青岛版初中八年级数学上册专项素养综合练(三)分类讨论思想在等腰三角形中的应用课件

专项素养综合全练(三)分类讨论思想在等腰三角形中的应用类型一针对腰长和底边长进行分类讨论1.(2023山东聊城冠县期中)若一个等腰三角形的两边长分别

为5和12,则该三角形的周长是

()A.5

B.5或12C.22或29

D.29D解析等腰三角形的两边长分别为5和12,分两种情况讨论:

①当底边长为12时,三角形的三边长分别为5,5,12,5+5<12,不

能构成三角形,舍去;②当底边长为5时,三角形的三边长分别

为12,12,5,满足三角形的三边关系,故三角形的周长为12+12

+5=29,故选D.2.(2023北京海淀建华实验学校期中)已知△ABC是等边三角

形,点D是AB边上的一个动点,点E是AC边上的一个动点,且

BD=CE,BE与CD交于点F.若△BFD是等腰三角形,则∠FBD

的度数是

()A.30°或60°

B.20°或40°C.15°或30°

D.20°或30°B解析因为△ABC是等边三角形,所以∠A=∠ABC=∠ACB=

60°.在△BCD和△CBE中,

所以△BCD≌△CBE(SAS),所以∠BCD=∠CBE,设∠BCD=∠CBE=x,则∠DBF=60°-x.如图,若△BFD是等腰三角形,分三种情况:

①若FD=FB,则∠FBD=∠FDB>∠A,即∠FBD=∠FDB>60°,因为∠FBD<∠ABC,即∠FBD<60°,所以FD=FB的情况不存在.②若DB=DF,则∠FBD=∠BFD.因为∠BFD=2x,∠FBD=60°-x,所以60°-x=2x,解得x=20°,所以∠FBD=40°.③若BD=BF,则∠BDF=∠BFD=2x,在△BDF中,因为∠DBF+∠BDF+∠BFD=180°,所以60°-x+2x+2x=180°,解得x=40°,所以∠FBD=20°.综上所述,∠FBD的度数是20°或40°,故选B.3.(2024山东聊城高唐期中)等腰三角形的周长为18,其中一

条边的长为8,则底边长是

.2或8解析分两种情况讨论,①当8为腰长时,底边长为18-8×2=2,

满足三角形的三边关系,能构成三角形;②当8为底边长时,腰

长为(18-8)÷2=5,满足三角形的三边关系,能构成三角形.综上,

底边长是2或8.4.(动点问题)(2023山东日照五莲期中)在△ABC中,AB=20

cm,BC=16cm,点D为线段AB的中点,动点P以2cm/s的速度从

点B出发在射线BC上运动,同时点Q以acm/s(a>0且a≠2)的

速度从点C出发在线段CA上运动,设运动时间为xs.(1)若AB=AC,P在线段BC上,当a为何值时,能够使△BPD和△

CQP全等?(2)当∠C=70°,△CPQ为等腰三角形时,求∠CPQ的度数.解析(1)因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为AB=20cm,D是AB的中点,所以BD=10cm,因为点Q的速度与点P的速度不同,所以BP≠CQ,要使△BPD和△CQP全等,则BP=CP=8cm,CQ=BD=10cm,所以x=

=4,所以a=

=

.(2)当点P在边BC上时,△CPQ为等腰三角形,有三种情况:①当PQ=CQ时,∠CPQ=∠C=70°;②当PQ=PC时,∠PQC=∠C=70°,所以∠CPQ=180°-2×70°=40°;③当PC=CQ时,因为∠C=70°,所以∠CPQ=∠CQP=

=55°.当点P在边BC的延长线上时,因为∠ACB=70°,所以∠ACP=110°,若△CPQ为等腰三角形,则PC=CQ,所以∠CPQ=∠CQP=

=35°.综上所述,当△CPQ为等腰三角形时,∠CPQ的度数为35°或4

0°或55°或70°.类型二针对顶角和底角进行分类讨论5.(2023浙江杭州十三中期中)等腰三角形的一个外角的度数

为100°,则这个等腰三角形的底角的度数为

()A.100°

B.80°C.50°

D.50°或80°D解析分两种情况考虑:①若度数为100°的外角是等腰三角

形的顶角的邻补角,则顶角的度数为180°-100°=80°,所以底角

的度数为(180°-80°)÷2=50°;②若度数为100°的外角是等腰三角形的底角的邻补角,则底

角的度数为180°-100°=80°.综上,这个等腰三角形的底角的度

数为50°或80°,故选D.6.在等腰三角形ABC中,∠A比∠B的2倍少50°,则∠B=

.56°或57.5°或50°解析设∠B=α,则∠A=2α-50°,分三种情况考虑问题:①若∠

B为顶角,则2∠A+∠B=180°,所以2(2α-50°)+α=180°,解得α=5

6°;②若∠B为底角,∠A为顶角,则∠A+2∠B=180°,所以2α-50

°+2α=180°,解得α=57.5°;③若∠A,∠B都是底角,则∠A=∠B,

所以2α-50°=α,解得α=50°.综上,∠B=56°或57.5°或50°.7.数学课上,张老师给出了下面的例题:例1等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°)例2等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或

