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文档简介
2020-2021学年湖北省荆州市沙市中学高一上学期期中数学试卷一、选择题(共8小题).1.(5分)已知全集U={x|x≤4},A={x|﹣2<x<3},B={x|﹣3≤x≤2},则(∁UA)⋃(∁UB)=()A.(﹣∞,﹣2]∪(2,+∞) B.(﹣∞,﹣2]∪(2,4] C.(﹣∞,﹣2)∪[2,4] D.(﹣3,4]2.(5分)下列从集合A到集合B的对应中,是映射的是()A.A={0,3},B={0,1},f:x→y=2x B.A={﹣2,0,2},B={4},f:x→y=|x| C.A=R,B={y|y>0},f:x→y= D.A=R,B=R,f:x→y=2x+13.(5分)若,则f(0)=()A.1 B.0 C. D.4.(5分)已知函数f(2x)的定义域为,则函数f(1﹣3x)的定义域是()A. B. C.(0,3) D.5.(5分)函数f(x)=﹣x2﹣2x在[a,b]上的值域是[﹣3,1],若b=1,则a+b的取值集合为()A.[﹣3,﹣1] B.[﹣2,0] C.[﹣4,0] D.[﹣2,1]6.(5分)函数在(2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是()A.(1,+∞) B.[﹣2,+∞) C.(﹣2,+∞) D.[﹣2,﹣1)∪(1,+∞)7.(5分)已知y=f(x+1)为偶函数,且y=f(x)在[1,+∞)上单调递增,则不等式的解集为()A.() B.[) C.() D.[)8.(5分)若关于x的方程x|x﹣a|=a有三个不相同的实根,则实数a的取值范围为()A.(0,4) B.(﹣4,0) C.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞) D.(﹣4,0)∪(0,4)二、多选题(共4小题)9.(5分)若<<0,则下列不等式中,正确的不等式有()A.a+b<ab B.|a|>|b| C.a<b D.+>210.(5分)下列说法正确的有()A.函数在其定义域内是减函数 B.命题“∃x∈R,x2+x+1>0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1≤0” C.两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件 D.若y=f(x)为奇函数,则y=xf(x)为偶函数11.(5分)已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(16,4),则下列命题正确的有()A.函数是偶函数 B.函数是增函数 C.当x>1时,f(x)>1 D.当0<x1<x2时,12.(5分)若函数的值域为[0,+∞),则a的可能取值为()A.0 B.2 C.4 D.6二、填空题(每小题5分,共20分)13.(5分)已知f(x)为R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+x+1;那么y=f(x)在x<0上的解析式为.14.(5分)已知,则=.15.(5分)已知函数f(x)=x|x|,若f(2a+1)≥f(4﹣a),则a的取值范围是.16.(5分)已知正数x,y满足2x+y=xy+a,当a=0时,x+y的最小值为;当a=﹣2时,x+y的最小值为.三、解答题(70分)17.(10分)记函数f(x)=的定义域为A,g(x)=(a<1)的定义域为B.(1)求A;(2)若B⊆A,求实数a的取值范围.18.(12分)已知函数是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且.(1)求f(x)的解析式;(2)用定义证明:f(x)在区间(﹣1,1)上是增函数;(3)解关于t的不等式f(t﹣1)+f(t)>0.19.(12分)在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用氧量为v2;②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为(米/单位时间),单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y.