青岛版初中八年级数学上册2-6等腰三角形第3课时等边三角形的性质与判定课件

第2章图形的轴对称第3课时等边三角形的性质与判定2.6等腰三角形基础过关全练知识点3等边三角形及其性质1.(2022辽宁鞍山中考)如图,直线a∥b,等边三角形ABC的顶

点C在直线b上,∠2=40°,则∠1的度数为

()

A.80°

B.70°

C.60°

D.50°A解析如图,因为△ABC为等边三角形,

所以∠A=60°,因为∠A+∠3+∠2=180°,所以∠3=180°-40°-60°=80°,因为a∥b,所以∠1=∠3=80°.故选A.2.(2023甘肃武威中考)如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,

以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠

DEC=

()

A.20°

B.25°

C.30°

D.35°C解析因为△ABC是等边三角形,所以∠ABC=60°.因为BD是

AC边上的高,所以BD平分∠ABC,所以∠CBD=

∠ABC=30°.由作图痕迹得BD=ED,所以∠DEC=∠CBD=30°,故选C.3.(手拉手模型)(2024北京海淀师达中学期中)如图,B、C、D

在一条直线上,△ABC和△ADE是等边三角形,若CE=15,CD=

6,则AC=

.9解析因为△ABC、△ADE是等边三角形,所以AB=AC,AD=

AE,∠BAC=∠EAD=60°,所以∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠

CAD,即∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,

所以△BAD≌△CAE(SAS),所以BD=CE=15,所以BC=BD-CD=15-6=9.因为△ABC是等边三角形,所以AC=

BC=9.4.(2023山东菏泽成武期中)已知:如图,△ABC为等边三角形,

AE=CD,AD、BE相交于点P.(1)求证:△ABE≌△CAD.(2)求证:∠BPD=60°.证明(1)因为△ABC为等边三角形,所以AB=CA,∠ABC=∠BAE=∠ACD=60°,因为AE=CD,所以△ABE≌△CAD(SAS).(2)由(1)知△ABE≌△CAD,所以∠ABE=∠CAD,所以∠BPD=180°-(∠PBD+∠PDB)=180°-(∠PBD+∠C+∠

CAD)=180°-(∠PBD+∠C+∠ABE)=180°-(∠ABC+∠C)=180°

-120°=60°.知识点4等边三角形的判定5.(新独家原创)列出几种三角形:①三条边都相等的三角形;

②三个角都相等的三角形;③有一个角等于60°的等腰三角

形;④有两个角等于60°的三角形;⑤三个外角(每个顶点处各

取一个外角)都相等的三角形;⑥一腰上的中线也是这条腰上

的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有

()A.3个

B.4个

C.5个

D.6个D解析根据等边三角形的定义和判定方法可知,①②③都是

等边三角形;有两个角等于60°的三角形,第三个角也等于60°,

所以三个角都相等,④也是等边三角形;三个外角(每个顶点

处各取一个外角)都相等的三角形,三个内角也相等,⑤也是

等边三角形;一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形,

如图,AB=AC,BD是△ABC的边AC上的中线和高线,因为BD

是△ABC的边AC上的中线和高线,所以AD=CD,BD⊥AC,所

以AB=BC,又因为AB=AC,所以AB=AC=BC,所以△ABC是等

边三角形,⑥也是等边三角形.综上,是等边三角形的有6个.6.(2024山东聊城阳谷期中)如图,△ABC为等边三角形,BD⊥

AC于点D,DE∥BC交AB于点E.(1)求证:△ADE是等边三角形.(2)求证:AE=

AB.证明(1)因为△ABC为等边三角形,所以∠A=∠ABC=∠C=60°.因为DE∥BC,所以∠AED=∠ABC=60°,∠ADE=∠C=60°,所以∠A=∠AED=∠ADE,所以△ADE是等边三角形.(2)因为△ABC为等边三角形,所以AB=BC=AC.因为BD⊥AC,所以AD=

AC.因为△ADE是等边三角形,所以AE=AD,所以AE=

AB.能力提升全练7.(手拉手模型)(2024山东滨州滨城期中,16,★★★)如图,已

知点B是边AC上的动点(不与A,C重合),在AC的同侧作等边

△ABD和等边△BCE,连接AE,CD,得到结论:①△ABE≌△

DBC;②∠CBE=60°;③GF∥AC;④△BFG是等边三角形;⑤

HB平分∠AHC;⑥AH=DH+BH;⑦CH=BH+EH;⑧∠HGF=∠

HBF;⑨∠HFG=∠GBH;⑩图中共有2对全等三角形.其中正

确的是

.(填序号)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨解析因为△ABD、△BCE为等边三角形,所以AB=DB,∠

ABD=∠CBE=60°,BE=BC,所以∠DBE=60°,∠ABE=∠DBC.