70°或100°)张老师启发同学们进行变式,小敏编了一道题,如下:变式等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.(1)请你解答上面的变式题.(2)小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度

数时,请你探索x的取值范围.解析(1)若∠A为顶角,则∠B=

=50°;若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=180°-2×80°=20°;若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=80°.综上,∠B的度数为50°或20°或80°.(2)分两种情况:①当90≤x<180时,∠A只能为顶角,所以∠B的度数只有一个;②当0<x<90时,若∠A为顶角,则∠B=

°;若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=(180-2x)°;若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=x°.当

≠x且180-2x≠x,即x≠60时,∠B有三个不同的度数.综上所述,当0<x<90且x≠60时,∠B有三个不同的度数.类型三当高的位置不确定时,分类讨论8.(2023山东聊城冠县期中)在等腰三角形ABC中,CA=CB,过

点A作△ABC的高AD.若∠ACD=30°,则这个三角形的底角与

顶角的度数比为

()A.2∶5或10∶1

B.1∶10C.5∶2

D.5∶2或1∶10D解析分两种情况考虑:①高AD在△ABC的外部,如图,因为∠ACD=30°,所以∠ACB=180°-∠ACD=150°,因为CA=CB,所以∠B=∠CAB=15°,所以这个三角形的底角与顶角的度数比为15°∶150°=1∶10.②高AD在△ABC的内部,如图,因为∠ACD=30°,CA=CB,所以∠B=∠CAB=75°,所以这个三角形的底角与顶角的度数比为75°∶30°=5∶2.综上,这个三角形的底角与顶角的度数比为5∶2或1∶10,故

选D.9.(2022山东聊城莘县期末)等腰三角形一腰上的高与另一腰

的夹角为48°,则该等腰三角形底角的度数为

.69°或21°解析在△ABC中,AB=AC,BD为AC边上的高,分三种情况讨

论:①若∠BAC<90°,如图1所示,∠ABD=48°,因为BD⊥AC,所以∠ADB=90°,所以∠BAC=42°,因为AB=AC,所以∠ABC=∠C=

(180°-∠BAC)=69°;

图1

图2②若∠BAC>90°,如图2所示,∠ABD=48°,因为BD⊥AC,所以∠ADB=90°,因为∠BAC=∠ABD+∠ADB=138°,因为AB=AC,所以∠ABC=∠C=

(180°-∠BAC)=21°;③若∠BAC=90°,易知此种情况不符合题意.综上所述,该等腰三角形底角的度数为69°或21°.类型四当腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的交点位

置不确定时,分类讨论10.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相

交所得的锐角为50°,则底角∠B的度数为

.70°或20°解析分两种情况考虑:①当∠BAC为锐角,AB的垂直平分

线与线段AC相交时,如图1,则∠BAC=180°-∠AED-∠ADE=180°-90°-50°=40°,所以∠B=

∠C=

=70°;图1图2②当∠BAC为钝角,AB的垂直平分线与CA的延长线相交时,

如图2,则∠BAC=∠CDE+∠AED=50°+90°=140°,所以∠B=∠C=

=20°.综上,底角∠B的度数是70°或20°.11.(2023浙江杭州下城期中改编)已知△ABC中有一个内角

是30°,AB=AC,AB边的中垂线交直线BC于点D,连接AD,求∠

DAC的度数.解析分两种情况考虑:①底角∠B=30°,如图1,图1因为AB=AC,所以∠C=∠B=30°,因为AB边的中垂线交直线BC于点D,所以DA=DB,所以∠BAD=∠B=30°,所以∠ADC=∠BAD+∠B=30°+30°=60°,所以∠DAC=180°-30°-60°=90°.②顶角∠BAC=30°,如图2,

图2因为AB=AC,∠BAC=30°,所以∠B=∠ACB=(180°-30°)÷2=75°,因为AB边的中垂线交直线BC于点D,所以DA=DB,所以∠DAB=∠B=75°,所以∠DAC=∠DAB-∠BAC=75°-30°=45°.综上,∠DAC=90°或45°.类型五腰上的中线引起的分类讨论12.已知等腰三角形的底边长为5cm,一腰上的中线把其周

长分成差为3cm的两部分,求这个等腰三角形的周长.解析在△ABC中,AB=AC,BC=5cm,CD是AB边上的中线(图

略),设腰长是2xcm,分两种情况考虑:①当AD+AC与BC+BD的差是3cm时,(2x+x)-(x+5)=3,解得x=

4,所以2x=8,此时三角形的三边长分别为8cm,8cm,5cm,符

合三角形的三边关系,所以△ABC的周长为8+8+5=21(cm);②当BC+BD与AD+AC的差是3cm时,(x+5)-(2x+x)=3,解得x=

1,所以2x=2,此时三角形的三边长分别为2cm,2cm,5cm,不

符合三角形的三边关系.综上,这个等腰三角形的周长为21cm.类型六等腰三角形存在性问题中,因点的位置不确定引起

分类讨论13.如图,在平面直角坐标系中