(1)将y表示为v的函数;(2)试确定下潜速度v,使总的用氧量最少.20.(12分)已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)﹣f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0.(1)求f(0)的值,及f(x)的解析式;(2)当﹣2≤x≤1时,不等式f(x)﹣a≥(1﹣a)x﹣5恒成立,求a的取值范围.21.(12分)已知函数(1)画出函数f(x)图象,并指出函数f(x)在区间(0,1)及[1,+∞)上的单调性;(2)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求的值;(3)若对所有的x∈[1,2],a∈[﹣1,1],都有恒成立,求实数m的取值范围.22.(12分)对于定义域为D的函数f(x),若同时满足下列条件:①f(x)在D内有单调性;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在区间[a,b]上的值域也为[a,b],则称f(x)为D上的“和谐”函数,[a,b]为函数f(x)的“和谐”区间.(Ⅰ)求“和谐”函数y=x3符合条件的“和谐”区间;(Ⅱ)判断函数是否为“和谐”函数?并说明理由.(Ⅲ)若函数是“和谐”函数,求实数m的取值范围.
参考答案一、单选题(每小题5分,40分)1.(5分)已知全集U={x|x≤4},A={x|﹣2<x<3},B={x|﹣3≤x≤2},则(∁UA)⋃(∁UB)=()A.(﹣∞,﹣2]∪(2,+∞) B.(﹣∞,﹣2]∪(2,4] C.(﹣∞,﹣2)∪[2,4] D.(﹣3,4]【分析】根据全集U求出A的补集,找出A补集与B补集的并集即可.解:∵全集U={x|x≤4},A={x|﹣2<x<3},B={x|﹣3≤x≤2},∴∁UA={x|x≤﹣2或3≤x≤4},∁UB={x|x<﹣3或2<x≤4}∴(∁UA)⋃(∁UB)=(﹣∞,﹣2]∪(2,4].故选:B.2.(5分)下列从集合A到集合B的对应中,是映射的是()A.A={0,3},B={0,1},f:x→y=2x B.A={﹣2,0,2},B={4},f:x→y=|x| C.A=R,B={y|y>0},f:x→y= D.A=R,B=R,f:x→y=2x+1【分析】根据映射的定义,逐一判断四个答案中的对应,是否满足映射的定义,可得答案.解:A中对应,当x=3时B中无对应元素,故不是映射;B中对应,A中任一元素的绝对值在B中均无对应元素,故不是映射;C中对应,当x=0时,B中无对应元素,故不是映射;D中对应,任意x∈A=R,都有唯一y=2x+1∈B=R与之对应,故是映射;故选:D.3.(5分)若,则f(0)=()A.1 B.0 C. D.【分析】根据题意,由函数的解析式:在f[g(x)]=f(1﹣2x)=中,令x=,计算可得答案.解:根据题意,若1﹣2x=0,则x=,在f[g(x)]=f(1﹣2x)=中,令x=,可得f(0)==,故选:C.4.(5分)已知函数f(2x)的定义域为,则函数f(1﹣3x)的定义域是()A. B. C.(0,3) D.【分析】由0<x<,得出0<2x<3,从而0≤1﹣3x<3,解出即可.解:∵0<x<,∴0<2x<3,∴0<1﹣3x<3,解得:﹣<x<,故选:A.5.(5分)函数f(x)=﹣x2﹣2x在[a,b]上的值域是[﹣3,1],若b=1,则a+b的取值集合为()A.[﹣3,﹣1] B.[﹣2,0] C.[﹣4,0] D.[﹣2,1]【分析】因为函数f(x)在x=﹣1处取得最大值1,并且方程﹣x2﹣2x=﹣3的根是﹣3或1,又b=1,则﹣3≤a≤﹣1,从而求得a+b的取值集合.解:f(x)=﹣x2﹣2x=﹣(x+1)2+1,∴x=﹣1时,f(x)取到最大值1,方程﹣x2﹣2x=﹣3的根是x=﹣3或1.若b=1,则﹣3≤a≤﹣1,∴a+b的取值集合围是:[﹣2,0].故选:B.6.(5分)函数在(2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是()A.(1,+∞) B.[﹣2,+∞) C.(﹣2,+∞) D.