2020-2021学年湖北省荆州市沙市中学高一(上)期中数学试卷-(解析版)

2020-2021学年湖北省荆州市沙市中学高一上学期期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）已知全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，则（∁UA）⋃（∁UB）＝（）A．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪（2，4] C．（﹣∞，﹣2）∪[2，4] D．（﹣3，4]2．（5分）下列从集合A到集合B的对应中，是映射的是（）A．A＝{0，3}，B＝{0，1}，f：x→y＝2x B．A＝{﹣2，0，2}，B＝{4}，f：x→y＝|x| C．A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝ D．A＝R，B＝R，f：x→y＝2x+13．（5分）若，则f（0）＝（）A．1 B．0 C． D．4．（5分）已知函数f（2x）的定义域为，则函数f（1﹣3x）的定义域是（）A． B． C．（0，3） D．5．（5分）函数f（x）＝﹣x2﹣2x在[a，b]上的值域是[﹣3，1]，若b＝1，则a+b的取值集合为（）A．[﹣3，﹣1] B．[﹣2，0] C．[﹣4，0] D．[﹣2，1]6．（5分）函数在（2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞） B．[﹣2，+∞） C．（﹣2，+∞） D．[﹣2，﹣1）∪（1，+∞）7．（5分）已知y＝f（x+1）为偶函数，且y＝f（x）在[1，+∞）上单调递增，则不等式的解集为（）A．（） B．[） C．（） D．[）8．（5分）若关于x的方程x|x﹣a|＝a有三个不相同的实根，则实数a的取值范围为（）A．（0，4） B．（﹣4，0） C．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） D．（﹣4，0）∪（0，4）二、多选题（共4小题）9．（5分）若＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有（）A．a+b＜ab B．|a|＞|b| C．a＜b D．+＞210．（5分）下列说法正确的有（）A．函数在其定义域内是减函数 B．命题“∃x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≤0” C．两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件 D．若y＝f（x）为奇函数，则y＝xf（x）为偶函数11．（5分）已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），则下列命题正确的有（）A．函数是偶函数 B．函数是增函数 C．当x＞1时，f（x）＞1 D．当0＜x1＜x2时，12．（5分）若函数的值域为[0，+∞），则a的可能取值为（）A．0 B．2 C．4 D．6二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知f（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2+x+1；那么y＝f（x）在x＜0上的解析式为．14．（5分）已知，则＝．15．（5分）已知函数f（x）＝x|x|，若f（2a+1）≥f（4﹣a），则a的取值范围是．16．（5分）已知正数x，y满足2x+y＝xy+a，当a＝0时，x+y的最小值为；当a＝﹣2时，x+y的最小值为．三、解答题（70分）17．（10分）记函数f（x）＝的定义域为A，g（x）＝（a＜1）的定义域为B．（1）求A；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数；（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＞0．19．（12分）在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v（米/单位时间），单位时间内用氧量为v2；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为（米/单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y．（1）将y表示为v的函数；（2）试确定下潜速度v，使总的用氧量最少．20．（12分）已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1）成立，且f（1）＝0．（1）求f（0）的值，及f（x）的解析式；（2）当﹣2≤x≤1时，不等式f（x）﹣a≥（1﹣a）x﹣5恒成立，求a的取值范围．21．（12分）已知函数（1）画出函数f（x）图象，并指出函数f（x）在区间（0，1）及[1，+∞）上的单调性；（2）当0＜a＜b，且f（a）＝f（b）时，求的值；（3）若对所有的x∈[1，2]，a∈[﹣1，1]，都有恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）对于定义域为D的函数f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内有单调性；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，则称f（x）为D上的“和谐”函数，[a，b]为函数f（x）的“和谐”区间．（Ⅰ）求“和谐”函数y＝x3符合条件的“和谐”区间；（Ⅱ）判断函数是否为“和谐”函数？并说明理由．（Ⅲ）若函数是“和谐”函数，求实数m的取值范围．

