北京东城区2021-2022高三年级上册数学期末试卷及答案

北京市东城区2021-2022学年度第一学期期末统一检测

高三数学2022.1

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作

答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

(1)已知集合4={—2,—1,0,1,2},B={x|-l<x<2},则AD8=

(A){0,1}(B){-1,0,1}(C){0,1,2}(D){一1,0,1,2}

(2)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为

(A)f(x)=\nx(B)f(x)=2x(C)f(x)=x3(D)f(x)=sinx

(3)在等比数列｛%｝中，若a；=164，则,=

(A)32(B)16(C)8(D)4

2

(4)在二项式(X——)5的展开式中，含/项的系数为

X

(A)5(B)-5(C)10(D)-10

(5)在平面直角坐标系中，角a的终边过点(-1,0),将a的终边绕原点按逆时针方向旋

转120°与角夕的终边重合，则cos4=

(A)-(B)--(C)立(D)

2222

(6)人类已进入大数据时代.目前，全球年数据产生量已经从TB级别跃升到PB,EB乃至

ZB级另(1TB=1024GB,1PB=1024TB,1EB=1024PB,1ZB=1024EB).由国际数据

公司IDC的研究结果得到2008年至2020年全球年数据产生量(单位：ZB)的散点图.

50

5.•

0~•—«__?__**~~1——■——■——■——■——1——■——■——

20072008200920102011201220132014201520162017201820192020时间/年

根据散点图，下面四个选项中最适宜刻画2008年至2020年全球年数据产生量y和时间x

的函数模型是

(A)y=a+bx(B)y=a+b\[x(C)y=a+b\nx(D)y=a+be'

(7)已知抛物线C：V=4x的焦点为F,准线为/,P为C上一点，过尸作/的垂线，垂足

为M.若|MF|=|PF|,则|PM|=

(A)2(B)6(C)4(D)2百

(8)已知直线/：y=mx-m-l,P为圆C：f+/一4%—2)，+1=0上一动点，设P到

直线/距离的最大值为△(〃?)，当d(m)最大时，加的值为

132

(A)——(B)--(C)-(D)2

223

(9)已知点A,3,C不共线，2,〃为实数，/=彳而+，则是

“点P在AABC内(不含边界)”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

(10)已知｛4｝是各项均为正整数的数列，且4=3,%=8,对V&GN*,WM=4+1与

4+1='%+2有且仅有一个成立，则4+。2+…+。7的最小值为

(A)18(B)20(C)21(D)23

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题5小题，每小题5分，共25分.

(11)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,2),则］=

(12)已知双曲线一方=1(6>0)的两条渐近线互相垂直，则/=。的离

心率为.

(13)已知是两条不同的直线，a,/?是两个不同的平面.写出以/,也a,月之间的部分

位置关系为条件(/_La除外)，/_La为结论的一个真命题：

(14)函数/(x)=sin(。>0)的非负零点按照从小到大的顺序分别记为

TI

内，工2,…，X”….若毛一%2=5，则”=寸.

(15)阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用.如图，在平面直角坐标系xOy中,

螺线与坐标轴依次交于点Ad，。)，A(0,-2),A,(3,0),

4(0,4),4,(-5,0),4(0,-6),4(7,0),4(0,8),并按这

样的规律继续下去.给出下列四个结论：

①对于任意正整数"，IAA+4l=4;

②存在正整数"，为整数；

③存在正整数”，三角形A,4+I4+2的面积为2022；

④对于任意正整数〃，三角形44MA+2为锐角三角形.

其中所有正确结论的序号是

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)(本小题13分)

………bMAVio

在△ABC中，一=---,cosA=----

a510

(I)求证△ABC为等腰三角形；

(II)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯

一，求〃的值.

TT

条件①：ZB=-;

6

条件②：△ABC的面积为竺；

2

条件③：AB边上的高为3.

注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得0分；如果选择多个符合要求的条件

分别解答，按第一个解答计分.

(17)(本小题14分)

如图，在四棱锥中，底面为正方形，HLL平面ABC。，PA^AB,

M为线段PD上的动点.

(I)若直线P8//平面ACM,求证：M为PD的中点：大

(H)若平面R4C与平面M4c夹角的余弦值为且，求也的值.\

(18)(本小题13分)

2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自

主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努

力争取2060年前实现碳中和.”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造

假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立.

(I)从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率；

(II)从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生，以X表示这2人中清楚垃圾分

类后处理方式的人数，求X的分布列和数学期望：

(ill)从样本中随机抽取一名男生和一名女生，用“g=i”表示该男生清楚垃圾分类后的处

理方式，用“j=o”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式，用“〃=1”表示该女

生清楚垃圾分类后的处理方式，用“〃=0”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式.

直接写出方差。自和勿的大小关系.（结论不要求证明）

（19）（本小题15分）

22

已知椭圆表•=1过点4卜后0）,其右焦点为尸（1,0）.

（I）求椭圆。的方程；

（II）设P为椭圆C上一动点（不在X轴上），M为AP中点，过原点O作/1P的平行线，与

直线x=3交于点。.问：直线与FQ斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值;

若不为定值，请说明理由.

（20）（本小题15分）

曲线y=lnx在点A（f』nt）处的切线/交x轴于点

（I）当f=e时，求切线/的方程；

（II）。为坐标原点，记AAMO的面积为S.求面积S以r为自变量的函数解析式，写出其定

义域，并求单调增区间.

（21）（本小题15分）

对于给定的正整数机和实数a,若数列｛5｝满足如下两个性质：

①4+出+…+。,”=。；②对任意的〃GN*,a„+m=a„,则称数列｛%｝具有性质匕⑷.

