2023-2024学年河北省石家庄市高二下学期期末教学质量检测数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河北省石家庄市高二下学期期末教学质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.某汽车启动阶段的位移函数为s(t)=2t3−5t2，则汽车在A.10 B.14 C.4 D.62.将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是(

)A.6 B.24 C.60 D.1203.设离散型随机变量X的分布列为：则q=(

)X12P1−2qqA.12 B.1−22 C.4.已知一组观测值(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，A.0 B.0.5 C.0.9 D.15.(xy−yxA.−4 B.4 C.−6 D.66.李老师教高二甲班和乙班两个班的数学，这两个班的人数相等.某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2的图像如图所示，其中μ是正态分布的期望，σA.甲班的平均分比乙班的平均分高

B.相对于乙班，甲班学生的数学成绩更分散

C.甲班108分以上的人数约占该班总人数的4.55%

D.乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等7.某校三位同学报名参加数理化生四科学科竞赛，每人限报且必须报两门，由于数学是该校优势科目，必须至少有两人参赛，若要求每门学科都有人报名，则不同的参赛方案有(

)A.51种 B.45种 C.48种 D.42种8.已知函数f(x)=(x−1)ex−kx3+1(e为自然对数的底数)，若对任意的x1，x2∈(0,+∞)，且A.(−∞,e3] B.(−∞,e3)二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的是(

)A.对于独立性检验，χ2的值越大，说明两事件的相关程度越大

B.以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，若其变换后得到线性方程z=0.3x+4，则c，k的值分别是e4和0.3(e为自然对数的底数)

C.在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程y=a+bx中，b=2，10.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是(

)

A.C32+C42+C52+⋯+C112=220

B.记第n行的第i个数为ai，则i=1n+13i−111.某大学文学院有A、B两个自习室，小王同学每天晚上都会去自习室学习.假设他第一天去自习室A的概率为13;他第二天去自习室B的概率为14;如果他第一天去自习室A，则第二天去自习室B的概率为1A.小王两天都去自习室A的概率为14;

B.小王两天都去自习室B的概率为112;

C.小王两天去不同自习室的概率为34;

D.如果他第二天去自习室三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.编号为1，2，3的三位学生随意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ，则E(ξ)=

．13.在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量X，Y的取值集合均为{0,1,2,3,⋯,n}(n∈N∗)，则X，Y的散度D(X||Y)=i=0nP(X=i)lnP(X=i)P(Y=i).若X01P11Y01P1−pp14.若二次函数f(x)=2x2+3的图象与曲线C:g(x)=aex+3(a>0)存在公切线，则实数a四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)设函数fx(1)求f(x)在x=1处的切线方程；

(2)求f(x)在[−2,4]上的最大值和最小值．16.(本小题12分)已知f(x)=(2x−3)n展开式的二项式系数和为512，且(Ⅰ)求a2的值(Ⅱ)求a1+(Ⅲ)求a1+217.(本小题12分)

在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯.某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有55人.经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图.记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．

(Ⅰ)请完成下列2×2列联表.并依据小概率值α=0.01的独立性检验，分析成绩优秀与上课转笔之间是否有关联;(结果均保留到小数点后三位)上课转笔上课不转笔合计优秀合格20合计55100(Ⅱ)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为k的概率为P(k)，当P(k)取最大值时，求k的值．附：χ2=n(ad−bcP(0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.(本小题12分)一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间t(分钟)和答对人数y的统计表格如下：时间t(分钟)102030405060708090100答对人数y987052363020151155lg1.991.851.721.561.481.301.181.040.70.7时间t与答对人数y和lg y附：i=110ti2=38500，i=110yi=342，i=110lg yi=13.52，i=110tiyi=10960，i=110tilg yi=621.7，对于一组数据(u1,v1)，(u2,v2)，…，(un,vn)，其回归直线方程v=19.(本小题12分)对于正实数a，b(a>b)，我们熟知基本不等式：G(a,b)<A(a,b)，其中G(a,b)=ab为a，b的几何平均数，A(a,b)=a+b2为a，b的算术平均数.现定义a，(Ⅰ)设x>1，求证：2(Ⅱ)证明G(a,b)<L(a,b);(Ⅲ)若不等式G(a,b)+A(a,b)>m⋅L(a,b)对任意正实数a，b(a>b)恒成立，求正实数m的取值范围．