参考答案一、单选题（每小题5分，40分）1．（5分）已知全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，则（∁UA）⋃（∁UB）＝（）A．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪（2，4] C．（﹣∞，﹣2）∪[2，4] D．（﹣3，4]【分析】根据全集U求出A的补集，找出A补集与B补集的并集即可．解：∵全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，∴∁UA＝{x|x≤﹣2或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x＜﹣3或2＜x≤4}∴（∁UA）⋃（∁UB）＝（﹣∞，﹣2]∪（2，4]．故选：B．2．（5分）下列从集合A到集合B的对应中，是映射的是（）A．A＝{0，3}，B＝{0，1}，f：x→y＝2x B．A＝{﹣2，0，2}，B＝{4}，f：x→y＝|x| C．A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝ D．A＝R，B＝R，f：x→y＝2x+1【分析】根据映射的定义，逐一判断四个答案中的对应，是否满足映射的定义，可得答案．解：A中对应，当x＝3时B中无对应元素，故不是映射；B中对应，A中任一元素的绝对值在B中均无对应元素，故不是映射；C中对应，当x＝0时，B中无对应元素，故不是映射；D中对应，任意x∈A＝R，都有唯一y＝2x+1∈B＝R与之对应，故是映射；故选：D．3．（5分）若，则f（0）＝（）A．1 B．0 C． D．【分析】根据题意，由函数的解析式：在f[g（x）]＝f（1﹣2x）＝中，令x＝，计算可得答案．解：根据题意，若1﹣2x＝0，则x＝，在f[g（x）]＝f（1﹣2x）＝中，令x＝，可得f（0）＝＝，故选：C．4．（5分）已知函数f（2x）的定义域为，则函数f（1﹣3x）的定义域是（）A． B． C．（0，3） D．【分析】由0＜x＜，得出0＜2x＜3，从而0≤1﹣3x＜3，解出即可．解：∵0＜x＜，∴0＜2x＜3，∴0＜1﹣3x＜3，解得：﹣＜x＜，故选：A．5．（5分）函数f（x）＝﹣x2﹣2x在[a，b]上的值域是[﹣3，1]，若b＝1，则a+b的取值集合为（）A．[﹣3，﹣1] B．[﹣2，0] C．[﹣4，0] D．[﹣2，1]【分析】因为函数f（x）在x＝﹣1处取得最大值1，并且方程﹣x2﹣2x＝﹣3的根是﹣3或1，又b＝1，则﹣3≤a≤﹣1，从而求得a+b的取值集合．解：f（x）＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，∴x＝﹣1时，f（x）取到最大值1，方程﹣x2﹣2x＝﹣3的根是x＝﹣3或1．若b＝1，则﹣3≤a≤﹣1，∴a+b的取值集合围是：[﹣2，0]．故选：B．6．（5分）函数在（2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞） B．[﹣2，+∞） C．（﹣2，+∞） D．[﹣2，﹣1）∪（1，+∞）【分析】根据分离常数法，得到f（x）＝a+，结合函数的单调性求出a的取值范围即可．解：f（x）＝a+，函数y＝在（2，+∞）递减，而f（x）在（2，+∞）递增，故1﹣a2＜0，解得：a＞1或a＜﹣1，但2+a≥0，（x＞2），故a≥﹣2，故a的取值范围是[﹣2，﹣1）∪（1，+∞），故选：D．7．（5分）已知y＝f（x+1）为偶函数，且y＝f（x）在[1，+∞）上单调递增，则不等式的解集为（）A．（） B．[） C．（） D．[）【分析】根据y＝f（x+1）是偶函数，得到y＝f（x+1）的对称轴为y轴，进而确定出f（x）的对称轴，利用函数增减性求出所求不等式的解集即可．解：∵函数y＝f（x+1）是偶函数，∴y＝f（x+1）关于y轴对称，∵y＝f（x+1）向右平移1个单位得到y＝f（x），∴y＝f（x）关于直线x＝1对称，∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，∵不等式，|2x﹣1|＜|﹣1|，即|2x﹣1|＜，解得＜x＜．故选：A．8．（5分）若关于x的方程x|x﹣a|＝a有三个不相同的实根，则实数a的取值范围为（）A．（0，4） B．（﹣4，0） C．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） D．（﹣4，0）∪（0，4）【分析】因为本题是选择题，答案又都是范围，所以可采用特殊值代入法．取a＝2时排除答案A，D．a＝﹣2时排除答案B可得结论．【解答】解；因为本题是选择题，答案又都是范围，所以可采用特殊值代入法．取a＝2时，关于x的方程x|x﹣a|＝a转化为x|x﹣2|＝2，即为当x≥2时，就转化为x（x﹣2）＝2，⇒x＝1+或x＝1﹣（舍），有一根1+．当x＜2时，就转化为x（x﹣2）＝﹣2，⇒x不存在，无根．所以a＝2时有1个根不成立．排除答案A，D．同理可代入a＝﹣2解得方程的根有1个，不成立．排除答案B、故选：C．二、多选题（每小题5分，20分）9．（5分）若＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有（）A．a+b＜ab B．|a|＞|b| C．a＜b D．