[﹣2,﹣1)∪(1,+∞)【分析】根据分离常数法,得到f(x)=a+,结合函数的单调性求出a的取值范围即可.解:f(x)=a+,函数y=在(2,+∞)递减,而f(x)在(2,+∞)递增,故1﹣a2<0,解得:a>1或a<﹣1,但2+a≥0,(x>2),故a≥﹣2,故a的取值范围是[﹣2,﹣1)∪(1,+∞),故选:D.7.(5分)已知y=f(x+1)为偶函数,且y=f(x)在[1,+∞)上单调递增,则不等式的解集为()A.() B.[) C.() D.[)【分析】根据y=f(x+1)是偶函数,得到y=f(x+1)的对称轴为y轴,进而确定出f(x)的对称轴,利用函数增减性求出所求不等式的解集即可.解:∵函数y=f(x+1)是偶函数,∴y=f(x+1)关于y轴对称,∵y=f(x+1)向右平移1个单位得到y=f(x),∴y=f(x)关于直线x=1对称,∵f(x)在[1,+∞)上单调递增,∴f(x)在(﹣∞,1]上单调递减,∵不等式,|2x﹣1|<|﹣1|,即|2x﹣1|<,解得<x<.故选:A.8.(5分)若关于x的方程x|x﹣a|=a有三个不相同的实根,则实数a的取值范围为()A.(0,4) B.(﹣4,0) C.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞) D.(﹣4,0)∪(0,4)【分析】因为本题是选择题,答案又都是范围,所以可采用特殊值代入法.取a=2时排除答案A,D.a=﹣2时排除答案B可得结论.【解答】解;因为本题是选择题,答案又都是范围,所以可采用特殊值代入法.取a=2时,关于x的方程x|x﹣a|=a转化为x|x﹣2|=2,即为当x≥2时,就转化为x(x﹣2)=2,⇒x=1+或x=1﹣(舍),有一根1+.当x<2时,就转化为x(x﹣2)=﹣2,⇒x不存在,无根.所以a=2时有1个根不成立.排除答案A,D.同理可代入a=﹣2解得方程的根有1个,不成立.排除答案B、故选:C.二、多选题(每小题5分,20分)9.(5分)若<<0,则下列不等式中,正确的不等式有()A.a+b<ab B.|a|>|b| C.a<b D.+>2【分析】由<<0,判断出a,b的符号和大小,再利用不等式的性质及重要不等式判断命题的正误.解:∵<<0,∴b<a<0,∴a+b<0<ab,故A正确.∴﹣b>﹣a>0,则|b|>|a|,故B错误.C显然错误.由于,,∴+>2=2,故D正确.故选:AD.10.(5分)下列说法正确的有()A.函数在其定义域内是减函数 B.命题“∃x∈R,x2+x+1>0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1≤0” C.两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件 D.若y=f(x)为奇函数,则y=xf(x)为偶函数【分析】直接利用函数的定义域和单调性和函数的奇偶性的应用判定AD的结论,利用命题的否定判断B的结论,利用充分条件和必要条件判断C的结论.解:对于A:函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),所以函数在(0,+∞)和(﹣∞,0)上都为单调递减函数,故A错误;对于B:命题“∃x∈R,x2+x+1>0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1≤0”故B正确;对于C:两个三角形全等,则两个三角形必相似,但是两个三角形相似,则这两个三角形不一定全等,则两个三角形全等是两个三角形相似的充分不必要条件,故C错误;对于D:若y=f(x)为奇函数,且函数y=x也为奇函数,则函数则y=xf(x)为偶函数,故D正确.故选:BD.11.(5分)已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(16,4),则下列命题正确的有()A.函数是偶函数 B.函数是增函数 C.当x>1时,f(x)>1 D.当0<x1<x2时,【分析】求出幂函数f(x)的解析式,再判断选项中的命题是否正确.解:幂函数f(x)=xα的图象经过点(16,4),所以16α=4,解得α=,所以f(x)==;所以f(x)是非奇非偶的函数,是定义域[0,+∞)上的增函数;当x>1时,f(x)>f(1)=1;画出f(x)在[0,+∞)上的图象,如图所示:由图象知,当0<x1<x2时,;所以正确的选项是BCD.