答案简析1.C

【简析】解：∵s(t)=2t3−5t2，

∴汽车的速度为v(t)=s′(t)=6t2−10t，2.B

【简析】解：根据题意，分2步进行分析：

①、将连号的两张参观券分给甲，有1和2，2和3，3和4，4和5，共4种情况，

②、将剩下的3张参观券分给其他三人，有A33=6种分法，

则有4×6=24种不同的分法；

3.B

【简析】解：由题意可得：1−2q+q2+12=1，

解得：q=1−22故选B．4.D

【简析】解：解：由ei恒为0，知yi=yi，即yi−yi5.D

【简析】解：

(xy−yx)4=x2y2(x−y)4，

只需求

(x−y)6.D

【简析】解：由题意结合正态分布的密度曲线可得甲班的数学平均成绩为98，乙班的数学平均成绩为100，故A错误，

由图象可得甲班的数学成绩的标准差为5，乙班的数学成绩的标准差为6，相对于乙班，本次考试中甲班不同层次学生的成绩更稳定，故B错误，

甲班108分以上的人数约占该班总人数的概率为P(X>108)=1−0.95452=2.275%，故C错误，

乙班112分以上的人数约占该班总人数的概率为P(X>112)=1−0.95452=2.275%，

又这两个班的人数相等，所以乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数相等，故7.A

【简析】解：设三位同学为A，B，C;由题意，参赛方案分为两种情况：

(一)数学学科有2人报名：

先选2人报名数学，有C32种结果(假设为A，B)，其余三科的参赛方式又分为两种情况：

①A，B选同科，有C31种结果；②A，B选不同科(即A，C，或B，C选同科)，有C21⋅C31⋅A22种结果，

所以数学学科有2人报名时共有C32⋅(C31+C21⋅C31⋅A22)=3×15=45种结果；

(二8.A

【简析】解：∵x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2)，

∴(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，

∵x1≠x2，

∴fx1−fx29.ABC

【简析】解：对于A，根据独立性检验的性质知，K2的值越大，说明两个分类变量相关程度越大，A对于B，由y=cekx，两边取自然对数，可得令z=lny，得z=kx+lnc，∵z=0.3x+4，∴lnc=4,k=0.3，则c=对于C，回归直线方程y=a+bx对于D，通过回归直线y=a+bx及回归系数b，可估计和预测变量的取值和变化趋势，D10.BD

【简析】解：对于A，由CnC32+C42+C52+⋯+C对于D，第30行中第12个数与第13个数之比为C3011:对于C，第2023行是奇数，中间两项最大，即C20231011和也就是第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故C错误;

故选：BD11.BC

【简析】解：设Ai=第i天去自习室A，

Bi=第i天去自习室B，依题意有：

P(A1)=13，

P(B1)=23，

P(B2)=14，P(B2|A1)=12，

P(A12.1

【简析】解：∵编号为1，2，3的3位同学随意入座编号为1，2，3的3个座位，

∴有123，132，213，231，312，321，6种结果，

设与座位编号相同的学生个数为ξ，则ξ的可能为0，1，3，

∴ξ的分布列为：ξ013P111∴E(ξ)=0×13+1×1213.[0,+∞)

【简析】解：由题意可得D(X||Y)=i=0nP(X=i)lnP(X=i)P(Y=i)

=PX=0lnP(X=0)P(Y=0)+PX=1lnP(X=1)P(Y=1)

14.(0,8【简析】解：f(x)=2x2+3的导数为f′(x)=4x，g(x)=aex+3的导数为g′(x)=aex，

设公切线与f(x)=2x2+3的图象切于点(x1,2x12+3)，

与g(x)=aex+3的图象切于点(x2,aex2+3)，

∴4x1=aex2=aex2+3−(2x12+3)x2−x1=aex2−2x15.解：(1)由题意知，f(1)=−3，即切点为(1,−3)，

又f′(x)=3x2−6x−9，所以f′(1)=−12，

所以f(x)在x=1处的切线方程为：y+3=−12(x−1)，即12x+y−9=0;

(2)f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)，

令f′(x)<0得−1<x<3，f′(x)>0得x<−1或x>3，

故f(x)的减区间为(−1,3)，增区间为(−∞,−1)和(3,+∞)，

函数f(x)的极大值f(−1)=13，函数f(x)的极小值f(3)=−19，

又f(−2)=6，f(4)=−12，

∴f(x)在[−2,4]【简析】

(1)求出导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式，即可求出结果；

(2)求出导数，研究单调性，得出函数的极值，再求出f(−2)，f(4)，即可求出结果.16.解：(Ⅰ)由二项式系数和为512知，2n=512=29⇒n=9，

(2x−3)9=[2(x−1)−1]9

，

∴a2=C97×22×(−1)7=−144；

(Ⅱ)令x=1，a0=(2×1−3)9=−1，

令x=2，得【简析】

(Ⅰ)根据二项式系数和为512先确定n值，再计算a2的值；

(Ⅱ)利用赋值法求特定项系数及特定项项系数和可得．

(Ⅲ)17.解：(Ⅰ)零假设H0：成绩优秀与上课转笔无关，

2×2上课转笔上课不转笔合计优秀52530合格502070合计5545100χ2=1005×20−25×50245×55×70×30≈25.449>6.635，

根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，因此认为成绩优秀与上课转笔有关．

(Ⅱ)100个人中优秀的人数为0.0125+0.0025×20×100=30，

则合格的人数为70人，由分层抽样可知：10人中有3人优秀，7人合格；

由题意X的可能值为2.3，4，X2345P1551所以EX=2×112+3×512+4×512+5×112=72.

(Ⅲ)由题意可知k∼B20,0.55，则Pk=【简析】

(Ⅰ)列出2×2列联表，求出χ2，对照临界值即可得出答案；

(Ⅱ)得出X的值，求出相应的概率，写出分布列，从而求出数学期望；

(Ⅲ)由题意可得C20k18.解：(1)由图象可知，lgy=ct+d更适宜作为线性回归模型．

(2)设lgy=ct+d，由条件可得，t=110i=110ti=55，lgy=1.352，

c=i=110tilgyi−10tlgyi=110t【简析】

(1)由图象可知，lgy=ct+d更适宜作为线性回归模型．

(2)根据最小二乘法得lgy=−0.015t+2.177，从而得出y与t的回归方程；

(3)由题意知y=1019.(1)证明：令f(x)=lnx−12(x−1x)，

则f′(x)=1x−12−12x2=2x−x2−12x2=−(x−1)22x2，

∴f′(x)≤0，得f(x)在[1,+∞)上单调递减