新教材2024高中数学第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理正弦定理6.4.3.3余弦定理正弦定理应用举例第2课时高度角度问题分层演练新人教A版必修第二册

6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例第2课时高度、角度问题A级基础巩固1.某人向正东走了xkm后向左转了150°,然后沿新方向走了3km,结果离动身点恰好3km,那么x的值是 ()A.3 B.23 C.3 D.23或3解析:依据题意画出示意图如图所示,由正弦定理,得sin∠CAB=BCsinBAC=3sin30因为BC>AC,所以∠CAB>B,B=30°,所以∠CAB=60°或∠CAB=120°.当∠CAB=60°时,∠ACB=90°,x=23;当∠CAB=120°时,∠ACB=30°,x=3.故选D.答案:D2.如图所示,某工程中要将一个长为100m,倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长 ()A.1002m B.1003mC.50(2+6)m D.200m解析:如图所示.由条件知AD=100sin75°=100sin(45°+30°)=100(sin45°cos30°+cos45°sin30°)=25(6+2)(m),CD=100cos75°=25(6-2)(m),所以BD=ADtan30°=25(6+2)所以BC=BD-CD=25(32+6)-25(6-2)=1002(m).答案:A3.如图所示,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20nmile的B处,有一艘渔船遇险等待营救,甲船马上前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10nmileC处的乙船,乙船马上朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救,则sinθ的值为 ()A.22 B.32 C.21解析:如图所示,连接BC.在△ABC中,AC=10nmile,AB=20nmile,∠CAB=120°,依据余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB=100+400+200=700,所以BC=107nmile.依据正弦定理,得BCsin∠CAB即10732所以sin∠ACB=217,所以sinθ=21答案:C4.学校里有一棵树,甲同学在A地测得树尖的仰角为45°,乙同学在B地测得树尖的仰角为30°,量得AB=AC=10m,树根部为C(A,B,C在同一水平面上),则∠ACB=.

解析:如图所示,AC=10m,∠DAC=45°,所以DC=10m.因为∠DBC=30°,所以BC=103m,cos∠ACB=102+(103)答案:30°5.如图所示,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,求山高MN.解:如图所示,在Rt△ABC中,BC=100m,∠CAB=45°,所以AC=1002m.在△AMC中,∠CAM=75°,∠ACM=60°,所以∠AMC=45°.已知AC=1002m,所以由正弦定理,知AMsin60°=所以AM=1003m.在Rt△AMN中,∠NAM=60°,所以MN=AM·sin60°=1003×32=150(m)B级实力提升6.在某个位置测得某山峰仰角为θ,对着山峰在地面上前进600m后测得仰角为2θ,接着在地面上前进2003m以后测得山峰的仰角为4θ,则该山峰的高度为m.

解析:如图所示,△BED,△BDC为等腰三角形,BD=ED=600m,BC=DC=2003m.在△BCD中,由余弦定理可得cos2θ=6002+所以2θ=30°,4θ=60°.在Rt△ABC中,AB=BC·sin4θ=2003×32=300(m)答案:3007.一只蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕获到一只小虫,然后向右转105°,爬行10cm捕获到另一只小虫,这时它向右转135°爬行可回到它的动身点,那么x=cm.

解析:如图所示,在△ABC中,AB=x,BC=10,∠ABC=180°-105°=75°,∠BCA=180°-135°=45°,所以∠BAC=180°-75°-45°=60°.由正弦定理,得xsin45°=10sin60°,所以答案:108.某海岛四周42nmile有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东60°方向,航行30nmile后测得此岛在东北方向,若不变更航向,则此轮船触礁危急(填“有”或“无”).

解析:如图所示,由题意可知,在△ABC中,AB=30nmile,∠BAC=30°,∠ABC=135°,所以∠ACB=15°.由正弦定理,得BC=ABsin∠BACsin∠ACB=30sin30°sin15°在Rt△BDC中,CD=22BC=15(3+1)<42所以此船有触礁的危急.答案:有9.据气象台预报,在S岛正东距S岛300km的A处有一台风中心形成,并以每小时30km的速度向北偏西30°的方向移动,在距台风中心270km以内的地区将受到台风的影响.问:S岛是否受其影响?若受到影响,从现在起经过多少小时S岛起先受到台风的影响?持续时间多久?说明理由.解:如图所示,设台风中心经过th到达点B,由题意得∠SAB=90°-30°=60°.在△SAB中,SA=300,AB=30t,由余弦定理,得SB2=SA2+AB2-2SA·AB·cos∠SAB=3002+(30t)2-2×300×30tcos60°.若S岛受到台风影响,则应满意条件|SB|≤270,即SB2≤2702,化简整理得t2-10t+19≤0,解得5-6≤t≤5+6,所以从现在起,经过(5-6)hS岛起先受到影响,(5+6)h后影响结束,持续时间:(5+6)-(5-6)=26(h),即S岛受到影响,从现在起经过(5-6)hS岛起先受到台风影响,且持续时间为26h.C级挑战创新10.多空题如图所示,在离地面高400m的热气球上,观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°.已知∠BAC=60°,则∠MCA=.山的高度BC=m.

解析:如图所示,过点M作MD⊥AB,垂足为D.在Rt△AMD中,∠MAD=45°,MD=400m,AM=MDsin45°=4002在△MAC中