华东师大版初中八年级数学上册专项素养综合练(八)勾股定理中的数学思想课件

专项素养综合全练(八)勾股定理中的数学思想类型一数形结合思想1.(网格作图题)(2024山东枣庄市中期中)由边长为1的小正方

形组成的网格如图所示,线段AB,CD,HG,EF的端点均在小正

方形的顶点上,则网格中4条线段的长为有理数的线段有

(

)

A.4条

B.3条C.2条

D.1条D解析由勾股定理可得AB=

=

,CD=

=5,HG=

=

,EF=

=

,∴网格中4条线段的长为有理数的线段有1条.故选D.2.(赵爽弦图模型)(2024吉林长春宽城期末)我国数学家赵爽

证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”,后人称之为

“赵爽弦图”,它是由4个全等的直角三角形和一个小正方

形组成一个大正方形.如图,直角三角形的直角边长为a、b,

斜边长为c.若b-a=2,c=10,则a+b的值为

(

)

A.12

B.14C.16

D.18B解析由题意可得,a2+b2=c2,∴a2+b2=102=100,∵b-a=2,∴b=a

+2,∴a2+(a+2)2=100,∴2a2+4a=96,∴2(a2+2a+1)=98,∴2(a+1)2=98,∴(a+1)2=49,∴a+1=±7,∵a>0,∴a=6,∴b=8,∴a+b=6+8=14.故选B.3.(2024陕西西安莲湖期末)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=

6,BD⊥AC于点D,则AD=

.类型二方程思想1.4解析设AD=x,则CD=5-x,在直角△ABD中,BD2=AB2-AD2=52-x2.在直角△BCD中,BD2=BC2-CD2=62-(5-x)2.所以52-x2=62-(5-x)2,

解得x=1.4.所以AD=1.4.4.(2024吉林长春净月实验中学期中)一个直角三角形一直角

边长为5cm,另一直角边长与斜边长的和为10cm,求这个直

角三角形另一直角边长与斜边长分别是多少.解析设另一直角边长为xcm,则斜边长为(10-x)cm,由勾股

定理得x2+52=(10-x)2,解得x=

,∴10-x=

.答:直角三角形另一直角边长与斜边长分别为

cm和

cm.5.(情境题·国家安全)我国海监船加大对某岛附近海域的巡

航维权力度.如图,OA⊥OB,OA=36海里,OB=12海里,该岛位

于O点,我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船,自A点

出发沿着AO方向匀速驶向该岛所在地点O,我国海监船立即

从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船,结果在

点C处截住了渔船.(1)请用直尺和圆规作出C处的位置.(2)求我国海监船行驶的航程BC的长.解析

(1)连结AB,如图,作线段AB的垂直平分线与OA交于点C.

(2)如图,连结BC,由作图可得CD为AB的中垂线,则CB=CA.由题意可得OC=36-CA=36-BC.∵OA⊥OB,∴在Rt△BOC中,BO2+OC2=BC2,即122+(36-BC)2=BC2,∴BC=20海里.答:我国海监船行驶的航程BC的长为20海里.6.(跨学科·物理)(2024江苏连云港期末)小丽在物理实验课上

利用如图所示的“光的反射演示器”直观呈现了光的反射

原理.她用激光笔从量角器左边边缘点A处发出光线,经量角

器圆心O处(此处放置平面镜)反射后,反射光线落在右边光

屏CE上的点D处,C在量角器的边缘上,O为量角器的中

心,C、O、B三点共线,AB⊥BC,CE⊥BC.小丽在实验中还记

录下了AB=6cm,BC=12cm.依据记录的数据,求量角器的半径OC的长.类型三转化思想解析∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,设OA=OC=xcm,∵BC=12cm,∴BO=BC-OC=(12-x)cm,在Rt△ABO中,AB=6cm,AB2+OB2=OA2,∴36+(12-x)2=x2,解得x

=7.5,∴OA=OC=7.5cm,∴量角器的半径OC的长为7.5cm.7.(最小值求值法)如图,小明家在一条东西走向的公路MN北

侧200米的点A处,小红家位于小明家北500米(AC=500米)、

东1200米(BC=1200米)的点B处.(1)求小明家到小红家的距离AB.(2)现要在公路MN上的点P处建一个快递驿站,使PA+PB的值

最小,请确定点P的位置,并求PA+PB的最小值.解析

(1)由题意知∠ACB=90°,在Rt△ABC中,AC=500米,BC=1200米,∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000,∵AB>0,∴AB=1300米.答:小明家到小红家的距离AB为1300米.(2)如图,作点A关于直线MN的对称点A',AA'交MN于点D,连结

A'B交MN于点P,点P即为所求位置,PA+PB的最小值即为A'B

的长.由题意知AD=200米,A'C⊥MN,∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900