在△ABE和△DBC中,

所以△ABE≌△DBC(SAS),①②正确;因为△ABE≌△DBC,所以∠BAE=∠BDC,

在△AGB和△DFB中,

所以△AGB≌△DFB(ASA),所以BG=BF.又因为∠DBF=60°,所以△BFG是等边三角形,所以∠BGF=60°=∠ABD,所以GF∥AC,③④正确;

因为△ABE≌△DBC,所以AE=DC,所以在△ABE和△DBC中,

AE和边DC上的高相等,即点B到AE和DC的距离相等,所以

HB平分∠AHC,⑤正确;如图,在AE上截取AN=DH,连接BN.在

△ABN和△DBH中,

所以△ABN≌△DBH(SAS),所以BN=BH,∠ABN=∠DBH,所以∠ABN+∠DBN=∠

DBH+∠DBN,即∠NBH=∠ABD=60°,所以△BNH是等边三角形,所以BH=NH,所以AH=AN+NH=DH+BH,⑥正确;如图,在

CD上截取CM=BH,连接EM.因为∠BAE=∠BDC,∠CHE=∠

BAE+∠BCD,所以∠CHE=∠BDC+∠BCD=∠ABD=60°.因为

HB平分∠AHC,所以∠BHG=∠BHF=60°,所以∠BEH+∠

EBH=∠BCH+∠ECM=60°,因为△ABE≌△DBC,所以∠BCD

=∠BEA,所以∠EBH=∠ECM,在△EBH和△ECM中,

所以△EBH≌△ECM(SAS),所以EM=EH,∠CEM=∠BEH,所以∠BEH+∠BEM=∠CEM+∠BEM=∠BEC=

60°,即∠HEM=60°,所以△EMH是等边三角形,所以EH=MH,

所以CH=CM+MH=BH+EH,⑦正确;因为∠BHG=∠BFG=60°,

所以∠BEH+∠HBF=∠BEH+∠HGF=60°,所以∠HGF=∠

HBF,所以∠EHC=∠HFG+∠HGF=∠GBH+∠HBF=60°,所

以∠HFG=∠GBH,⑧⑨正确;图中不只有2对全等三角形,⑩

错误.综上,正确的是①②③④⑤⑥⑦⑧⑨.8.(动点问题)(2024北京师大附属实验中学期中,18,★★★)如

图,在锐角△ABC中,∠A=30°,S△ABC=14,BC=4,点D,E,F分别为

AB,BC,AC上的动点,则△DEF周长的最小值为

.7解析如图,作点E关于AB的对称点G,作点E关于AC的对称

点H,连接GH,交AB于点D,交AC于点F,连接AG,AH,AE,由对

称性可知GD=DE,EF=FH,AG=AE=AH,∠GAD=∠DAE,∠

EAC=∠HAC,所以△DEF的周长=DE+DF+EF=GD+DF+FH

=GH,∠GAH=∠GAD+∠DAE+∠EAC+∠HAC=2∠DAE+2

∠EAC=2(∠DAE+∠EAC)=2∠BAC=60°,所以△AGH为等边

三角形,所以GH=AH=AG,所以GH=AE.当AE⊥BC时,AE最短,

此时△DEF的周长最小.因为BC=4,△ABC的面积为14,所以

AE=7,所以△DEF周长的最小值为7.素养探究全练9.(空间观念)(动点问题)(2020山东烟台中考)如图,在等边三

角形ABC中,点E是边AC上一定点,点D是直线BC上一动点,以

DE为一边作等边三角形DEF,连接CF.【问题解决】如图1,若点D在边BC上,求证:CE+CF=CD.【类比探究】如图2,若点D在边BC的延长线上,请探究线段

CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系,并说明理由.图1图2解析【问题解决】证明:如图①所示,在CD上截取CH=CE,

连接EH.

图①因为△ABC是等边三角形,所以∠ECH=60°,因为CE=CH,所以△CEH是等边三角形,所以EH=EC=CH,∠CEH=60°.因为△DEF是等边三角形,所以DE=FE,∠DEF=60°,所以∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°,所以∠DEH=∠

FEC.在△DEH和△FEC中,

所以△DEH≌△FEC(SAS),所以DH=CF,所以CD=CH+DH=CE+CF,即CE+CF=CD.【类比探究】CD+CE=CF.理由如下:因为△ABC是等边三角形,所以∠A=∠B=60°.如图②所示,过D作DG∥AB,交AC的延长线于点G,

图②所以∠GDC=∠B=60°,∠DGC=∠A=60°,所以△GCD为等边三角形,所以DG=CD=CG.因为△EDF为等边三角形,所以ED=DF,∠EDF=60°,所以∠EDF=∠GDC,所以∠EDG=∠FDC.在△EGD和△FCD中,

所以△EGD≌△FCD(SAS),所以EG=FC,所以CF=EG=CG+CE=CD+CE,即CD+CE=CF.10.(推理能力)(分类讨论思想)如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB,

点D在BC所在的直线上,点E在射线AC上,且AD=AE,连接DE.(1)如图1,若∠B=∠C=35°,∠BAD=80°,求∠CDE的度数.(2)如图2,若∠ABC=∠ACB=75°,∠CDE=18°,求∠BAD的度

数.(3)当点D在直线BC上(不与点B、C重合)运动时,试探究∠

BAD与∠CDE的数量关系,并说明理由.图1

图2备用图解析(1)因为∠B=∠C=35°,所以∠BAC=110°,因为∠BAD=80°,所以∠DAE=30°,因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED=

×(180°-30°)=75°,所以∠CDE=∠AED-∠C=75°-