+＞2【分析】由＜＜0，判断出a，b的符号和大小，再利用不等式的性质及重要不等式判断命题的正误．解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴a+b＜0＜ab，故A正确．∴﹣b＞﹣a＞0，则|b|＞|a|，故B错误．C显然错误．由于，，∴+＞2＝2，故D正确．故选：AD．10．（5分）下列说法正确的有（）A．函数在其定义域内是减函数 B．命题“∃x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≤0” C．两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件 D．若y＝f（x）为奇函数，则y＝xf（x）为偶函数【分析】直接利用函数的定义域和单调性和函数的奇偶性的应用判定AD的结论，利用命题的否定判断B的结论，利用充分条件和必要条件判断C的结论．解：对于A：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以函数在（0，+∞）和（﹣∞，0）上都为单调递减函数，故A错误；对于B：命题“∃x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≤0”故B正确；对于C：两个三角形全等，则两个三角形必相似，但是两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等，则两个三角形全等是两个三角形相似的充分不必要条件，故C错误；对于D：若y＝f（x）为奇函数，且函数y＝x也为奇函数，则函数则y＝xf（x）为偶函数，故D正确．故选：BD．11．（5分）已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），则下列命题正确的有（）A．函数是偶函数 B．函数是增函数 C．当x＞1时，f（x）＞1 D．当0＜x1＜x2时，【分析】求出幂函数f（x）的解析式，再判断选项中的命题是否正确．解：幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），所以16α＝4，解得α＝，所以f（x）＝＝；所以f（x）是非奇非偶的函数，是定义域[0，+∞）上的增函数；当x＞1时，f（x）＞f（1）＝1；画出f（x）在[0，+∞）上的图象，如图所示：由图象知，当0＜x1＜x2时，；所以正确的选项是BCD．故选：BCD．12．（5分）若函数的值域为[0，+∞），则a的可能取值为（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】分a＝0和a≠0两类，结合一次函数、二次函数和根式的性质，求解即可．解：当a＝0时，y＝≥0成立，符合题意；当a≠0时，设f（x）＝ax2+4x+1，要使原函数的值域为[0，+∞），则a＞0且△＝16﹣4a≥0，解得0＜a≤4，综上，a的取值范围为[0，4]，故选：ABC．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知f（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2+x+1；那么y＝f（x）在x＜0上的解析式为f（x）＝﹣x2+x﹣1．【分析】根据题意，若x＜0，则﹣x＞0，求出f（﹣x）的表达式，结合函数的奇偶性分析可得答案．解：根据题意，若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）+1＝x2﹣x+1，又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+x﹣1，故f（x）＝﹣x2+x﹣1，故答案为：f（x）＝﹣x2+x﹣1．14．（5分）已知，则＝100．【分析】根据题意，求出f（2﹣x）的表达式，分析可得f（x）+f（2﹣x）＝2，据此计算可得答案．解：根据题意，，则f（2﹣x）＝＝，则f（x）+f（2﹣x）＝+＝2，故＝f（）+f（）+f（）+f（）+……+f（）+f（）＝2×50＝100，故答案为：100．15．（5分）已知函数f（x）＝x|x|，若f（2a+1）≥f（4﹣a），则a的取值范围是[1，+∞）．【分析】画出函数f（x）的图象，结合函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．解：由题意f（x）＝，画出函数f（x）的图象，如图示：，显然函数f（x）在R递增，若f（2a+1）≥f（4﹣a），则2a+1≥4﹣a，解得：a≥1，故答案为：[1，+∞）．16．（5分）已知正数x，y满足2x+y＝xy+a，当a＝0时，x+y的最小值为3+2；当a＝﹣2时，x+y的最小值为7．【分析】当a＝0时，则+＝1，则x+y＝（x+y）•（+）＝3++，利用基本不等式即可求出；当a＝﹣2时，y＝，则可得x+y＝x﹣1++3，利用基本不等式即可求出．解：当a＝0时，2x+y＝xy，则+＝1，∴x+y＝（x+y）•（+）＝3++≥3+2＝3+2，当且仅当x＝1+，y＝2+，故x+y的最小值为3+2，当a＝﹣2时，2x+y＝xy﹣2，当x＝1时，等式不成立，当x≠1则y＝＞0，则x＞1，x+y＝x+＝x+2+＝x﹣1++3≥2+3＝4+3＝7，当且仅当x＝3时取等号，∴x+y的最小值为7，故答案为：3+2，7．三、解答题（70分）17．（10分）记函数f（x）＝的定义域为A，g（x）＝（a＜1）的定义域为B．（1）求A；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．