故选:BCD.12.(5分)若函数的值域为[0,+∞),则a的可能取值为()A.0 B.2 C.4 D.6【分析】分a=0和a≠0两类,结合一次函数、二次函数和根式的性质,求解即可.解:当a=0时,y=≥0成立,符合题意;当a≠0时,设f(x)=ax2+4x+1,要使原函数的值域为[0,+∞),则a>0且△=16﹣4a≥0,解得0<a≤4,综上,a的取值范围为[0,4],故选:ABC.二、填空题(每小题5分,共20分)13.(5分)已知f(x)为R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+x+1;那么y=f(x)在x<0上的解析式为f(x)=﹣x2+x﹣1.【分析】根据题意,若x<0,则﹣x>0,求出f(﹣x)的表达式,结合函数的奇偶性分析可得答案.解:根据题意,若x<0,则﹣x>0,则f(﹣x)=(﹣x)2+(﹣x)+1=x2﹣x+1,又由f(x)为奇函数,则f(x)=﹣f(﹣x)=﹣x2+x﹣1,故f(x)=﹣x2+x﹣1,故答案为:f(x)=﹣x2+x﹣1.14.(5分)已知,则=100.【分析】根据题意,求出f(2﹣x)的表达式,分析可得f(x)+f(2﹣x)=2,据此计算可得答案.解:根据题意,,则f(2﹣x)==,则f(x)+f(2﹣x)=+=2,故=f()+f()+f()+f()+……+f()+f()=2×50=100,故答案为:100.15.(5分)已知函数f(x)=x|x|,若f(2a+1)≥f(4﹣a),则a的取值范围是[1,+∞).【分析】画出函数f(x)的图象,结合函数的单调性得到关于a的不等式,解出即可.解:由题意f(x)=,画出函数f(x)的图象,如图示:,显然函数f(x)在R递增,若f(2a+1)≥f(4﹣a),则2a+1≥4﹣a,解得:a≥1,故答案为:[1,+∞).16.(5分)已知正数x,y满足2x+y=xy+a,当a=0时,x+y的最小值为3+2;当a=﹣2时,x+y的最小值为7.【分析】当a=0时,则+=1,则x+y=(x+y)•(+)=3++,利用基本不等式即可求出;当a=﹣2时,y=,则可得x+y=x﹣1++3,利用基本不等式即可求出.解:当a=0时,2x+y=xy,则+=1,∴x+y=(x+y)•(+)=3++≥3+2=3+2,当且仅当x=1+,y=2+,故x+y的最小值为3+2,当a=﹣2时,2x+y=xy﹣2,当x=1时,等式不成立,当x≠1则y=>0,则x>1,x+y=x+=x+2+=x﹣1++3≥2+3=4+3=7,当且仅当x=3时取等号,∴x+y的最小值为7,故答案为:3+2,7.三、解答题(70分)17.(10分)记函数f(x)=的定义域为A,g(x)=(a<1)的定义域为B.(1)求A;(2)若B⊆A,求实数a的取值范围.【分析】(1)要使f(x)有意义,则需由2﹣≥0按分式不等式的解法求求A;(2)要使g(x)有意义,则由真数大于零求解,然后按照B⊆A,求解.解:(1)由2﹣≥0得:≥0,解得x<﹣1或x≥1,即A=(﹣∞,﹣1)∪[1,+∞);(2)由(x﹣a﹣1)(2a﹣x)≥0得:(x﹣a﹣1)(x﹣2a)≤0由a<1得a+1>2a,∴B=[2a,a+1]∵B⊆A,∴2a≥1或a+1<﹣1即a≥或a<﹣2,而a<1,∴≤a<1或a<﹣2故当B⊆A时,实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪[,1).18.(12分)已知函数是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且.(1)求f(x)的解析式;(2)用定义证明:f(x)在区间(﹣1,1)上是增函数;(3)解关于t的不等式f(t﹣1)+f(t)>0.【分析】(1)首先利用函数在(﹣1,1)上有定义且为奇函数,所以f(0)=0,首先确定b的值,进一步利f()=求出a的值,最后确定函数的解析式.(2)直接利用定义法证明函数的增减性.(3)根据以上两个结论进一步求出参数的取值范围.【解答】(1)解:函数f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数.