2024年高考数学微专题专练17含解析文

PAGEPAGE6专练17同角三角函数的基本关系及诱导公式命题范围：同角三角函数的基本关系式及诱导公式．[基础强化]一、选择题1．tan255°＝()A．－2－eq\r(3) B．－2＋eq\r(3)C．2－eq\r(3) D．2＋eq\r(3)2．coseq\f(π,5)＋coseq\f(2,5)π＋coseq\f(3,5)π＋coseq\f(4,5)π的值为()A．－1 B．0C．1 D．23．若α∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))，tan(α－7π)＝eq\f(3,4)，则sinα＋cosα＝()A．±eq\f(1,5) B．－eq\f(1,5)C．eq\f(1,5) D．－eq\f(7,5)4．已知2sinα－cosα＝0，则sin2α－2sinαcosα的值为()A．－eq\f(3,5) B．－eq\f(12,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(12,5)5．若tanθ＝－2，则eq\f(sinθ（1＋sin2θ）,sinθ＋cosθ)等于()A．－eq\f(6,5) B．－eq\f(2,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(6,5)6．已知sinα－cosα＝eq\f(4,3)，则sin2α＝()A．－eq\f(7,9) B．－eq\f(2,9)C．eq\f(2,9) D．eq\f(7,9)7．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P(3，4)，则sin(α－eq\f(2017π,2))＝()A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)8．[2024·江西省八校联考]魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为eq\f(355,113)，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4cos38°，则eq\f(π\r(16－π2),1－2sin27°)的值为()A．eq\f(1,8) B．－eq\f(1,8)C．8 D．－89．已知x∈(0，π)，且cos(2x－eq\f(π,2))＝sin2x，则tan(x－eq\f(π,4))＝()A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．3 D．－3二、填空题10．[2024·安徽省蚌埠市高三质检]已知角θ的终边过点A(4，a)，且sin(θ－π)＝eq\f(3,5)，则tanθ＝________．11．[2024·河南省六市联考]设α为锐角，若cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(4,5)，则sin(2α＋eq\f(π,12))的值为________．12．[2024·陕西省西安中学高三三模]已知sin2α＝eq\f(1,4)，且eq\f(π,3)＜α＜eq\f(2π,3)，则cosα－sinα＝________．[实力提升]13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝eq\f(2,3)，则|a－b|＝()A．eq\f(1,5) B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),5)D．114．[2024·江西省临川高三模拟]已知cos(θ－eq\f(π,12))＝eq\f(\r(3),3)，则sin(2θ＋eq\f(π,3))＝()A．－eq\f(2,9) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(2,9) D．eq\f(1,3)15．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinβ的值为________．16．设A，B，C为△ABC的三个内角，则下列关系式中恒成立的是________(填写序号).①cos(A＋B)＝cosC；②coseq\f(B＋C,2)＝sineq\f(A,2)；③sin(2A＋B＋C)＝－sinA．专练17同角三角函数的基本关系及诱导公式1．Dtan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(30°＋45°)＝eq\f(tan30°＋tan45°,1－tan30°tan45°)＝eq\f(\f(\r(3),3)＋1,1－\f(\r(3),3))＝2＋eq\r(3).2．Bcoseq\f(π,5)＋coseq\f(2,5)π＋coseq\f(3,5)π＋coseq\f(4,5)π＝coseq\f(π,5)＋coseq\f(2,5)π＋cos(π－eq\f(2,5)π)＋cos(π－eq\f(π,5))＝coseq\f(π,5)＋coseq\f(2,5)π－coseq\f(2,5)π－coseq\f(π,5)＝03．Dtan(α－7π)＝tanα＝eq\f(3,4)>0，又α∈(eq\f(π,2)，eq\f(3,2)π)，∴α∈(π，eq\f(3,2)π)，∴sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，∴sinα＋cosα＝－eq\f(7,5).4．