【分析】（1）要使f（x）有意义，则需由2﹣≥0按分式不等式的解法求求A；（2）要使g（x）有意义，则由真数大于零求解，然后按照B⊆A，求解．解：（1）由2﹣≥0得：≥0，解得x＜﹣1或x≥1，即A＝（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）；（2）由（x﹣a﹣1）（2a﹣x）≥0得：（x﹣a﹣1）（x﹣2a）≤0由a＜1得a+1＞2a，∴B＝[2a，a+1]∵B⊆A，∴2a≥1或a+1＜﹣1即a≥或a＜﹣2，而a＜1，∴≤a＜1或a＜﹣2故当B⊆A时，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪[，1）．18．（12分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数；（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＞0．【分析】（1）首先利用函数在（﹣1，1）上有定义且为奇函数，所以f（0）＝0，首先确定b的值，进一步利f（）＝求出a的值，最后确定函数的解析式．（2）直接利用定义法证明函数的增减性．（3）根据以上两个结论进一步求出参数的取值范围．【解答】（1）解：函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数．所以：f（0）＝0，得到：b＝0，由于且f（）＝所以：＝，解得：a＝1所以：f（x）＝；（2）证明：设﹣1＜x1＜x2＜1，则：f（x2）﹣f（x1）＝﹣＝，由于：﹣1＜x1＜x2＜1，所以：0＜x1x2＜1，即：1﹣x1x2＞0，所以＞0，则：f（x2）﹣f（x1）＞0，f（x）在（﹣1，1）上的增函数；（3）由于函数是奇函数，所以：f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（t﹣1）+f（t）＞0，转化成f（t﹣1）＞﹣f（t）＝f（﹣t）．则：﹣1＜t﹣1＜1且﹣1＜t＜1且t﹣1＞﹣t，解得：＜t＜1，所以不等式的解集为：{t|＜t＜1}．19．（12分）在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v（米/单位时间），单位时间内用氧量为v2；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为（米/单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y．（1）将y表示为v的函数；（2）试确定下潜速度v，使总的用氧量最少．【分析】（1）利用已知条件直接求解y表示为v的函数．（2）利用基本不等式求解函数的最值即可．解：（1）①下潜时，平均速度为v（米/单位时间），单位时间内用氧量为v2；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为（米/单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y．…（8分）（2）…（12分）当且仅当即时取等号…（15分）答：当下潜速度为时，总用氧量最少．…（16分）20．（12分）已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1）成立，且f（1）＝0．（1）求f（0）的值，及f（x）的解析式；（2）当﹣2≤x≤1时，不等式f（x）﹣a≥（1﹣a）x﹣5恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）令x＝﹣1，y＝1，由条件，结合f（1）＝0，即可得到f（0）；令y＝0，结合f（0），即可求出f（x）的解析式；（2）将不等式转化为x2+ax+3﹣a≥0，令g（x）＝x2+ax+3﹣a，利用二次函数的性质求得g（x）的最小值，从而可求得a的取值范围．解：（1）令x＝﹣1，y＝1，则由已知f（0）﹣f（1）＝﹣1（﹣1+2+1），∴f（0）＝﹣2，令y＝0，则f（x）﹣f（0）＝x（x+1），又∵f（0）＝﹣2，∴f（x）＝x2+x﹣2．（2）根据题意f（x）﹣a≥（1﹣a）x﹣5，则有x2+ax+3﹣a≥0，令g（x）＝x2+ax+3﹣a，x∈[﹣2，1]，对称轴为x＝﹣，当﹣≤﹣2，即a≥4时，g（x）的最小值g（﹣2）＝7﹣3a≥0，解得a≤，与a≥4矛盾；当﹣≥1，即a≤﹣2时，g（x）的最小值g（1）＝4≥0恒成立，故a≤﹣2符合题意；当﹣2＜﹣＜1，即﹣2＜a＜4时，g（x）的最小值g（﹣）＝﹣+3﹣a≥0，解得﹣6≤a≤2，所以﹣2＜a≤2．综上，a的取值范围是a≤2．21．（12分）已知函数（1）画出函数f（x）图象，并指出函数f（x）在区间（0，1）及[1，+∞）上的单调性；（2）当0＜a＜b，且f（a）＝f（b）时，求的值；（3）若对所有的x∈[1，2]，a∈[﹣1，1]，都有恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）运用分段函数的图象画法可得f（x）的图象，结合图象可得所求单调性；（2）由题意可得0＜a＜1，b＞1，可得f（a），f（b），整理可得所求和；（3）由题意可得m2﹣2am+≥f（x）max，由f（x）在[1，2]的单调性可得最大值，再设g（a）＝m2﹣2am，a∈[﹣1，1]，只需g（﹣1）≥0，且g（1）≥0，解不等式可得所求范围．解：（1）由分段函数的图象画法可得f（x）的图象，由图象可得f（x）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数；（2）当0＜a＜b，且