(I)若数列｛%｝具有性质6(1),求数列｛”“｝的前10项和；

(H)对于给定的正奇数f,若数列｛”,｝同时具有性质且(4)和［⑺，求数列｛%｝的通项式;

(III)若数列｛风｝具有性质£,(a),求证：存在自然数N,对任意的正整数%,不等式

即“+…+即“>a_均成立.

km

(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)

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高三数学参考答案2022.1

一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)

(I)A(2)C(3)B(4)D(5)A

(6)D(7)C(8)A(9)B(10)B

二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)

(11)-l-2i

(12)1；V2

(13)若〃z/〃，m_Ltz,则(答案不唯一)

,、31

(14)2,—71

3

(15)①②④

三、解答题(共6小题，共85分)

(16)(共13分)

解：(I)在△ABC中，—=把。，cosA=,

a510

设a=5m,b=yfiOm,其中/n>0.

根据余弦定理a2=〃+c2—26ccosA,得

25m~=1Om2+c2-2cxVlOmx.

10

整理，得c2-2mc—15加Z=0,

因为c>0,解得c=5〃z,所以a=c.

所以△ABC为等腰三角形.............7分

(II)若选择条件②：在中，由cosA=典，得sinA=2叵

1010

=4，/4=\而m5，”处=£l=”.

所以S'"。

221022

解得机=1,即6=J记............13分

若选择条件③：在△ABC中，由AB边上的高为3,得hsinA=3.

由4^0®.,_3屈

由cosA=-----，彳导sinA.=--------・

1010

解得人阮13分

(17)(共14分)

解：(I)如图，连结BD,交AC于点。，连结MO.

因为直线P8//平面AC/W,

又平面PBDD平面ACM=MO,

7^u平面P83，

所以P8//MO.

因为正方形ABC。,

所以O为双)的中点.

所以M为的中点.............5分

(II)因为底面ABC。为正方形，P4L平面ABCD,

所以AB,AD,AP两两垂直.

如图建立空间直角坐标系.

设AB=1,可得A(0,0,0),5(1,0,0),

C(l,l,0),0(0,1,0),尸(0,0,1).

则/=(1』,()).

设而=4而(()4/[VI),

则赤=/+雨=衣+4所=((),4,1一/1).

设"=(x,y,z)为平面MAC的法向量，

n-AC=0,fx+y=0,

则＜_,即＜

n-AM=0,[2^+(l-2)z=0.

令y=l—九，z=—A,,则x=2_1,可得〃=(九一1,1一九—4).

又M1.AC,BDYPA，

所以丽=(一1,1,0)为平面PAC的法向量，

即〈加.”卜瞅=「厂㈤=4,

11忸斗|〃|V2-＞/3A2-34A+23

2PM

解得/1=一,所以——=2.............14分

3MD

(18)(共13分)

解：(I)依题意，参与调查的学生有200人，其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有

12+8+24+24=68人.

在样本中，学生清楚垃圾分类后的处理方式的频率为，匕=u.

20050

用样本的频率估计总体的频率，可估计从该校学生中随机抽取一人，该学生清楚垃圾分类后

处理方式的概率为卫■............3分

50

(II)X的所有可能取值为0,1,2.

记事件A为“从样本初中部学生中随机抽取1名学生，该学生清楚垃圾分类后处理方

式”，事件8为“从样本高中部学生中随机抽取1名学生，该学生清楚垃圾分类后处理方式”,

则

24+24_212+8

P(B)=

24+24+38+34-5，12+8+28+324

由题设知，事件A,3相互独立，

所以P(X=0)=P□历—[Jx(1_4；

P(X=l)=P(AB+48)=(1一+一:)二枭

P(X=2)=P(AB)=-xl=—.

5410

所以X的分布列为

X012

991

P

202010

99113

E(X)=0x—+lx—+2x—=—11分

20201020

(III)>Dr).............2分

(19)(共15分)

解：(I)由题可知a=g,c=l,贝I从=Y-C2=2.

故椭圆C的方程为工+二=1............5分

32

(H)设P(x0,%)(XoW±6),贝|号+*=1,即2X02+3%2=6.

由M为好的中点，得M(二业,及)，所以为厂.

22X、_V3

因为直线AP的斜率氏=%厂,且OQ//AP,

+V3

所以直线。。的方程为y=—^=x.

Xo+V3

令x=3,得y=^5=,则Q(3,-^5=).

x()+V3x<)+V3

因为尸(1,0),所以kQ=----广・■

F2(玉)+石)

%3%3%2

所以k^M-kf,Q=-1.

2(考一3)

Xo—yfi2(XO+#!)

所以直线OM与世斜率的乘积是为定值T............15分

(20)(共15分)

解：(I)设函数/(x)=lnx,/(x)的定义域为(0,+8).

因为尸(x)=,，所以/'(e)=-.

xe

当，=e时，ln，=l,即A(e,1).

所以切线/的方程为y—l=」(x—e),

e

BPy=­x...............5分

.e

(ID由(I)知，曲线y=lnx在点A«/n/)处的切线方程为y—lnf=l(x—。,

t

BPy=-x+ln/-l.

t

令y=0,得x=，一fln/，所以MQ-rln，,。).

S(r)=~|/-zlnr||lnr|=^|(r-Hnr)lnr|.

S(r)的定义域为(0,1)U(l,e)U(e,+8).

设夕")=Q-八nf)ln“，>0),

则(p\t)=ln2r+lnr-l.

令e⑺>0,解得―亚,或lnf>T撞.

22

7-#-1+4

BP0</<e2，或Z>e2.

11.

当0<，vl,或，Ae时，S(r)=-^(r),S(t)=-(p(t).

-i-有

S(t)>0,得0</<e2,或，Ae.