A2sinα－cosα＝0，∴tanα＝eq\f(1,2)，∴sin2α－2sinαcosα＝eq\f(sin2α－2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－2tanα,1＋tan2α)＝eq\f(\f(1,4)－1,1＋\f(1,4))＝－eq\f(3,5).5．C方法一因为tanθ＝－2，所以角θ的终边在其次或第四象限，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(2,\r(5))，,cosθ＝－\f(1,\r(5))))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinθ＝－\f(2,\r(5))，,cosθ＝\f(1,\r(5))，))所以eq\f(sinθ（1＋sin2θ）,sinθ＋cosθ)＝eq\f(sinθ（sinθ＋cosθ）2,sinθ＋cosθ)＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝sin2θ＋sinθcosθ＝eq\f(4,5)－eq\f(2,5)＝eq\f(2,5).方法二(弦化切法)因为tanθ＝－2，所以eq\f(sinθ（1＋sin2θ）,sinθ＋cosθ)＝eq\f(sinθ（sinθ＋cosθ）2,sinθ＋cosθ)＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(4－2,1＋4)＝eq\f(2,5).6．A由sinα－cosα＝eq\f(4,3)，得1－2sinαcosα＝eq\f(16,9)，∴2sinαcosα＝1－eq\f(16,9)＝－eq\f(7,9)，即：sin2α＝－eq\f(7,9).7．B由题可知α为第一象限角，∴cosα＝eq\f(3,5)，sin(α－eq\f(2017π,2))＝sin(α－eq\f(π,2))＝－cosα＝－eq\f(3,5).8．C因为π≈4cos38°，所以eq\f(π\r(16－π2),1－2sin27°)＝eq\f(4cos38°\r(16－16cos238°),1－2sin27°)＝eq\f(16cos38°sin38°,cos14°)＝eq\f(8sin76°,cos14°)＝eq\f(8cos14°,cos14°)＝8.9．A∵cos(2x－eq\f(π,2))＝sin2x＝2sinxcosx＝sin2x，∴tanx＝2，∴tan(x－eq\f(π,4))＝eq\f(tanx－tan\f(π,4),1＋tanxtan\f(π,4))＝eq\f(2－1,1＋2)＝eq\f(1,3).10．答案：－eq\f(3,4)解析：sin(θ－π)＝－sinθ＝eq\f(3,5)，sinθ＝－eq\f(3,5)＜0，由于角θ的终边过点A(4，a)，所以θ在第四象限，所以cosθ＝eq\r(1－sin2θ)＝eq\f(4,5)，所以tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(3,4).11．答案：eq\f(17\r(2),50)解析：α为锐角，eq\f(π,6)＜α＋eq\f(π,6)＜eq\f(2π,3)，sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\r(1－cos2（α＋\f(π,6)）)＝eq\f(3,5).sin(2α＋eq\f(π,12))＝sin(2α＋eq\f(π,3)－eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)sin(2α＋eq\f(π,3))－eq\f(\r(2),2)cos(2α＋eq\f(π,3))＝eq\f(\r(2),2)×2sin(α＋eq\f(π,6))cos(α＋eq\f(π,6))－eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2cos2（α＋\f(π,6)）－1))＝eq\r(2)×eq\f(3,5)×eq\f(4,5)－eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×（\f(4,5)）2－1))＝eq\f(12\r(2),25)－eq\f(7\r(2),50)＝eq\f(17\r(2),50).12．答案：－eq\f(\r(3),2)解析：因为eq\f(π,3)＜α＜eq\f(2π,3)，所以sinα＞cosα，因此有cosα－sinα＝－eq\r(（cosα－sinα）2)＝－eq\r(cos2α＋sin2α－2cosαsinα)＝－eq\r(1－sin2α)，把sin2α＝eq\f(1,4)代入，得cosα－sinα＝－eq\r(1－\f(1,4))＝－eq\f(\r(3),2).13．B由题意得tanα＝eq\f(b－a,2－1)＝b－a，又cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－（b－a）2,1＋（b－a）2)＝eq\f(2,3)，得|b－a|＝eq\f(\r(5),5).14．B由题，因为2θ＋eq\f(π,3)＝2(θ－eq\f(π,12))＋eq\f(π,2)，所以sin(2θ＋eq\f(π,3))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2（θ－\f(π,12)）＋\f(π,2)))＝cos2(θ－eq\f(π,12))＝2cos2(θ－eq\f(π,12))－1＝2×(eq\f(\r(3),3))2－1＝－eq\f(1,3).15．答案：eq\f(1,3)解析：2tan(π－α)－3cos(eq\f(π,2)＋β)＋5＝0化为－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1化为tanα－6