所以:f(0)=0,得到:b=0,由于且f()=所以:=,解得:a=1所以:f(x)=;(2)证明:设﹣1<x1<x2<1,则:f(x2)﹣f(x1)=﹣=,由于:﹣1<x1<x2<1,所以:0<x1x2<1,即:1﹣x1x2>0,所以>0,则:f(x2)﹣f(x1)>0,f(x)在(﹣1,1)上的增函数;(3)由于函数是奇函数,所以:f(﹣x)=﹣f(x),所以f(t﹣1)+f(t)>0,转化成f(t﹣1)>﹣f(t)=f(﹣t).则:﹣1<t﹣1<1且﹣1<t<1且t﹣1>﹣t,解得:<t<1,所以不等式的解集为:{t|<t<1}.19.(12分)在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用氧量为v2;②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为(米/单位时间),单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y.(1)将y表示为v的函数;(2)试确定下潜速度v,使总的用氧量最少.【分析】(1)利用已知条件直接求解y表示为v的函数.(2)利用基本不等式求解函数的最值即可.解:(1)①下潜时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用氧量为v2;②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为(米/单位时间),单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y.…(8分)(2)…(12分)当且仅当即时取等号…(15分)答:当下潜速度为时,总用氧量最少.…(16分)20.(12分)已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)﹣f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0.(1)求f(0)的值,及f(x)的解析式;(2)当﹣2≤x≤1时,不等式f(x)﹣a≥(1﹣a)x﹣5恒成立,求a的取值范围.【分析】(1)令x=﹣1,y=1,由条件,结合f(1)=0,即可得到f(0);令y=0,结合f(0),即可求出f(x)的解析式;(2)将不等式转化为x2+ax+3﹣a≥0,令g(x)=x2+ax+3﹣a,利用二次函数的性质求得g(x)的最小值,从而可求得a的取值范围.解:(1)令x=﹣1,y=1,则由已知f(0)﹣f(1)=﹣1(﹣1+2+1),∴f(0)=﹣2,令y=0,则f(x)﹣f(0)=x(x+1),又∵f(0)=﹣2,∴f(x)=x2+x﹣2.(2)根据题意f(x)﹣a≥(1﹣a)x﹣5,则有x2+ax+3﹣a≥0,令g(x)=x2+ax+3﹣a,x∈[﹣2,1],对称轴为x=﹣,当﹣≤﹣2,即a≥4时,g(x)的最小值g(﹣2)=7﹣3a≥0,解得a≤,与a≥4矛盾;当﹣≥1,即a≤﹣2时,g(x)的最小值g(1)=4≥0恒成立,故a≤﹣2符合题意;当﹣2<﹣<1,即﹣2<a<4时,g(x)的最小值g(﹣)=﹣+3﹣a≥0,解得﹣6≤a≤2,所以﹣2<a≤2.综上,a的取值范围是a≤2.21.(12分)已知函数(1)画出函数f(x)图象,并指出函数f(x)在区间(0,1)及[1,+∞)上的单调性;(2)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求的值;(3)若对所有的x∈[1,2],a∈[﹣1,1],都有恒成立,求实数m的取值范围.【分析】(1)运用分段函数的图象画法可得f(x)的图象,结合图象可得所求单调性;(2)由题意可得0<a<1,b>1,可得f(a),f(b),整理可得所求和;(3)由题意可得m2﹣2am+≥f(x)max,由f(x)在[1,2]的单调性可得最大值,再设g(a)=m2﹣2am,a∈[﹣1,1],只需g(﹣1)≥0,且g(1)≥0,解不等式可得所求范围.解:(1)由分段函数的图象画法可得f(x)的图象,由图象可得f(x)在(0,1)为减函数,在(1,+∞)为增函数;(2)当0<a<b,且
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