时，x2﹣3x+2＞kx2，即k，令t＝，则k＜g（t）＝2t2﹣3t+1，t，∵g（t）＝2t2﹣3t+1＝2（t﹣）2，t，当t＝时，g（t）min＝﹣，∴k．21．（12分）科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润p（x）（单位：万元）与投入的月研发经费x（15≤x≤40，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，p（x）＝﹣x2+8x﹣90；当投入月研发经费高于36万元时，p（x）＝0.4x+54．对于企业而言，研发利润率y＝×100%，是优化企业管理的重要依据之一，y越大，研发利润率越高，反之越小．（1）求该企业生产此设备的研发利润率y的最大值以及相应月研发经费x的值；（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费x的取值范围．解：（1）由已知，当15≤x≤36时，y＝，当且仅当，即x＝30时取等号；当36＜x≤40时，y＝，∵y＝0.4+在（36，40]上单调递减，∴y＜0.4+．∵2＞1.9